Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 3 – bài 5 bài 7 – bài 9

Lời giải: Vì D cách đều hai cạnh của góc B nên D nằm trên đường phân giác củaABC ∠CBD nên: Đồng thời D nằm trên đường trung tuyến AM.. Suy ra: MOH = MOK2 góc tương ứng∠CBD nên: ∠CBD nên:

Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 3 – bài 5- bài 7 – bài 9

Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 3: Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai

đường thẳng Trả lời câu hỏi Toán 7 Tập 1 Bài 3 trang 88: Vẽ đường thẳng xy cắt hai

Bài 21 (trang 89 SGK Toán 7 Tập 1): Xem hình 14 rồi điền vào chỗ trống

trong các câu sau:

Bài 22 (trang 89 SGK Toán 7 Tập 1): a) Vẽ lại hình 15

b) Ghi tiếp số đo ứng với các góc còn lại

c) Cặp góc A1, B2 và cặp góc A4, B3 được gọi là hai cặp góc trong cùng phíaTính:

Lời giải:

a) Vẽ lại hình

b) Ghi số đo ứng với các góc còn lại

c) Ta có:

Bài 23 (trang 89 SGK Toán 7 Tập 1): Hãy nêu hình ảnh của các cặp góc so le

Câu 1: Hình sau là thước có khoảng cách giữa hai lề song song với nhau bằng

h Để vẽ tia phân giác của góc xOy, ta áp một lề của thước vào cạnh Oy ta kẻđược đường thẳng b Vì sao giao điểm M của a và b nằm trên tia phân giác củagóc xOy?

Lời giải:

Kẻ MH Ox, MK Oy.⊥ Ox, MK ⊥ Oy ⊥ Ox, MK ⊥ Oy

Khi đó:

MH là chiều rộng của thước hai lề

MK là chiều rộng của thước hai lề

Mà chiều rộng của thước đó bằng nhau và bằng h nên ta có:

MH = MK = h

Điểm M nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh của góc nên M thuộc tiaphân giác của góc xOy

Câu 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng hai đường phân giác của hai góc

ngoài tại B và C và đường phân giác trong của góc A cùng đi qua một điểm

Lời giải:

Gọi K là giao điểm của hai tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và góc ngoàitại đỉnh C

Kẻ KE BC, KF AC, KD AB⊥ Ox, MK ⊥ Oy ⊥ Ox, MK ⊥ Oy ⊥ Ox, MK ⊥ Oy

Vì K nằm trên phân giác của (CBD) nên:∠(CBD) nên:

KD = KE (tính chất tia phân giác) (1)

Vì K nằm trên tia phân giác của (BCF) nên:∠(CBD) nên:

KE KF (tính chất tia phân giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: KD = KF

Điểm K nằm trong (BAC) cách đều 2 cạnh AB và AC nên K nằm trên tia∠(CBD) nên:phân giác của (BAC).∠(CBD) nên:

Câu 3: Cho tam giác nhọn ABC Tìm điểm D thuộc trung tuyến AM sao cho D

cách đều hai cạnh của góc B

Lời giải:

Vì D cách đều hai cạnh của góc B nên D nằm trên đường phân giác của(ABC)

∠(CBD) nên:

Đồng thời D nằm trên đường trung tuyến AM

Vậy D là giao điểm của đường phân giác của (ABC) và đường trung tuyến∠(CBD) nên:AM

Câu 4: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P Tìm tập hợp các điểm

cách đều hai đường thẳng AB và CD

Lời giải:

* Xét điểm M nằm trong góc AOD

Kẻ MH OA, MK OD⊥ Ox, MK ⊥ Oy ⊥ Ox, MK ⊥ Oy

Xét hai tam giác MHO và MKO:

Suy ra: (MOH) = (MOK)(2 góc tương ứng)∠(CBD) nên: ∠(CBD) nên:

Hay OM là tia phân giác của (AOD).∠(CBD) nên:

* Ngược lại, M nằm trên tia phân giác của (AOD)∠(CBD) nên:

Xét hai tam giác vuông MHO và MKO, ta có:

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOMHO = ΔMHO = ΔMKOMKO (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra: MH = MK (2 cạnh tương ứng)

Vậy tập hợp các điểm M cách đều OA và OD là tia phân giác Ox của gócAOD

Câu 5: Để vẽ đường phân giác của góc xOy có đỉnh O nằm ngoài tờ giấy, bạn

Minh đã vẽ các điểm A, B như trên hình sau Đường thẳng AB có là đườngphân giác của góc xOy hay không? Vì sao?

Lời giải:

Ta có: AD = AE nên A nằm trên tia phân giác của góc xOy

BM BN nên B nằm trên tia phân giác của góc xOy

Mà A ≠ B nên đường thẳng AB là đường phân giác của góc xOy

Giải SBT Toán 7 bài 7: Tính chất đường trung trực của một

đoạn thẳngCâu 1: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC chung đáy BC Chứng minh

rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng

Lời giải:

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC

Khi đó A thuộc đường trung trực của BC (1)

Tam giác DBC cân tại D nên DB = DC

Khi đó D thuộc đường trung trực của BC (2)

Tam giác EBC cân tại E nên EB = EC

Khi đó E thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: A, D, E thẳng hàng

Câu 2: Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Chứng minh rằng ΔMHO = ΔMKOBDE = ΔMHO = ΔMKOCDE

Lời giải:

Vì D thuộc đường trung trực của BC nên DB = DC (tính chất đường trung trực)

Vì E thuộc đường trung trực của BC nên EB = EC (tính chất đường trung trực)Xét ΔMHO = ΔMKOBDE và ΔMHO = ΔMKOCDE, ta có:

DB = DC (chứng minh trên)

DE cạnh chung

EB = EC (chứng minh trên)

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOBDE = ΔMHO = ΔMKOCDE (c.c.c)

Câu 3: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có

bờ d Tìm một điểm C nằm trên d sao cho C cách đều A và B

Lời giải:

* Nếu AB không vuông góc với d

- Vì điểm C cách đều hai điểm A và B nên C nằm trên đường trung trực củaAB

- Điểm C ∈ d

Vậy C là giao điểm của đường trung trực của AB và đường thẳng d

Cần dựng đường thẳng m là đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt đườngthẳng d tại C

Vậy C là điểm cần tìm

* Nếu AB vuông góc với d

Khi đó đường trung trực của AB song song với đường thẳng d nên không tồntại điểm C

Câu 4: Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần I

và II như hình dưới Cho điểm M thuộc phần I và điểm N thuộc phần II Chứngminh rằng:

b, Nối NA, NB Gọi D là giao điểm của NA với đường thẳng d, nối DB

Vì AC = AD (gt) nên A thuộc đường trung trực của CD

Vì BC = BD (gt) nên B thuộc đường trung trực của CD

Vì A ≠ B nên AB là đường trung trực của CD

Vậy AB ⊥ CD

Câu 6: Cho hai điểm A, B và một đường thẳng d Vẽ đường tròn tâm O đi qua

hai điểm A, B sao cho O nằm trên đường thẳng d

Lời giải:

- Vì A và B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O nên OA = OB

- Suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn AB

Vì tâm O nằm trên đường thẳng d nên O là giao điểm của đường trung trực của

AB và đường thẳng d

- Dựng đường thẳng m là đường trung trực của AB cắt d tại O

- Vẽ đường tròn tâm O bán kính OA (hoặc OB)

* Lưu ý:

- Nếu m // d thì không dựng được tâm O

- Nếu m trùng với d thì có vô số điểm chung O do đó có vô số đường tròn thỏamãn bài toán

Câu 7: Cho đoạn thẳng AB Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC là

tam giác cân có đáy là AB

Lời giải:

* Chứng minh thuận

Vì ∆CAB cân tại C nên CA = CB

Suy ra C thuộc đường trung trực của AB

Vì điểm C thay đổi mà ∆CAB luôn cân tại C nên C nằm trên đường trung trựccủa đường thẳng AB

Tập hợp các điểm C có tính chất CA = CB và ba điểm A, B, C không thẳnghàng là đường trung trực của AB.

