3 H1?: Để chứng minh ∆GAK vuông cân bằng phương pháp vecto, ta cần chứng minh quan hệ giữa các yếu tố như thế nào H3?: Hãy chọn bộ vecto cơ sở H4?: Hãy biểu diễn các vecto cần tính theo [r]
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
LIÊN TRƯỜNG THPT TP VINH
ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn: Toán
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5.0 điểm) ( Phần chung)
Câu 2.(4.0 điểm)
Cho khái niệm về xác suất: '' Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có
một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỷ số n( A) n(Ω) là xác suất của biến cố
A, ký hiệu là P(A) '' (Đại số và Giải tích lớp 11).
Anh (chị) hãy thiết kế hoạt động tiếp cận và hoạt động củng cố khái niệm trên trong quá trình dạy học
Câu 3 (6.0 điểm)
Xét bài toán:" Cho hình vuông ABCD Gọi G là trọng tâm ∆ABC, K là điểm thuộc cạnh CD sao cho KC = 2KD Chứng minh ∆GAK vuông cân "
a/ Anh (chị) hãy giải và nêu câu hỏi hướng dẫn cho học sinh giải bài toán trên
b/ Anh (chị) hãy nêu một số cách giải bài toán trên, nêu một số định hướng khai thác bài toán để phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh
Câu 4.(5.0 điểm)
a/ Trong bài '' Nhị thức Niu-Tơn'' ta có hệ quả: C n0+C n1+ +C n n=2n ( với n là số nguyên
dương )
Anh (chị) hãy nêu và giải hai bài tập sử dụng hệ quả trên với các mức độ thông hiểu và vận dụng thấp
b/ Anh (chị) hãy giải bài toán sau:
Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [0; 3] , chứng minh bất đẳng thức:
1
2 ln (a+1)− b+4+
1
2 ln(b+1)− c+4+
1
2 ln(c +1)− a+4 ≥
3
ln 4 +3
- Hết
Đề chính thức
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn: Toán
1.
(5đ)
2.
(4đ)
Tiến trình dạy học
Hình thức hoạt động : Các nhóm, hoặc toàn lớp
a) Hoạt động tiếp cận khái niệm
- Nhiệm vụ : Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất
+ NV 1: Nêu không gian mẫu của phép thử, nhận xét về khả năng xuất hiện của
các mặt của con súc sắc ?
+ NV 2: Gọi A là biến cố '' con súc sắc xuất hiện mặt chẵn '' thì khả năng xẩy ra
của A bằng bao nhiêu ?
+ NV 3: Số 1/2 được gọi là xác suất của biến cố A Từ đó phát biểu khái niệm xác
suất (Học sinh phát biểu được khái niệm xác suất )
- Giáo viên nhắc lại công thức và chú ý cần xác định những đại lượng nào khi tính
xác suất
b) Hoạt động củng cố khái niệm
- Nhận dạng khái niệm : Đưa ra ví dụ: Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và
đồng chất hai lần Tính xác suất của biến cố mặt sấp xuất hiện đúng một lần
- Thể hiện khái niệm (hoạt động nhóm) : HS các nhóm cho một ví dụ về xác suất
của một biến cố nào đó Các nhóm lên trình bày kết quả của nhóm mình
- Khái quát hóa, đặc biệt hóa, vận dụng khái niệm
NV 1: Các trường hợp đặc biệt của P(A)
P() = ? , P() = ? , so sánh P(A) với 0 và 1
NV2: Đưa ra ví dụ thông hiểu: Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu
đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả Tính xác suất sao cho có ít nhất một quả
cầu trắng
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ
3.a
(3đ)
Gọi cạnh hình vuông là a Đặt ⃗AB=⃗a ;⃗ AD=⃗b
¿⃗a∨¿⃗¿b∨¿a ;⃗a ⃗b=0
ta có ⃗AG=1
3(⃗AB+⃗AC)=
1
3(2 ⃗a+⃗b) ;
⃗GK=⃗AK −⃗ AG=⃗b+1
3⃗a −
1
3(2 ⃗a+⃗b)=
1
3(− ⃗a+2 ⃗b)
Ta có : ⃗AG ⃗GK=0 AG⊥ GK và
GA=GK=a√5
3 ∆GAK vuông cân tại G.
H1?: Để chứng minh ∆GAK vuông cân bằng phương pháp vecto, ta cần chứng
minh quan hệ giữa các yếu tố như thế nào
H3?: Hãy chọn bộ vecto cơ sở
H4?: Hãy biểu diễn các vecto cần tính theo bộ vecto cơ sở
H5?: Hãy tính tích vô hướng và độ dài các vecto
0,25 đ
0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ
3.b
(3đ)
Các cách giải khác:
- Phân tích trực tiếp vecto
- Đưa vào trong hệ trục tọa độ bằng cách chọn hệ trục tọa độ phù hợp
- Sử dụng định lý cosin và định lý Pitago
Một số hướng khai thác bài toán để phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh:
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
K
G
D
C B
A
Trang 3- Xét bài toán đảo: tìm vị trí K trên CD để ∆GAK vuông
- Tổng quát các vị trí của G , từ đó tìm vị trí K để ∆GAK vuông
- Tổng quát hình vuông thành hình chữ nhật, hình thang , cho vị trí G, K, chứng
minh ∆GAK vuông
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
4.a
(3đ)
Bài 1 Chứng minh đẳng thức: C20180
+C20182 +C20184 + .+ C20182018=22017
HD giải: Ta có: C20180
+C20181 + +C20182018=22018 (1), tương tự
C20180 − C20181 + +C20182018=0 (2)
Lấy (1) + (2) 2(C20180 +C20182 + +C20182018)=22018
C20180 +C20182 +C20184 + .+ C20182018=22017
Bài 2 Tìm số tự nhiên n sao cho 1 C n1+2 C n2+ +n Cn n=5120
Chứng minh công thức k C n k=n C n −1 k −1 bằng biến đổi
Khi đó 1 C n1+2 C n2+ + n Cn n=n( C n− 10 +C n − 11 + +C n −1 n −1)=n 2 n− 1
n 2 n − 1
=5120 n=10 (GV có thể chọn các bài tập tương tự các mức độ như trên)
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
4.b
(2đ)
Đặt vế trái của BĐT là P Do a, b, c thuộc 0;3 nên:
2ln(a +1) - b + 4 > 0 , 2ln(b +1) - c + 4 > 0 , 2ln(c +1) - a + 4 > 0 ,
Sử dụng BĐT cosi ta có với A, B, C là các số dương thì
A B C A B C
Áp dụng vào bài toán ta có: P≥ 9
2 ln(a+1)−a+2 ln(b+1)− b+2 ln(c+1)− c +12 Xét hàm số f(t) = 2ln(t +1) - t trên [0; 3] Ta có: f ' (t)= −t +1
t+1 , lập BBT của f(t)
ta có: f(t) ≤ 2ln2 -1 Thay t bởi a, b, c ta suy ra:
0<2 ln(a+1)− a+2 ln(b+1)−b+2 ln(c +1)− c+12 ≤ 9+6 ln 2
P≥ 3
ln 4+3 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =1.
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ
