Chứng minh rằng tích của 8 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 128.. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH.[r]
Trang 1Sở Giáo Dục & Đào Tạo
Vĩnh phúc
đề chính thức
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng tỉnh
năm học 2007 – 2008
-đề thi môn: toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Cõu 1 Cho cỏc số thực x y z, , thoả món điều kiện:
2 5 3 0.
Tớnh giỏ trị của biểu thức S ( x y )22 ( y z )4 ( z x )2008.
Cõu 2 Giải phương trỡnh:
4.
2 x 3 x
Cõu 3
a Chứng minh rằng tớch của 8 số nguyờn liờn tiếp luụn chia hết cho 128
b Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n cho trước, số
m n n ( 1)(n2) (n7) 1.2.3 7
khụng thể phõn tớch thành tổng của hai số chớnh phương
Cõu 4 Cho tam giỏc nhọn ABC cú đường cao AH Gọi M,N tương ứng là trung điểm
cỏc cạnh AB, AC
a Chứng minh rằng đường trũn ngoại tiếp cỏc tam giỏc HBM, HCN và AMN cựng đi qua một điểm K.
b Chứng minh rằng MN tiếp xỳc với đường trũn ngoại tiếp tam giỏc HBM.
c Gọi I là giao điểm của HK và MN, chứng minh rằng I là trung điểm của MN.
Cõu 5 Cho cỏc số thực dương a b c, , thoả món abc 2.Chứng minh rằng
a3 b3 c3 a b c b c a c a b
-Hết -Chỳ ý : Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm!
Họ và tờn thớ sinh:……… Số bỏo danh:………
Sở Giáo Dục & Đào Tạo
Vĩnh phúc Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng tỉnh năm học 2007 – 2008
Trang 2
-Hớng dẫn chấm đề thi chính thức môn toán
1
(2 điểm)
Ta cú
2 5 3 0(1)
2 5 3 0(2)
2 5 3 0(3)
0.5
Từ đú suy ra
x y
y z
z x
0.25
Nếu xy, từ (1) ta suy ra 3x3z 0 x z x y z.
Tương tự, nếu yzhoặc zxta cũng đều dẫn đến x y z
Như vậy, với cỏc số thực x y z, , thoả món giả thiết bài toỏn ta luụn cú
0.5
Từ đú: S (x x )22(x x )4 (x x )2008 0 0.25 2
(2 điểm)
-Nếu
3
x
x
Suy ra
4
2 x 3 x , vậy phương trỡnh khụng cú nghiệm
1 2
-Nếu
3
4
0 2
2
x
x
Suy ra
4
2 x 3 x , vậy phương trỡnh cũng khụng cú nghiệm
1 2
x
0.75
Với
1 2
x
ta thấy thoả món điều kiện và phương trỡnh đó cho
Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm duy nhất
1 2
x
0.25
3.a
(1 điểm)
Trong 4 số nguyờn liờn tiếp luụn cú một số chia hết cho 4 và một số khỏc
chia hết cho 2, do đú tớch của chỳng chia hết cho 8
0.25
Trang 3Trong 8 số nguyờn liờn tiếp luụn cú 4 số chẵn liờn tiếp, giả sử đú là cỏc số
2 , 2k k 2,2k 4, 2k 6(k ) Ta cú
2 (2k k 2)(2k 4)(2k 6) 16 ( k k 1)(k 2)(k 3)
0.5
Mà k k( 1)(k2)(k3) 8 nờn 2 (2k k2)(2k4)(2k6) 128 Từ đú suy ra
điều cần chứng minh
0.25
3.b
(1 điểm)
Ta chứng minh bằng phản chứng Từ phần a ta suy ra m128c5040
Giả sử mcú thể phõn tớch thành tổng của hai số chớnh phương, tức là tồn tại
cỏc số tự nhiờn a b, sao cho 128c 5040 a2 b2(1)
0.25
Vế trỏi của (1) chia hết cho 4 nờn a b, cựng là cỏc số chẵn (vỡ ngược lại, nếu
một số chẵn và một số lẻ thỡ vế phải (1) là số lẻ, cũn nếu hai số đều lẻ thỡ
2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 4 2
a b x y z chia 4 dư 2, vụ lớ!)
Do đú a 2 ,a b1 2 ( ,b a b1 1 1 ) và (1) 32c 1260 a12 b12(2)
0.25
Lập luận tương tự cho (2), ta cú (2) 8c 315 a22b a b22,( , 2 2 ) (3) 0.25 Lỳc này, 8c 315 3(mod 4) cũn a22 b22 3(mod 4)(thật vậy, xột tất cả cỏc
khả năng chẵn, lẻ của a b2 , 2 ta thấy chỉ cú ba khả năng xảy ra là
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
0(mod 4) 1(mod 4) 2(mod 4)
do đú (3) mõu thuẫn, suy ra điều phải chứng minh
0.25
4.a
0.25 0.25 0.25
0.25
4.b Tam giỏc AHB vuụng cú MH là cạnh huyền nờn MH = MB suy ra
Mặt khỏc do MN là đường trung bỡnh của tam giỏc ABC nờn MN//BC suy ra
Từ (1) và (2) suy ra MBH HMN Từ đú MN là tiếp tuyến của đường trũn
ngoại tiếp tam giỏc HBM.
0.25
0.25
0.5 4.c Tương tự 4.b ta chứng minh được MN là tiếp tuyến của đường trũn ngoại
-Gọi giao điểm thứ hai của các đờng tròn
ngoại tiếp các tam giác HBM và HCN là K
Ta có HBM HKM 1800 Tơng tự HCN HKN 1800
Từ đó
0
0
0
360 180
180
MKN MAN
Chứng tỏ tứ giác AMKN nội tiếp, hay đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cũng đi qua K.
A
N K
Trang 4tiếp tam giác HCN
Do MN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác HBM nên
MHI KMI tam giác IMH đồng dạng với tam giác IKM suy ra
2
Tương tự ta chứng minh được IN2 IK IH. (4)
Từ (3) và (4) ta có IM = IN hay I là trung điểm của MN
0.25
0.25 0.5
5 Trước hết, với mọi số thực dương a b, ta có
3 3 ( )( 2 2 ) ( )(2 ) ( )
Từ đó a3 b32c3 ab a b( ) 2 c3 2 2abc a b3( ) 2 4 ( c a b2 ) 4 c a b
Tương tự b3c32a3 4a b c (2); c3 a32b3 4b c a (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta có điều cần chứng minh 0.25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3
3
2
abc
a b c
0.25
……… Hết………