Câu 8: Cho góc xOy bằng 60o, điểm A nằm trong góc xOy Vẽ điểm B sao

cho Ox là đường trung trực của AB Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trựccủa AC

Tư (1) và (2) suy ra: OB = OC

b, Vì ΔMHO = ΔMKOOAB cân tại O và Ox là đường trung trực của AB nên Ox là đườngphân giác của ∠(AOB) (tính chất tam giác cân)

Suy ra: ∠O3 = ∠O4 (3)

Vì tam giác OAC cân tại O và Oy là đường trung trực của AC nên Oy là đườngphân giác của ∠(AOC) (tính chất tam giác cân)

Suy ra: ∠O1 = ∠O2 (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ∠O1 + ∠O3 = ∠O2 + ∠O4

Ta có: ∠(BOC) = ∠O1 + ∠O3 + ∠O2 + ∠O4

= 2(∠O1 + ∠O3) = 2.(xOy) = 2.60o = 120o

Câu 9: Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a Vẽ điểm C

sao cho a là đường trung trực của AC

a, Hãy so sánh MA + MB với BC

b, Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất

a, Gọi N là giao điểm của BC với đường thẳng a.

* Nếu M ≠ N

Nối MC

Vì a là đường trung trực của AC nên M ∈ a

Suy ra: MA = MC (tính chất đường trung trực) (1)

Câu 10: Hai nhà máy được xây dựng tại hai địa điểm A và B nằm về một phía

của khúc sông thẳng Tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây một trạm bơmsao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A và đến B là nhỏ nhất.Lời giải:

- Dựng điểm A' sao cho bờ sông là trung trực của AA'.

- Nối A'B cắt bờ sông tại điểm C

Theo kết quả của bài 62 thì C là điểm cần tìm có khoảng cách CA + CB ngắnnhất

Giải SBT Toán 7 bài 8: Các trường hợp bằng nhau của tam

giác vuông

Câu 1: Cho tam giác cân tại A Kẻ AD vuông góc với BC Chứng minh rằng

AD là tia phân giác của góc A

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOADB= ΔMHO = ΔMKOADC(cạnh huyền, cạnh góc vuông)

⇒ ∠(BAD) =∠(CAD) (hai góc tương ứng)

Vậy ADI là tia phân giác ∠(BAC)

Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông

góc với AB Gọi K là giao điểm của BD và CE Chứng minh rằng Ak là tiaphân giác của góc A

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông ADB và AEC, ta có:

∠(ADB) =∠(AEC) = 90o

AB = AC (gt)

∠(DAB) =∠(EAC)

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOADB= ΔMHO = ΔMKOAEC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

⇒AD=AE (hai cạnh tương ứng)

xét hai tam giác vuông ADK và AEK Ta có:

∠(ADK) =∠(AEK) = 90o

AD = AE (chứng minh trên)

AK cạnh chung

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOADK= ΔMHO = ΔMKOAEK(cạnh huyền, cạnh góc vuông)

⇒∠(DAK) =∠(EAK) (hai góc tương ứng)

Vậy AK là tia phân giác của góc BAC

Câu 3: Tam giác ABC có M là trung điểm BC,AM là tia phân giác góc A Kẻ

MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC Chứng minh rằng:

a MH = MK

b ∠B =∠C

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:

∠(AHM) =∠(AKM) =90o

Cạnh huyền AM chung

∠(HAM) =∠(KAM) (gt)

⇒ ΔMHO = ΔMKOAHM= ΔMHO = ΔMKOAKM (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:

Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A Các đường trung trực của AB, AC cắt

nhau ở I chứng minh rằng AI là tia phân giác góc A

Lời giải:

⇒ ΔMHO = ΔMKOAMI= ΔMHO = ΔMKOANI (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: ∠(A1) =∠(A2) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của ∠(BAC)

Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với

AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chứng cắt nhau tại D chứngminh rằng AD là tia phân giác của góc A

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông ABD và ACD, ta có:

∠(ABD) =∠(ACD) =90o

Cạnh huyền AD chung

AB = AC

⇒ ΔMHO = ΔMKOABD= ΔMHO = ΔMKOACD (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: ∠(A1) =∠(A2) (hai góc tương ứng)

