chương IV định lí fermat

định lí fermat là định lí nổi tiếng trong số học, để có thể bồi dưỡng thêm về chuyên đề này, ad đã viết ra nhằm mong các bạn được rèn luyện cọ xát và trau dồi kĩ năng giải toán trong chuyên đề này. Mong rằng qua chuyên đề này mọi người có thể hoàn thiện, cải thiện kĩ năng giải toán của mình

IV Định lí Fermat nhỏ

MỞ ĐẦU:

Chủ tịch Hồ Chí Minh đã từng dạy:

“Dân ta phải biết sử ta

Cho tường gốc tích nước nhà Việt Nam”

Biết "sử ta" để có lòng tự tôn, tự hào về ông cha, nhưng qua đó muốn phát huy và nâng cao kho tàng tri thức và vốn hiểu biết của mình, ta cũng cần biết về "sử của thế giới".

Lịch sử nhân loại, đặc biệt là lịch sử toán học, đã sản sinh ra vô số cá nhân tài ba Nếu là người có một niềm đam mê mãnh liệt, say sưa và yêu thích bộ môn của những con số, bạn có đủ tự tin để nói rằng: "Tôi đã biết đến nhà toán học vĩ đại này"?

Vì vậy,“dân toán” chắc hẳn phải nghe danh nhà toán học dưới đây Cùng tớ tìm hiểu qua về nhà toán học Fermat nhé !

Pierre de Fermat:Pierre de Fermat sinh ngày 17/8/1601 tại xã Beaumont-de-Lomagne, tỉnh Tarn-et-Garonne vùng Occitanie nước Pháp trong một gia đình khá giả Cha ông, Dominique Fermat là một thương gia buôn bán da Cha ông có 2 vợ, Françoise Cazeneuve và Claire de Long Ông theo học tại Đại học Orléans từ năm 1623 và nhận bằng cử nhân luật năm 1626 trước khi

đến Bordeaux Ở Bordeaux, ông bắt đầu nghiên cứu nghiêm túc về toán học

Năm 1630, ông mua văn phòng của một ủy viên hội đồng nghị viện Parlement of Toulouse, một trong những Tòa án Tối cao Pháp viện, và đã được tuyên thệ bởi Grand Chambre vào tháng 5 năm 1631 Ông làm việc trong văn phòng này từ đó cho đến cuối đời Bằng cách đó, ông đã được đổi tên từ Pierre

Fermat thành Pierre de Fermat Ông thông thạo 6 ngôn ngữ: Tiếng Pháp, Latin, Occitan, tiếng Hy Lạp

cổ, tiếng Ý và tiếng Tây Ban Nha

Ông để lại phần lớn các công trình của mình dưới dạng thư viết cho những người bạn của ông, thường

có khá ít hoặc không có nhiều bằng chứng về các định lí của ông Ở một vài bức thư, ông đã khám phá rất nhiều ý tưởng cơ bản của Vi tích phân trước Newton hoặc Leibniz Fermat làm toán theo sở thích nhiều hơn là trở thành một nhà toán học chuyên nghiệp Dù vậy, ông đã có nhiều đóng góp quan trọng cho Hình học giải tích, Xác suất, Vi tích phân và Lý thuyết số

Anders Hald đã từng viết: "Nền tảng toán học Fermat là các luận văn Hy Lạp cổ điển kết hợp với các phương pháp mới của đại số Vieta"[2]

Công việc

Công trình tiên phong của Fermat trong Hình học giải tích (Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum) được lưu hành dưới dạng bản thảo vào năm 1636 (dựa trên những kết quả đã đạt được vào năm 1629), trước khi La Géométrie của Descartes xuất bản năm

1637 Bản thảo được xuất bản sau khi ông đã qua đời (1679)

Trong Methodus ad disquirendam maximam et minimam và De tangentibus linearum curvarum,

Fermat đã phát triển một phương pháp (bất bình đẳng) cho việc xác định cực đại, cực tiểu và tiếp tuyến với các đường cong khác nhau tương đương với Vi phân

Cái chết

Pierre de Fermat mất vào ngày 12 tháng 1 năm 1665 tại Castres Trường trung học cổ nhất và uy tín nhất ở Toulouse được đặt theo tên của ông: Lycée Pierre-de-Fermat Nhà điêu khắc người

Pháp Théophile Barrau đã tạo một bức tượng cẩm thạch và đặt tên là Hommage à Pierre Fermat để

tưởng nhớ tới ông, nay bức tượng nằm ở Capitole de Toulouse (Nguồn: wikipedia)

Vậy là ta đã lật lại điểm sơ qua trang tiểu sử của Fermat vĩ đại Sang phần tiếp theo, tớ sẽ giới thiệu một định lý hết sức hay ho và thú vị - định lí Fermat nhỏ!

