X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña B vµ C sao cho thÓ tÝch tø diÖn ABCD nhá nhÊt.[r]
Trang 1Trờng THPT Hậu lộc 4
- đề thi kiểm tra chất lợng đội tuyển học sinh giỏi
Môn thi: TOáN (năm học 2009 - 2010)
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I (4 điểm)
Cho hàm số 2x 1
y 2x 2
có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Với I(1;1) và K là hỡnh chiếu vuụng gúc của M xuống đường thẳng y = x Tỡm điểm cố định C sao cho : 2IK – CM luụn là số dương khụng đổi khi M thay đổi trờn (H)
Câu II (4 điểm)
1 Tính tích phân:
1 5
2 2
1 5 2
(x x 1)(1 2006 )
2 Tính tổng:
S =
) 2 )(
1 ( 3
2 2 1
1 0
n n
C C
n n
Câu III (4 điểm)
1 Tìm tổng các nghiệm của phơng trình sau trên đoạn [1 ; 70]:
x
x x
x
3 2
2
cos
1 cos cos
tan 2
2 Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ; 1 )
2
1
0 ) 1 ( 2 ).
6 2 ( 2
).
2
Câu IV (6 điểm)
1 Cho tam giác nhọn ABC Đờng thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A Điểm M thay đổi trên đờng thẳng (M khác A) Đờng thẳng đi qua các trực tâm của các tam giác ABC, MBC cắt đờng thẳng tại N
a) Chứng minh rằng tứ diện MBNC có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau
b) Tìm vị trí của M để thể tích khối MNBC nhỏ nhất
2 Trong không gian Oxyz, cho A( 0 ; 0 ; 1), D( 0 ; 2 ; 0) B, C là hai điểm trên trục Ox sao cho mp(ACD) và mp(ABD) vuông góc với nhau Xác định vị trí của B và C sao cho thể tích tứ diện ABCD nhỏ nhất ứng với vị trí đó, hãy viết phơng trình mặt phẳng ( ) chứa AD và tạo với 2 mặt phẳng (ACD), (ABD) những góc bằng nhau
Câu V (2 điểm)
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a 2 b2 để đồ thị hàm số 3 4 3 2 3
x ax bx ax
điểm chung với trục hoành