Giáo trình Số học - TS. Phan Đức Tuấn

Giáo trình Số học gồm có 7 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Xây dựng các tập hợp số; Lý thuyết chia hết trên tập số nguyên; Số nguyên tố và ứng dụng; Lý thuyết đồng dư; Hàm số học;... Mời các bạn cùng tham khảo!

MÖC LÖC

Mët sè kþ hi»u th÷íng dòng trong luªn ¡n 1

Líi mð ¦u 2

Ch÷ìng 1 X…Y DÜNG CC TŠP HÑP SÈ 3 1.1 Sè tü nhi¶n 3

1.2 Ph²p chùng minh quy n¤p 7

1.3 Sè nguy¶n 7

1.4 Sè húu t¿ 8

1.5 Tr÷íng ành chu©n 10

1.6 Chu©n p-adic tr¶n tr÷íng sè húu t¿ 10

1.7 C¡c t½nh ch§t cõa tr÷íng ành chu©n 11

1.8 Tr÷íng ành chu©n ¦y õ 12

1.9 Sü t÷ìng ÷ìng giúa c¡c chu©n 15

1.10 Chu©n tr¶n tr÷íng sè húu t¿ 17

Ch÷ìng 2 Lþ thuy¸t chia h¸t tr¶n tªp sè nguy¶n 23 2.1 Chia h¸t v  chia câ d÷ 23

2.2 ×îc chung lîn nh§t 24

2.3 Bëi chung nhä nh§t 26

Ch÷ìng 3 Sè nguy¶n tè v  ùng döng 27 3.1 Sè nguy¶n tè 27

3.2 D¤ng ph¥n t½ch ti¶u chu©n cõa mët sè nguy¶n 28

3.3 Lªp b£ng c¡c sè nguy¶n tè khæng v÷ñt qu¡ mët sè tü nhi¶n cho tr÷îc 31

3.4 Thüc h nh tr¶n Maple 32

Ch÷ìng 4 Lþ thuy¸t çng d÷ 35 4.1 çng d÷ thùc 35

4.2 Tªp c¡c lîp th°ng d÷ 36

4.3 H» th°ng d÷ ¦y õ v  h» th°ng d÷ thu gån 37

4.4 ành lþ Fermat v  ành lþ Euler 40

5.1 H m sè håc nh¥n t½nh 425.2 Sè c¡c ÷îc v  têng c¡c ÷îc cõa mët sè tü nhi¶n 435.3 H m Euler 44

6.1 Ph÷ìng tr¼nh Diophantine tuy¸n t½nh 456.2 Ph÷ìng tr¼nh Pythagore 46

7.1 Ph÷ìng tr¼nh çng d÷ mët ©n 497.2 H» ph÷ìng tr¼nh çng d÷ 52

LÍI MÐ †U

Sè håc l  khoa håc v· sè v  l  l¾nh vüc cê x÷a nh§t cõa To¡n håc.Trong Sè håc ng÷íi ta nghi¶n cùu nhúng t½nh ch§t v  nhúng quy t­c t½nhto¡n tr¶n c¡c tªp hñp sè Sè håc l  l¾nh vüc tçn t¤i nhi·u nh§t nhúng b ito¡n, nhúng gi£ thuy¸t ch÷a câ c¥u tr£ líi Tr¶n con ÷íng t¼m ki¸m c¥utr£ líi cho nhúng gi£ thuy¸t â, nhi·u lþ thuy¸t lîn cõa to¡n håc ¢ n©ysinh

Tr¶n cì sð theo dãi v  tham kh£o c¡c t i li»u v· sè håc câ li¶n quan

¢ cæng bè ho°c xu§t b£n trong thíi gian g¦n ¥y, chóng tæi bi¶n so¤ngi¡o tr¼nh n y nh¬m phöc vö èi t÷ñng l  sinh vi¶n khoa To¡n v  nhúngng÷íi quan t¥m ¸n nhúng v§n · cì sð cõa sè håc

Tr÷îc h¸t, chóng tæi tªp trung giîi thi»u c¡ch x¥y düng c¡c tªp hñp

sè nh÷ sè tü nhi¶n v  c¡c ph÷ìng ph¡p mð rëng tªp hñp sè Sau â,chóng tæi giîi thi»u lþ thuy¸t tr÷íng ành chu©n (tr÷íng m¶tric) v  mæt£ c¡c mð rëng ¦y õ cõa tr÷íng c¡c sè húu t¿ ành lþ Ostrowski mæt£ h¸t t§t c£ c¡c chu©n tr¶n tr÷íng c¡c sè húu t¿, kh¯ng ành r¬ng tr¶ntr÷íng húu t¿ ch¿ câ hai kiºu chu©n (sai kh¡c nhau mët t÷ìng ÷ìng) l :Chu©n gi¡ trà tuy»t èi v  chu©n p-adic Do â, ch¿ câ hai h÷îng mð rëngtr÷íng sè húu t¿ th nh tr÷íng ¦y õ N¸u xu§t ph¡t tø chu©n gi¡ tràtuy»t èi (chu©n Acsimet) tr¶n th¼ theo ph÷ìng ph¡p mð rëng Cantor,

ta s³ thu ÷ñc tr÷íng c¡c sè thüc Cán n¸u xu§t ph¡t tø chu©n p-adic(chu©n khæng Acsimet) th¼ ta s³ thu ÷ñc tr÷íng c¡c sè p-adic Do â,tr÷íng c¡c sè thüc v  tr÷íng c¡c sè p-adic l  b¼nh ¯ng vîi nhau vîi t÷c¡ch l  c¡c mð rëng ¦y õ cõa tr÷íng sè húu t¿ Ngo i ra, gi¡o tr¼nh n ycán giîi thi»u c¡c ùng döng cõa tr÷íng âng ¤i sè (phùc ho°c p-adic)trong vi»c nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t sè håc tr¶n tr÷íng h m

5 C§u tróc tæpæ cõa tr÷íng ành chu©n Acsimet

6 ành lþ Ostrowski v  c¡c kiºu chu©n tr¶n tr÷íng sè húu t¿

7 C¡c x¥y düng Tr÷íng sè thüc v  Tr÷íng sè p-adic

1.1 Sè tü nhi¶n

Sè tü nhi¶n xu§t hi»n do nhu c¦u nhªn bi¸t cõa con ng÷íi khi quans¡t c¡c t÷ìng ùng 1 − 1 giúa sè l÷ñng c¡c sü vªt Do â, ng÷íi ta câ thºx¥y düng sè tü nhi¶n ch½nh l  mët lîp t÷ìng ÷ìng c¡c tªp hñp câ còngb£n sè, tùc l  c¡c tªp hñp giúa chóng tçn t¤i mët song ¡nh Sè 0 ÷ñc

ành ngh¾a muën hìn, ÷ñc quy ÷îc l  lüc l÷ñng cõa tªp réng Cuèi th¸k 19, Peano ¢ x¥y düng tªp hñp sè tü nhi¶n mët c¡ch ch°t ch³ b¬ng h»ti¶n · Nâi kh¡c i, mët tªp hñp thäa m¢n h» ti¶n · Peano ÷ñc gåi l tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n Ng÷íi ta ¢ ch¿ ra r¬ng thæng qua c¡c v½ dö cõa

lþ thuy¸t tªp hñp, ành ngh¾a h¼nh thùc v· sè tü nhi¶n cõa Peano ch­cch­n tçn t¤i

H» ti¶n · Peano Tªp hñp c¡c sè tü nhi¶n l  mët tªp hñp Ncòng vîi mët ¡nh x¤ σ : N → N gåi l  ¡nh x¤ k¸ ti¸p câ c¡c t½nh ch§t

1) 0 ∈ N.