(định lí Fermat lớn tớ sẽ nhắc tới ở cuối chương Câu chuyện về định lí Fermat lớn cũng hấp dẫn không kém nên hãy kiên trì cùng tớ dõi theo tới chương cuối nhé, tớ tin rằng cậu sẽ làm được ^^😊)

4.1Định lí :Cho hai số nguyên dương a và số nguyên tố p, khi đó ta có: ap  a (mod ) p

Hệ quả: Cho hai số nguyên dương a và số nguyên tố pthoả mãn ( ; ) 1 a p  , khi đó:

1

1(mod )

p

a   p

Lời bình: Dựa vào kinh nghiệm, một suy nghĩ rất tự nhiên ta sẽ nghĩ ngay đến cách chứng minh nó đúng với a 1, a2, cho đúng với a, ta cần chứng minh nó cũng đúng với a1

Lời giải:

Cách 1:

Với a1 thì bài toán luôn đúng

Giả sử bài toán đúng với a, nghĩa là p

a  a p , ta sẽ chứng minh nó đúng với a1.Thật vậy:

1

p

k

p

k





 

 



Lại có: p p

k

 

 

  với 1    k p 1 và giả thiết quy nạp ta suy ra ( 1)p ( 1)

a    a p

( a 1)p a 1(mod ) p

Theo nguyên lí quy nạp nên bài toán đúng với mọi số nguyên dương a

Lời bình: Ở cách 1 là cách làm vô cùng tự nhiên, thế nhưng để mở rộng thêm kiến thức, tớ sẽ đưa thêm lời giải khác (tớ thấy cách này không được tự nhiên cho lắm) bằng cách sử dụng hệ thặng dư, mời bạn đọc tham khảo:

Cách 2:

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: nếu gcd( ; a p )  d d (  1) thì   p d vì p là số nguyên tố

a p

  ap  a (mod ) p

TH2: nếu gcd( ; ) a p  1 Xét các số khi đem chia cho p có các số dư khác nhau ( nếu giả sử có 2 số có cùng số dư với nhau ta sẽ có ia  ja (mod ) p trong đó , i j  (1; p  1)

a i j p

    i j p , điều này không xảy ra vì | i   j | p mà | i   j | p Dấu “=” xảy ra  i j)

Do đó: a a a 2 3 ( p  1) a  1.2.3 ( p  1)(mod ) p

1

1(mod )

p

a  p

   ap  a (mod ) p (đpcm)

Qua hai cách chứng minh trên tớ tin có thể giúp bạn đọc hiểu rõ hơn về định lí Fermat nhỏ này, để có thể vận dụng và vận dụng cao định lí Fermat ta cần rèn luyện, cọ sát qua các bài tập Sau đây tớ xin đưa ra bài tập vận dụng về chuyên đề này:

4.2 Các ví dụ

Lời giải:

( ) (mod )





Theo định lí Fermat với p là số nguyên tố ta có: ap  a (mod p )

Tương tự ta có: aq  a (mod ) q

a   a a  a  a   a q

a   a a  a  a   a p

Ví dụ 1:Cho 𝑝, 𝑞 là hai số nguyên tố phân biệt thỏa mãn 𝑎𝑝 ≡ 𝑎(mod𝑞) và 𝑎𝑞 ≡ 𝑎(mod𝑝) Chứng minh rằng 𝑎𝑝𝑞 ≡ 𝑎(mod𝑝𝑞)

Mà ( ; ) 1 p q   apq   a 0(mod pq )  apq  a (mod pq )