Suy ra AD là tia phân giác góc A

Câu 6: Tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của

góc A Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân

⇒ ΔMHO = ΔMKOABD= ΔMHO = ΔMKOACD (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:

∠(MHB) =∠(MKC) =90o

MB=MC

MH=MK

⇒ ΔMHO = ΔMKOMHB= ΔMHO = ΔMKOMKC (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: ∠B =∠C (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác ABC cân tại A

Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của tai BC lấy điểm D, trên

tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE Kẻ BH vuông với AD, kẻ CKvuông góc với AE Chứng minh rằng:

BH = CK

ΔMHO = ΔMKOABH= ΔMHO = ΔMKOACK

Lời giải:

Vì ΔMHO = ΔMKOABC cân tại A nên∠(ABC) =∠(ACB) (tính chất tam giác cân)

Ta có: ∠(ABC) +∠(ABD) =180o (hai góc kề bù)

∠(ACB) +∠(ACE) =180o (hai góc kề bù)

Suy ra: ∠(ABD) =∠(ACE)

Xét ΔMHO = ΔMKOABD và ΔMHO = ΔMKOACE, ta có:

AB = AC (gt)

∠(ABD) =∠(ACE) (chứng minh trên)

BD=CE (gt)

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOABD= ΔMHO = ΔMKOACE (c.g.c)

⇒∠D =∠E (hai góc tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ΔMHO = ΔMKOBHD và ΔMHO = ΔMKOCKE, ta có:

∠(BHD) =∠(CKE)

BD=CE (gt)

∠D =∠E (chứng minh trên)

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOBHD= ΔMHO = ΔMKOCKE (c.g.c)

Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔMHO = ΔMKOAHB và ΔMHO = ΔMKOACK, ta có:

AB = AC (gt)

∠(ABD) =∠(ACE) =90o

BH=CK

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOABH= ΔMHO = ΔMKOACK (cạnh huyền, góc nhọn)

Câu 8: Cho tam giác ABC Các tia phân giác của các góc B và C cát nhau tại I.

chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A

Hướng dẫn: từ I, kẻ các đường vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.Lời giải:

Kẻ: ID⊥AB, IE⊥BC, IF⊥AC

Xét hai tam giác vuông ΔMHO = ΔMKOIBD và ΔMHO = ΔMKOIEB, ta có:

∠(DBI) =∠(EBI) (gt)

∠(IDB) =∠(IEB) =90o

BI cạnh chung

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOIDB= ΔMHO = ΔMKOIEB(cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: ID = IE ( hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ΔMHO = ΔMKOIEC và ΔMHO = ΔMKOIFC, ta có:

∠(ECI) =∠(FCI)

∠(IEC) =∠(IFC) =90o

CI cạnh huyền chung

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOIEC= ΔMHO = ΔMKOIFC(cạnh huyền góc nhọn)

Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2)

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOIDA= ΔMHO = ΔMKOIFA(cạnh huyền.cạnh góc vuông)

Suy ra: ∠(DAI) =∠(FAI) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác góc A

Câu 9: Cho tam giác AB < AC Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực

của BC tại I kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc vớiđường thẳng AC Chứng minh rằng BH = CK

Lời giải:

Xét ΔMHO = ΔMKOBMI và ΔMHO = ΔMKOCMI, ta có:

∠(BMI) =∠(CMI) =90o (gt)

BM=CM

MI cạnh chung

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOBMI= ΔMHO = ΔMKOCMI(c.g.c)

Suy ra: IB = IC ( hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ΔMHO = ΔMKOIHA và ΔMHO = ΔMKOIKA, ta có:

∠(HAI) =∠(KAI)

∠(IHA) =∠(IKA) =90o

AI cạnh huyền chung

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOIHA= ΔMHO = ΔMKOIKA(cạnh huyền góc nhọn)

Suy ra: IH= IK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ΔMHO = ΔMKOIHB và ΔMHO = ΔMKOIKC, ta có:

IB=IC

∠(IHB) =∠(IKC) =90o

IH=IK (chứng minh trên)

Suy ra: ΔMHO = ΔMKOIHB= ΔMHO = ΔMKOIKC (cạnh huyền.cạnh góc vuông)

Suy ra: BH=CK (hai cạnh tương ứng)

Giải SBT Toán 7 bài 9: Tính chất ba đường cao của

tam giác

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại B Điểm nào là trực tâm của tam giác đó?