2) σ l  mët ìn ¡nh, vîi méi n ∈ N, σ(n) ÷ñc gåi l  ph¦n tû k¸ ti¸pcõa n

3) 0 khæng l  ph¦n tû k¸ ti¸p cõa b§t ký ph¦n tû n o cõa n

4) Vîi U ⊂ N câ t½nh ch§t: 0 ∈ N v  n¸u vîi måi n ∈ U k²o theo

Chó þ 1 Nh÷ vªy, tªp N gçm c¡c ph¦n tû ÷ñc sinh ra bði ph¦n

tû 0 v  ¡nh x¤ σ c¡c ph¦n tû k¸ ti¸p nhau kþ hi»u nh÷ sau:

0 7→ σ(0) = 1 7→ σ(1) = 2 7→ σ(2) = 3 7→ σ(3) = 4 7→ · · ·

Chó þ 2 Tø Ti¶n · 4) ta suy ra Nguy¶n lþ quy n¤p ÷ñc ph¡tbiºu nh÷ sau: N¸u câ m»nh · P (n) x¡c ành vîi måi sè tü nhi¶n n thäa

th¼ ta kh¯ng ành P (n) luæn óng vîi måi sè tü nhi¶n n

Thªt vªy, °t U = {n ∈ N/P (n) óng} Ta câ P (0) óng, do â

óng, do â σ(n) ∈ U, suy ra U thäa m¢n h» ti¶n · Peano, ngh¾a l 

U = N Do i·u n y n¶n ti¶n · 4) cán ÷ñc gåi l  ti¶n · quy n¤p.

ành ngh¾a 1.1.1 Vîi måi n ∈ N, ta ành ngh¾a n + 0 = n, n0 = 0.Gi£ sû m + n v  mn ¢ x¡c ành, ta ành ngh¾a

m + σ(n) = σ(m + n), mσ(n) = mn + m

M»nh · 1.1.2 Vîi måi n ∈ N, ta câ

0 + n = n, 0n = n

Chùng minh Ta chùng minh 0 + n = n b¬ng quy n¤p V¼ 0 + 0 = 0

n¶n kh¯ng ành óng vîi n = 0 Gi£ sû câ 0 + n = n, ta câ 0 + σ(n) =

M»nh · 1.1.3 Ta câ c¡c kh¯ng ành sau

1 Kþ hi»u 1 = σ(0), ta câ σ(n) = n + 1

2 Vîi måi n ∈ N, ta câ n + 0 = 0 + n = n, m0 = 0m = 0

3 Ph²p cëng v  ph²p nh¥n câ t½nh ch§t k¸t hñp, ngh¾a l  vîi måi

2) Ta chùng minh n + 0 = n theo quy n¤p V¼ 0 + 0 = 0 n¶n m»nh

· dóng vîi n=0 Gi£ sû câ n + 0 = n, ta câ σ(n) + 0 = σ(n + 0) = σ(n).C¡c kh¯ng ành cán l¤i chùng minh t÷ìng tü

ành ngh¾a 1.1.4 Gi£ sû m, n l  c¡c sè tü nhi¶n, ta nâi m ≤ n n¸utçn t¤i sè tü nhi¶n x sao cho n = m + x

M»nh · 1.1.5 ≤ l  quan h» thù tü to n ph¦n tr¶n N

Chùng minh Rã r ng ≤ câ t½nh ch§t ph£n x¤ v  b­c c¦u N¸u m, n ∈ N

sao cho n ≤ m v  m ≤ n, ngh¾a l  tçn t¤i x, y sao cho m = x + n v 

(b) N¸u n < m, hay tçn t¤i y ̸= 0, y ∈ N sao cho m = n + y Do

Tø i·u n y v  ti¶n · 4) ta câ U = N V¼ vªy m so s¡nh ÷ñc vîib§t ký ph¦n tû n o cõa N, hay ≤ l  quan h» thù tü to n ph¦n

M»nh · 1.1.6 Tªp N c¡c sè tü nhi¶n câ thù tü tèt

Chùng minh Gi£ sû S ⊂ N, S ̸= ∅ v  S khæng câ ph¦n tü nhä nh§t °t

S N¸u tçn t¤i x0 ∈ S sao cho σ(a) = x0 th¼ S câ ph¦n tû nhä nh§t, m¥uthu¨n vîi gi£ thi¸t ð tr¶n Suy ra σ(a) < x, ∀x ∈ S hay σ(a) ∈ U v  do

â U =N hay S = ∅ Væ lþ Vªy N s­p thù tü tèt

M»nh · 1.1.7 Ph²p nh¥n câ t½nh gi£n ÷îc vîi ph¦n tû kh¡c 0.Ngh¾a l  vîi måi m, n, r ∈ N, r ̸= 0, n¸u mr = mr th¼ m = n

Chùng minh Gi£ sûm ̸= n Theo M»nh · 1.1.5 ta câ tçn t¤i x ∈ N, x ̸=

0 sao cho m = n + x ho°c n = m + x Khæng m§t t¼nh têng qu¡t gi£ sû

1.2 Ph²p chùng minh quy n¤p

Ph÷ìng ph¡p chùng minh quy n¤p l  ph÷ìng ph¡p chùng minh c¡cm»nh · x¡c ành tr¶n tªp c¡c sè tü nhi¶n v  ÷ñc ph¡t biºu d÷îi nhi·ud¤ng kh¡c nhau sau ¥y

ành lþ 1.2.1 Cho tr÷îc sè tü nhi¶n n0 v  m»nh · P (n) x¡c ànhvîi måi sè tü nhi¶n n ≥ n0 Gi£ sû P (n0) óng v  vîi måi n ≥ n0,

ta kh¯ng ành P (n) óng vîi måi n ≥ n0

Chùng minh T÷ìng tü ành lþ 1.2.1

1.3 Sè nguy¶n

Nhu c¦u x¥y düng sè nguy¶n b­t nguçn tø nhu c¦u gi£i ph÷ìng tr¼nh

ng÷íi ta mð rëng tªp hñp sè tü nhi¶n sao cho ph÷ìng tr¼nh tr¶n câ nghi»m

v  gåi chóng l  tªp hñp c¡c sè nguy¶n

X²t tªp t½ch ·c¡c N×N = {(a, b)/a, b ∈ N} Tr¶n tªp hñp n y tax¡c ành mët quan h» hai ngæi, k½ hi»u l  ∼, nh÷ sau:

Khi â, ∼ l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng v  ph¥n ho¤ch N×N th nh c¡c

lîp t÷ìng ÷ìng v  méi lîp ÷ñc kþ hi»u l  (a, b), vîi (a, b) ∈ N×N Kþ

hi»u Z = N×N⧸ ∼

Ph²p nh¥n ÷ñc ành ngh¾a bði (a, b) + (c, d) = (ac + bd, ad + bc)

Khi â, Z vîi ph²p to¡n + v  nh÷ tr¶n lªp th nh mët v nh giaoho¡n câ ìn và

B¥y gií ta x²t ¡nh x¤ f :N → Z x¡c ành bði f (a) = (a, 0) D¹ th§y

f ìn c§u v  do â khi ta çng nh§t sè tü nhi¶n a vîi ph¦n tû f (a) cõatªp hñp sè nguy¶n Z th¼ N l  mët bë phªn cõa Z

Khi â, v nh Z ÷ñc gåi l  v nh c¡c sè nguy¶n

X²t tªp t½ch ·c¡c Z ×Z∗ = {(a, b)/a, b ∈ Z, b ̸= 0}, ð ¥y Z∗ =

ℜ, nh÷ sau:

∀(a, b), (c, d) ∈ Z×Z∗ : (a, b)ℜ(c, d) ⇔ ad = bc

Khi â, ℜ l  mët quan h» t÷ìng ÷ìng v  ph¥n ho¤ch Z×Z∗ th nh c¡clîp t÷ìng ÷ìng v  méi lîp ÷ñc kþ hi»u l  (a, b), vîi (a, b) ∈ Z×Z∗ Kþ

0 luæn câ nghi»m duy nh§t.

º ành ngh¾a quan h» thù tü tr¶n Q tr÷îc h¸t vîi x = ab, a, b ∈

nâi x b² hìn ho°c b¬ng y hay y lîn hìn ho°c b¬ng x v  kþ hi»u y ≥ x

Câ mët t½nh ch§t r§t °c tr÷ng cõa sè húu t¿ â l  t½nh trò mªt nâi r¬nggiúa hai sè húu t¿ kh¡c nhau bao gií công tçn t¤i væ sè sè húu t¿ kh¡c,ngh¾a l  vîi måi x, y ∈ Q, x < y, luæn tçn t¤i z ∈ Q sao cho x < z < y.Chó þ r¬ng tr¶n tr÷íng c¡c sè húu t¿ Q ph÷ìng tr¼nh x2 − 2 = 0

khæng câ nghi»m V¼ vªy, º mð rëng tr÷íng sè húu t¿ Q ng÷íi ta ÷a ra

kh¡i ni»m tr÷íng ành chu©n v  ch¿ ra t§t c£ c¡c c¡ch mð rëng ¦y õcõa tr÷íng c¡c sè húu t¿ Q Tr÷îc h¸t chóng ta t¼m hiºu c¡c kh¡i ni»mli¶n quan ¸n tr÷íng ành chu©n sau ¥y.

1.5 Tr÷íng ành chu©n

ành ngh¾a 1.5.1 Tr÷íng K còng vîi ¡nh x¤ ϕ : K → R, kþ hi»u bði

i·u ki»n sau ¥y tho£ m¢n:

1.6 Chu©n p-adic tr¶n tr÷íng sè húu t¿

Cho p l  mët sè nguy¶n tè cè ành Vîi méi sè húu t¿ α ̸= 0, ta vi¸t

4) ϕ(Pni=1ai) ≤ Pni=1ϕ(ai).

5) ϕ(a−1) = ϕ(a)−1 = ϕ(a)1 , ∀a ∈ K, a ̸= 0

6) ϕ(ab−1) = ϕ(a)ϕ(b), ∀a, b ∈ K, b ̸= 0

â ta câ t½nh ch§t 3) C¡c t½nh ch§t cán l¤i b¤n åc tü chùng minh.

1.8 Tr÷íng ành chu©n ¦y õ

Gi£ sû (K, ϕ) l  tr÷íng ành chu©n Khi â:

- D¢y αn c¡c ph¦n tû cõa K, ÷ñc gåi l  hëi tö v· ph¦n tû α ∈ K

(theo chu©n ϕ), n¸u vîi méi sè thüc ϵ tuý þ, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n n0

sao cho ϕ(αn− α) < ϵ, ∀n > n0 Ta kþ hi»u limn→∞αn = α

- D¢y αn c¡c ph¦n tû cõa K ÷ñc gåi l  mët d¢y khæng (theo chu©n

Chùng minh Gi£ sû {αn}, n ∈ N l  mët d¢y hëi tö trong tr÷íng ành

chu©n (K, ϕ) v· ph¦n tû α ∈ K Khi â ta câ b§t ¯ng thùc sau

Tø b§t ¯ng thùc n y suy ra {αn} l  d¢y cì b£n

B¥y gií, trong tr÷íng sè húu t¿ Q ta s³ ch¿ ra câ mët d¢y cì b£n m khæng hëi tö theo chu©n gi¡ trà tuy»t èi Thªt vªy, ta x²t d¢y sè húu t¿

11! + · · · +

1n!, n = 0, 1, 2,

Vîi p < q,ta câ c¡c b§t ¯ng thùc:

(p + 1)! + · · · +

1q!

Nh÷ vªy, l khæng ph£i l  sè nguy¶n v  do â l = mn, vîi m, n ∈ Z, m

khæng chia h¸t cho n v  do â n > 1 Trong (1.8.2), ti¸p töc chån p = n,

1n!

H» qu£ 1.8.2 Tr÷íng sè húu t¿ Q l  tr÷íng khæng ¦y õ theo chu©ngi¡ trà tuy»t èi.

ành lþ 1.8.3 Chu©n ϕ tr¶n tr÷íng K l  chu©n khæng Acsimet khi

v  ch¿ khi ϕ(n) ≤ 1, ∀n ∈ N.