Lời giải: Do n  1 p  1 nên đặt n   1 m p (  1) với m  Z

Ta có:

1 ( 1)

n

Làm tương tự với tất cả các ước nguyên tố pi của số square – free n và ( p p1; 2; ; pk) 1 

(mod )

n

a a n

Lời giải: Nếu a chia hết cho p thì b cũng chia hết cho p

Nếu a không chia hết cho p thì b cũng không chia hết cho p, mà p là số nguyên tố nên

( ; ) a p  ( ; ) 1 b p 

p a  ab  b  p a  b a  ab  b  a  b

(mod ) k k(mod )

    Theo định lí Fermat ta có:

3 2

3 2 3 2

3 2

3 2 2

3

(mod ) (mod )

k

k

a a b a a p

b b p b b b p

b a b a b p

a b b a b p



Nếu a  b (mod ) p  a2  ab b  2  3 a2(mod ) p  vô lí

Nếu b3k( a   b ) 1 p  b3k1 a  b3k2  b p  a b 3k1 p (vô lí)

Khái niệm số Carmichael: 𝑎𝑛 ≡ 𝑎(𝑚𝑜𝑑𝑛) ⇒ 𝑛 được gọi là số Carmichael

Số square - free 𝑛 là số có dạng 𝑛 = 𝑝1 ⋅ 𝑝2 ⋅ 𝑝3… 𝑝𝑘 với 𝑝𝑖 là số nguyên tố

Ví dụ 2: Gọi 𝑝 là một ước nguyên tố tùy ý của số square - free 𝑛 Nếu 𝑛 − 1 chia hết cho

𝑝 − 1 thì 𝑛 là số Carmichael.

Ví dụ 3: Cho các số tự nhiên 𝑎, 𝑏 thỏa mãn 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 chia hết cho số nguyên tố

𝑝 = 3𝑘 + 2 với 𝑘 ∈ ℕ∗

Chứng minh rằng 𝑎, 𝑏 đều chia hết cho 𝑝

Lời giải: Giả sử tồn tại số nguyên tố có dạng 6k + 5 là ước của 𝑥2+ 3

Từ đây ta có: 𝑥2+ 3 ≡ 0(mod𝑝) Nếu 𝑥 thỏa mãn 𝑥2+ 3 ≡ 0(mod𝑝) thì x + kp cũng thóa mãn

Dòng chứng minh: (𝑥 + 𝑘𝑝)2+ 3 = 𝑥2+ 2𝑥𝑘𝑝 + 𝑘2𝑝2+ 3 ≡ 0(mod𝑝)

Nếu 𝑥 của thầy chẵn thì chọn k = 1−> x + p là lẽ

Có: (2𝑦 + 1)2 + 3 ≡ 0(mod𝑝) ⇔ 4(𝑦2+ 𝑦 + 1) ≡ 0(mod𝑝) ⇔ 𝑦2+ 𝑦 + 1

≡ 0(mod𝑝)

Nhân y − 1 vô thì mình có (𝑦 − 1)(𝑦2+ 𝑦 + 1) ≡ 0(mod𝑝) ⇔ 𝑦3 ≡ 1(mod𝑝)

Theo Fermat thì 𝑦𝑝−1 ≡ 1(mod𝑝) ⇒ 𝑦6𝑘+4 ≡ 1(mod𝑝)

Có 𝑦3 ≡ 1(mod𝑝) ⇒ (𝑦3)2𝑘+1 ≡ 1(mod𝑝) ⇒ 𝑦6𝑘+3 ≡ 1(mod𝑝)

Từ đây có: 1 ≡ 𝑦6𝑘+4 ≡ 𝑦6𝑘+3⋅ 𝑦 ≡ 𝑦(mod𝑝) ⇒ 𝑦 ≡ 1(mod𝑝)

Suy ra: 𝑦2+ 𝑦 + 1 ≡ 3(mod𝑝) Thế thì 3 ≡ 0(mod𝑝) vô lí

4.3: Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho p là số nguyên tố Chứng minh rằng: 3p   2p 1 luôn chia hết cho 42 p

Bài 2*: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho 1n    2n 2016n không chia hết cho 2017

Bài 3: Cho hai số nguyên tố p,q phân biệt Chứng minh rằng pq1 qp1 1 pq

Bài 4: Cho p là số nguyên tố có dạng 4k+3, a và b là hai số nguyên dương bất kì Chứng

minh rằng nếu a2  b p2  a p và b p

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p tồn tại vô hạn số tự nhiên sao cho

2n  n p

Bài 6: Tìm tất cả các số nguyên tố p q; sao cho: (5p  2 )(5q q  2 )p pq

Bài 7: Cho các số nguyên dương a b c d, , , và số nguyên tố p thoả mãn hệ thức:

1 1

a b

c d p





Ví dụ 4:Chứng minh rằng các số nguyên dạng 𝑥2+ 3 không có ước nguyên tố dạng 6𝑘 + 5

Chứng minh rằng a b c d p   

Bài 8: Tìm 7 số nguyên tố sao cho tổng luỹ thừa bậc 6 của chúng bằng tích của chúng

Bài 9: Cho số tự nhiên k 1 và số nguyên tố p   6 k 1 Chứng minh với m   2p 1 thì

1

127

m

m

 

là số tự nhiên

Bài 10: Tìm tất cả các số nguyên dương x y, thoả mãn: x2010 x2009    x 2 y5

Bài 11: (Bulgarian MO 1995) Tìm tất cả các số nguyên n1 sao cho  a N* thì ta có

25

a  a n

Bài 12:(diendantoanhoc.net) Giả sử phương trình x2017  ax2    bx c 0 với

; ;

a b cZ có ba nghiệm nguyên lần lượt là x x x1, ,2 3 Chứng minh rằng:

1 2 2 3 3 1

(1    a b c x )(  x )( x  x )( x  x ) 2017

Bài 13: (IMO 2005)

Cho 𝑎, 𝑏 là các số tự nhiên thỏa mãn 𝑎𝑛 + 𝑛 chia hết cho 𝑏𝑛 + 𝑛 với mọi số tự nhiền

Chửng minh rằng 𝑎 = 𝑏

Bài 14:Chứng minh rằng 220 + 330 + 4∞0+ 550 + 6∞0 chia hết cho 7

Bài 15:Giải phương trình đồng dư 𝑥86 ≡ 6(mod29)

Bài 16:Cho 𝑝 là một số nguyên tố khác 2 và 5 Chứng minh trong dãy 9,99,999, … có vô hạng số chia hết cho 𝑝

Bài 17:Chứng minh rằng 𝑛 =4𝑝+1

5 lả số giả nguyên tố vời số nguyên tố 𝑝 > 5

Bài 18 Chứng minh rằng 8𝑛 + 𝑛8 chia hết cho 17 khi vả chỉ khi 8𝑛8+ 1 chia hết cho 17 với 𝑛 là số nguyên dương

Bài 19: (IMO Shortlist 2012) Giải phương trình nghiệm nguyên:

𝑥3(𝑦3 + 𝑧3) = 2012(𝑥𝑦𝑧 + 2)

Đọc thêm:

Ý nghĩa của bài toán Fermat lớn!!

Định lý cuối cùng của Fermat được nghĩ ra năm 1637 khi Fermat nghiên cứu quyển sách toán cổ Hy

lạp Arithmetica, viết bởi Diophantus vào khoảng năm 250 AD Trang sách đã gợi ý cho Fermat bàn về

các tính chất quanh định lý Pythagore, có đại ý là:

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng số bình phương của hai cạnh góc vuông

Nói khác đi, phương trình 2 2 2

x  y  z có vô số lời giải và từ đó sẽ tìm được bộ 3 số Pythagore

Từ định lý Pythagore, Fermat đã tìm xem có 3 số nguyên x,y,z nào thỏa cho một phương trình như

phương trình của Pythagore nhưng ở bậc cao hơn hay không

x  y  z Nhưng đều thất bại Theo

Fermat thì phương trình này với 3 ẩn số nguyên x y z, , và n2 không thể giải được

Ông đã viết điều này bên lề quyển Arithmetica đại khái như sau:

Không thể nào tách một số lập phương thành tổng số của hai số lập phương khác, hay một số tứ phương thành tổng số của hai số tứ phương khác

