De thi hsg tinh lop 9

Một tiếp tuyến của đường tròn O cắt các cạnh AB và AC của tam giác ABC theo thứ tự ở P và Q... áp dụng định lý Fecma :.[r]

Phòng GD&ĐT Lâm Thao

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi

Môn Toán 9

Thời gian: 150 phút Ngày 28- 11- 2012

Câu1 : (3 điểm )

b) Tìm dãy số tự nhiên liên tiếp có tổng bằng 2000.

Câu 2: : (5 điểm)

Giải phơng trình :

a) (m - 1)x2 + m2 - 3m + 2 = 0 b)

x 3x (x 2x 2)(x 4x 5)

2

Câu4 : : (6 điểm)

Cho đường trũn (O) nội tiếp tam giỏc đều ABC Một tiếp tuyến của đường

trũn (O) cắt cỏc cạnh AB và AC của tam giỏc ABC theo thứ tự ở P và Q Chứng minh rằng:

b)

¿

¿

AP BP

+ AQ

CQ ¿1

¿

Câu 5 (1 điểm)

Cho a, b, c và a.b.c = 1 Chứng minh

1

a b ab b c bc a c ac 

Đáp án

1

Ta có : ax by cz 0  

 

2

ax by cx 0

a x b y c z 2 axby bycz czax 0

a x b y c z 2 axby bycz czax 1

XÐt tö sè : B = bc y z  2 ac z x  2 ab x y  2

bcy bcz acz acx abx aby 2 axby bycz czax 2

Thay (1) vµo (2) Tao cã :

B bcy bcz acz acx abx aby a x b y c z

ax a b c by a b c cz a b c a b c ax by cz

a b c ax by cz

ax by cz

3

2

a) (m - 1)x2 + m2 - 3m + 2 = 0

Ta cã :(m - 1)x2 + m2 - 3m + 2 = 0

2 2

m 1 x m 1 m 2 0

m 1 x m 2 0

Víi m = 1 th× ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm cña x

Víi m1 x2m 2 0   x2  2 mm 2 

 x  2 m

Víi m = 2 th× x = 0

VËy m = 1 th× ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm cña x

m1 x2 m 2 0   x2  2 mm 2 

 x  2 m

m = 2 th× x = 0

3

b)

x 3x (x 2x 2)(x 4x 5)

2

§Æt a =

x 3x

2

 

(a > 0)

2

2

3

x 4x 5 a x

2 3

x 2x 2 a x

2

      



 

     



Ta cã :

2 2

              

B×nh ph¬ng 2 vÕ :

2

Ta có :

2

2

    

2

      

Vậy x =

3 2

3

a)

3  2  1 42p

áp dụng định lý Fecma :

Ta có :ap a mod p 

với p  

p

p

3 3 mod p

2 2 mod p

1 1 mod p

3 2 1 3 2 1 0 mod p





      

Vậy

3  2  1 p(1)

áp dụng định lý Fecma :

Ta có :ap 1 1 mod p 



với p   +) Vì p  và p > 7  pcó dạng 2k + 1 (k ,k > 3)

2 2  2 2 2 mod 3

mà 1 1 mod 3  

p

2 1 2 1 3 mod 3

    

Vậy 3p  2p  1 3(2)

+) Vì p  và p > 7  pcó dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5 (k ,k > 0)

Nếu p = 6k +1

3 3 3 3 3 mod 7

2 2 2 2 2 mod 7

1 1 mod 7













3 2 1 3 2 1 0 mod 7

      

 3p  2p  1 7

Nếu p = 6k +5

2.5

 

3 3 3 3 3 mod 7

2 2 2 2 2 mod 7

1 1 mod 7













3 2 1 3 2 1 210 0 mod 7

 3p  2p  1 7

VËy 3p  2p  1 7(3)

+) V× p  vµ p > 7  3p 1 mod 2 

mµ 1 1 mod 2  

p

3 1 1 1 0 mod 2

    

 3p  2p  1 2

VËy 3p  2p  1 2(4)

Tõ (1),(2),(3),(4)

3 2 1 42p

    v× 2,3,7, p 1 b) Gäi sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y sè lµ n ( n,n 0 )

Gäi sè h¹ng cuèi cïng cña d·y sè lµ m ( m, m n )

Ta cã : D·y sè tù nhiªn lµ : n,n 1,n 2, , m 1,m  

n m m n 1

2000 2

n m m n 1 4000

V× n m, m n  cã cïng tÝnh ch½n lÎ  n m,m n 1   kh«ng cïng tÝnh ch½n lÎ

mµ 4000 5 2 3 5

Víi n = 0  m m 1   4000

(v« lý) Víi n 0  n m m n 1   

Ta cã b¶ng :

VËy ta cã 4 d·y sè tho¶ m·n tæng c¸c sè lµ 2000 :

D·y 1 : 2000

D·y 2 : 398 , 399 , , 402

D·y 3 : 68 , 69 , , 92

D·y 4 : 47 , 48 , , 78

2.5

Kẻ QM AB tại M

Đặt AP = x, AQ = y, PQ = z

a)Vì ABCđều  A 60 

Xét AMQvuông ,

1

PM x y

2

áp dụng định lý Pytago :

Ta có :

2 2

PQ AP.PQ AP AQ

z xy x y

    (1)

b)

áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau của đờng tròn :

Ta có : PN = EP, QN = QF

P AP PQ AQ AP AQ PN QN AP PQ PE QF

AE AF AB

Ta cã :

BP QC AB AP AC AQ x y z x z y z y y z x z

x z x y z y x xz y yz

2

x z y z x z y z

AP AQ z xy xz yz

1

BP QC x z y z x z y z

(®pcm)

5

Ta cã : a5 b5 a b a   4  a b a b3  2 2  b a b3  4

¸p dông B§T C«si :

Ta cã : a4 b4 2a b2 2 DÊu = x¶y ra khi a2 b2

a b b a 2a b3  3  2 2 DÊu = x¶y ra khi a b b a3  3  a2 b2

a b a b 2a b a b 2a b a b a b

a b ab a b a b ab ab a b b a 1 a b a b c

a b ab a b a b c ab a b c

a b ab b c bc a c ac

ab a b c bc a b c ac a b c

a b c 1

a b c ab ac bc a b c

DÊu = x¶y ra khi

a b

b c

a b c 1

c a abc 1

 







   









1