Chùng minh Ta k½ hi»u 1 l  ìn và cõa K v  ϕ(n) = ϕ(1 + 1 + · · · + 1)

1) Gi£ sû ϕ l  chu©n khæng Acsimet, khi â vîi måi sè tü nhi¶n n tacâ

Ckiak−ibi] ≤

kXi=0

ϕ(Cki)ϕ(ak−i)ϕ(bi)

≤

kXi=0

ϕ(a)k−iϕ(b)i ≤ (k + 1)Mk, ∀k = 1, 2,

Trong â M = max{ϕ(a), ϕ(b)} Do â



ϕ(a + b)M

Tuy nhi¶n vîi k õ lîn ta câ kδ > β, 12(k − 1)δ2 > α Do â γk > αk + β

i·u n y tr¡i vîi gi£ thi¸t cõa bê ·

1.9 Sü t÷ìng ÷ìng giúa c¡c chu©n

ành ngh¾a 1.9.1 C¡c chu©n ϕ v  ψ tr¶n còng mët tr÷íng ÷ñc gåi

l  t÷ìng ÷ìng vîi nhau v  kþ hi»u bði ϕ ∼ ψ n¸u chóng x¡c ành tr¶ncòng mët t½nh hëi tö, ngh¾a l  ϕ(xn−x) → 0khi v  ch¿ khiψ(xn−x) → 0

theo chu©n gi¡ trà tuy»t èi trong tr÷íng sè thüc R

ành lþ 1.9.2 Gi£ sû ϕ v  ψ l  hai chu©n tr¶n tr÷íng K Khi â

ϕ v  ψ l  t÷ìng ÷ìng vîi nhau khi v  ch¿ khi ∀x ∈ K(ϕ(x) < 1 ⇔ψ(x) < 1)

Chùng minh 1) Gi£ sû ϕ ∼ ψ tr¶n K Khi â ta câ d¢y c¡c ph²p bi¸n

êi t÷ìng ÷ìng sau ¥y:

⇔ xn → 0 theo chu©n ϕ trong K

⇔ xn → 0 theo chu©n ψ trong K

Gi£ sû pl  mët ph¦n tû tuý þ, cè ành cõa K sao cho ϕ(p) > 1 (ph¦n

tû p nh÷ vªy l  tçn t¤i, v¼ n¸u ng÷ñc l¤i th¼ ϕ(p−1) = ϕ(p)1 < 1) Ta câ

ψ(p) > 1 (theo nhªn x²t tr¶n) Ta °t ϕ(a) = ϕ(p)δ v  ψ(a) = ψ(p)δ′ Tas³ chùng minh δ = δ′

Gi£ sû n v  k l  c¡c sè nguy¶n sao cho n

k < δ, k > 0 Khi â, ta câ:

= ln ϕ(a)ϵ

V¼ vªy, ψ(a) = ϕ(a)ϵ∀a ∈ K hay ψ = ϕϵ v  do â ϕ ∼ ψ

ành lþ 1.9.3 Tr¶n tr÷íng húu h¤n ch¿ câ duy nh§t mët chu©n t¦mth÷íng

Chùng minh Gi£ sûK l  mët tr÷íng húu h¤n câq ph¦n tû v  ϕl  chu©ntr¶n K, ta chùng minh ϕ(α) = 1, ∀α ∈ K Thªt vªy, do K l  tr÷íng húuh¤n n¶n nhâm nh¥n K∗ c¡c ph¦n tû kh¡c 0 cõa tr÷íng K l  nhâm xiclicc§pq −1, sinh bði ph¦n tû x ∈ K∗ V¼xq−1 = 1n¶nϕ(xq−1) = ϕ(x)q−1 =

1 v  v¼ vªy ϕ(x) = 1 Do â, vîi måi α ∈ K∗, α = xk, 0 ≤ k ≤ q − 2, n¶n

N¸u ϕ(α + β) < ϕ(α), k¸t hñp vîi ϕ(α) > ϕ(β) i·u â s³ d¨n ¸n m¥uthu¨n sau ¥y

y

ành lþ 1.10.2 (ành lþ Ostrowski) C¡c chu©n ϕ(x) = |x|α vîi

h¸t c¡c chu©n khæng t¦m th÷íng cõa tr÷íng sè húu t¿ Q Nâi kh¡c i,mët chu©n khæng t¦m th÷íng tr¶n tr÷íng sè húu t¿ Q l  t÷ìng ÷ìngvîi mët trong hai chu©n sau:

1 Ho°c chu©n gi¡ trà tuy»t èi

2 Ho°c chu©n p-adic |.|p vîi p l  mët sè nguy¶n tè n o â

Chùng minh Gi£ sû ϕ l  mët chu©n khæng t¦m th÷íng tr¶n Q Khi â,x£y ra hai tr÷íng hñp sau:

1)Tçn t¤i sè tü nhi¶n a sao cho ϕ(a) > 1

Tr÷íng hñp 1 Tçn t¤i sè tü nhi¶n a sao cho ϕ(a) > 1

V¼ r¬ng ϕ(n) ≤ ϕ(1) + · · · + ϕ(1) = 1 + · · · |1 = n, ∀n ∈N, do â ta

câ thº °t

trong â α = ln ϕ(a)ln a l  sè thüc thäa m¢n i·u ki»n 0 < α ≤ 1

L§y mët sè tü nhi¶n N b§t k¼, ta vi¸t N trong h» ghi cì sè a nh÷sau:

N = x0 + x1a + · · · + xk−1ak−1,

trong â xi tho£ m¢n 0 ≤ xi ≤ a − 1, 0 ≤ i ≤ k − 1, xk−1 ≥ 1

èi vîi N, b§t ¯ng thùc sau x£y ra:

Theo t½nh ch§t cõa chu©n v  sû döng (1.10.3) v  (1.10.4), ta câ:

trong â C > 0 l  h¬ng sè khæng phö thuëc N

Thay N bði Nm vîi m l  sè tü nhi¶n tuý þ, ta ÷ñc:

vîi C1 = 1 − 1 − 1a
α
mët h¬ng sè d÷ìng khæng phö thuëc N Tø âsuy ra

thi¸t Vªy tçn t¤i mët sè nguy¶n tè p n o â sao cho ϕ(p) < 1 Gi£ sûr¬ng, cán câ mët sè nguy¶n tè q ̸= p sao cho ϕ(q) < 1 Khi â, ta chånc¡c sè tü nhi¶n k v  l sao cho:

Tø i·u m¥u thu¨n tr¶n suy ra câ duy nh§t mët sè nguy¶n tè p sao cho

ϕ(p) < 1 °t ϕ(p) = ρ, 0 < ρ < 1 V¼ r¬ng ϕ(q) = 1 vîi måi sè nguy¶n

Gi£ sû x ∈ Q, x ̸= 0 ta vi¸t x = abpn, trong â a, b, n l  c¡c sè nguy¶n

v  a, b khæng chia h¸t cho p Khi â ta câ

sè phùc Song ng÷íi ta cán t¼m th§y mët lo¤i sè gåi l  sè p-adic Tªp c¡c

sè p-adic l  sü mð rëng cõa tªp c¡c sè húu t¿

ành l½ Ostrowski kh¯ng ành tr¶n tr÷íng sè húu t¿ ch¿ câ hai kiºuchu©n (sai kh¡c nhau mët t÷ìng ÷ìng) Do â, ch¿ câ hai h÷îng mð rëng

th nh tr÷íng ¦y õ nh÷ sau:

1 N¸u xu§t ph¡t tø Q theo chu©n gi¡ trà tuy»t èi th¼ b¬ng ph÷ìngph¡p Cantor ng÷íi ta s³ x¥y düng ÷ñc tr÷íng sè thüc R l  bê sung ¦y

õ cõa Q (tr÷íng Q l  tr÷íng ¦y õ b² nh§t chùa tr÷íng)

2 N¸u xu§t ph¡t tø Q theo chu©n p-adic th¼ công b¬ng ph÷ìng ph¡pCantor ng÷íi ta thu ÷ñc tr÷íng c¡c sè p-adic Qp l  mð rëng ¦y õ cõa