Một cách tổng quát:

Không thể tách rời bất kỳ lũy thừa bậc lớn hơn hai nào của một số nguyên thành hai lũy thừa cùng bậc của hai số nguyên khác

và ông còn viết thêm:

Tôi đã tìm được một chứng minh tuyệt vời cho mệnh đề này nhưng lề của quyền sách này không đủ chỗ

để viết

Định lý này của Fermat đã gây cảm hứng cho nhiều thế hệ tiếp theo, không những cho các nhà toán

học mà còn cho cả những người hiếu kỳ muốn thử tài mình Người thì tìm cách chứng minh định lý đó

đúng, người thì tìm cách chứng minh định lý đó sai Các trường hợp n=3 và 5 đã được Euler, Dirichlet

và Legendre chứng minh năm 1825 và phải đến 15 năm sau, trường hợp n=7 mới được Gabriel Lamé

chứng minh

Một điều không may là các chứng minh đó tương đối dài và khó mà suy rộng đến trường hợp tổng quát Mặc dầu được gọi là định lý nhưng mệnh đề mà Fermat nêu lên chưa được chứng minh đúng một cách tổng quát

Sở dĩ định lý này được gọi là "Định lý cuối cùng của Fermat" vì tất cả những mệnh đề toán học mà

Fermat nêu lên đều đã được chứng minh, trừ mệnh đề này!

Năm 1823 và 1850, Hàn lâm viện Khoa học Pháp treo hai giải thưởng cho một lời giải đúng của định lý Một giải thưởng thứ ba do Hàn lâm viện Brussels đề nghị năm 1883 và năm 1908, nhà toán học tài tử Paul Friedrich Wolfskehl tặng 100,000 Mác cho Hàn lâm viện Khoa học Göttingen để làm giải thưởng

Sau đó thì cả ngàn lời giải đã được gởi đến các Hàn lâm viện trong khoảng thời gian từ 1908 đến 1911, nhưng tất cả đều sai!

Theo thời gian, có rất nhiều công trình đã được thực hiện để cố chứng minh định lý sau cùng của Fermat, nhưng tất cả những chứng minh nầy đều được khám phá là sai Càng cố gắng bao nhiêu, các nhà toán học càng thất vọng bấy nhiêu và một chứng minh được chấp nhận càng xa vời

Nhà toán học người Đức Ernst Kummer đã chứng minh định lý này là đúng với mọi số nguyên tố tới 100 (trừ 3 Số nguyên tố phi chính quy là 37, 59, 67)

Cuối cùng nó được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển

chứng minh các giả thiết có liên quan Mãi đến tháng 8 năm 1995 hội thảo ở Đại học Boston, giới toán học công nhận chứng minh là đúng.(sưu tầm)

Bài toán này có rất nhiều người biết đến, là bài toán kinh điển nổi tiếng thách thức nhân loại suốt 400 năm Ấy vậy mà, nhiều lúc tớ thắc mắc, tại sao con người chúng ta lại phải đánh đổi 400 năm phát triển chỉ để giải một bài toán trong khi ta còn chưa thấy ứng dụng của nó ở đâu, ngành nào? Những suy nghĩ ấy cứ trở đi trở lại mỗi ngày trong đầu tớ, hệt như một mớ tơ vò ☹ Thế rồi đến một lúc tớ chợt nhận ra, hình như việc giải bài toán đó không vô ích chút nào cả Có thể bài toán đó được ứng dụng vào một ngành khoa học tự nhiên nào đó, vĩ đại đến nhường nào mà ta không thể biết rõ được, hơn thế nữa tớ cảm nhận quá trình chúng ta chinh phục bài toán đó, ta đã tìm thấy vô số những phát minh mới, những định lí mới Từ cơ sở ấy cho thấy việc giải một bài toán khó không chỉ chúng

ta mới cùng nhau khát khao chinh phục, mà bài toán đó còn giúp ta phát triển được tư duy, làm cho ta tìm ra được cái hay, cái mới trên con đường chinh phục tri thức ấy!

Có thể bạn chưa biết: Fermat thực ra không phải nhà toán học, ông chỉ là một luật sư

có niềm đam mê bất tận với toán!