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC

Suy ra AB là đường cao kẻ từ đỉnh A và CB là đường cao kẻ từ đỉnh C

Vì B là giao điểm của 2 đường cao AB và CB nên B là trực tâm của tam giácABC

Câu 2: Cho hình bên

b Trong tam giác BEC có ∠(BEC)= 90o

⇒ ∠(EBC) + ∠C= 90o (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠(EBC)= 90o - ∠C= 90o - 40o = 50o hay ∠(IBD)= 50o

Trong tam giác vuông IDB có ∠(IDB) = 90o

⇒ ∠(IBD) + ∠(BID)= 90o (tính chất tam giác vuông)

⇒ ∠(BID) = 90o - ∠(IBD) = 90o - 50o = 40o

Mà ∠(BID) + ∠(DIE) = 180o (2 góc kề bù)

Nên ∠(DIE)= 180o - ∠(BID)= 180o - 40o = 140o

Câu 3: Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông Tìm trực tâm của

các tam giác HAB, HAC, HBC

Câu 4: Tam giác ABC có các đường cao BD và CE bằng nhau Chứng minh

rằng đó là tam giác cân

(cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: ∠(DCB) = ∠(EBC)

(hai góc tương ứng bằng nhau)

Hay ∠(ACB) = ∠(ABC)

Vậy ΔMHO = ΔMKOABC cân tại A

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Tìm trực tâm của tam

giác ABC, AHB, AHC

Lời giải:

*Tam giác ABC có (BAC) = 90o

Vì CA là đường cao xuất phát từ đỉnh B nên giao điểm của hai đường này là A.Vậy A là trực tâm của ΔMHO = ΔMKOABC

*Tam giác AHB có (AHB) = 90o

Vì AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A, BH là đường cao xuất phát từ đỉnh Bnên giao điểm của hai đường này là H

Vậy H là trực tâm của ΔMHO = ΔMKOAHB

*Tam giác AHC có (AHC) = 90o

Vì AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A, CH là đường cao xuất phát từ đỉnh Cnên giao điểm của hai đường này là H

Vậy H là trực tâm của ΔMHO = ΔMKOAHC

Câu 6: Cho hình dưới Có thể khẳng định rằng các đường thẳng AC, BD, KE

cùng đi qua một điểm hay không? Vì sao?

Lời giải:

Trong ΔMHO = ΔMKOAEB, ta có: AC ⊥ EB

Suy ra AC là đường cao xuất phát từ đỉnh A

Trong ΔMHO = ΔMKOAEB, ta có: BD ⊥ AE

Suy ra BD là đường cao xuất phát từ đỉnh B.

Trong ΔMHO = ΔMKOAEB, ta có: EK ⊥ AB

Suy ra EK là đường cao xuất phát từ đỉnh E

Theo tính chất ba đường cao trong tam giác nên các đường thẳng AC, BD và

EK cùng đi qua một điểm

Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM Qua A kẻ đường

thẳng d vuông góc với AM Chứng minh rằng d song song với BC

Câu 8: Cho tam giác ABC cân tại A Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của

BD Kẻ đường cao AE của ∆ABC, đường cao AF của ∆ACD Chứng minhrằng ∠(EAF) = 90o

AF ⊥ BD (gt)

Vì AF là đường cao nên AF cũng là đường phân giác của ∠(BAD)

Mà ∠(BAC) và ∠(BAD) là hai góc kề bù nên: AE ⊥ AF

Câu 9: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao CH cắt tia phân giác của góc

A tại D Chứng minh rằng BD vuông góc với AC

Câu 10: Tam giác ABC có AB = AC = 13cm, BC = 10cm Tính độ dài đường

trung tuyến AM

Vậy AM = 12(cm)