Q Ch¯ng h¤n c¡c tr÷íng: Q2, Q3, Q5,

Nh÷ vªy, tr÷íng sè thüc l  b¼nh ¯ng vîi tr÷íng sè p-adic vîi t÷ c¡ch

·u l  c¡c mð rëng ¦y õ cõa tr÷íng sè húu t¿

Sè p-adic Tr÷íng c¡c sè p-adic l¦n ¦u ti¶n ÷ñc ÷a v o to¡n håcbði nh  to¡n håc ng÷íi ùc K Hensel v o cuèi th¸ k 19 Tr÷íng sè Qp

÷ñc tr¼nh b y trong Lþ thuy¸t sè p-adic ÷ñc ùng döng trong nhi·u l¾nhvüc kh¡c nhau Nhúng nghi¶n cùu cì b£n ¦u ti¶n tr¶n sè p-adic ÷ñcti¸n h nh bði nhi·u nh  to¡n håc, thuëc v· ng nh gi£i t½ch p-adic: C¡cph²p t½nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, t½ch ph¥n, c¡c h m gi£i t½ch,bi¸n êi Fourier, lþ thuy¸t nhâm, lþ thuy¸t Nevanlinna Mët trong nhúngv§n · ÷ñc c¡c nh  khoa håc °c bi»t chó þ ¸n g¦n ¥y l  ùng döng c¡c

sè p-adic v o vªt lþ håc v  nhi·u l¾nh vüc khoa håc kh¡c C¡c sè p-adic

bê sung cho c¡c sè húu t, sè thüc, sè phùc C¡c sè p-adic d¨n ¸n m¶trickhæng Acsimet v  nâ th½ch hñp cho sü mæ t£ khæng gian v  thíi gian ríir¤c Còng vîi v´ µp v  ùng döng cõa to¡n håc, c¡c sè p-adic ¢ trð th nhmët cæng cö húu hi»u gióp c¡c nh  vªt lþ mæ t£ ch½nh x¡c hìn th¸ giîikh¡ch quan trong nhi·u l¾nh vüc tø vi mæ ¸n v¾ mæ: Cì håc l÷ñng tû, lþthuy¸t d¥y, mæi tr÷íng æng °c, vô trö håc v  khoa håc nhªn thùc

Ch֓ng 2

LÞ THUY˜T CHIA H˜T TR–N TŠP SÈ

NGUY–N

2.1 Chia h¸t v  chia câ d÷

Cho c¡c sè nguy¶n a, b vîi b ̸= 0 Sè nguy¶n a ÷ñc gåi l  chia h¸tcho sè nguy¶nb (hayb chia h¸t a) n¸u tçn t¤i sè nguy¶ncsao cho a = bc

Kþ hi»u a b ho°c b | a Khi â, ta nâi a l  bëi cõa b v  b l  ÷îc cõa a.N¸u a khæng chia h¸t cho b th¼ ta vi¸t b ∤ a

Mët ÷îc cõa a ÷ñc gåi l  ÷îc t¦m th÷íng n¸u nâ b¬ng ±1 ho°cb¬ng ±a

C¡c ÷îc khæng ph£i l  ÷îc t¦m th÷íng ÷ñc gåi l  ÷îc thªt sü cõa

Luæn tçn t¤i q′ sao cho q′|b| ≤ a < (q′+ 1)|b| °t r = a − |b|q′, khi â

ta nhªn ÷ñc a = |b|q′+ r v  0 ≤ r < |b| N¸u b > 0 °t q = q′, ng÷ñc l¤in¸u b < 0 °t q′ = −q Khi â ta câ a = qb + r v  0 ≤ r < |b|

Gi£ sû tçn t¤i q1, r1 thäa m¢n a = bq1 + r1 v  0 ≤ r1 < |b| Tachùng minh r = r1, thªt vªy n¸u ng÷ñc l¤i ta câ thº gi£ sû r < r1 Khi

â, tø b(q1 − q) = r1 − r suy ra b | (r1 − r), i·u n y khæng x£y ra v¼

0 < r1 − r < |b| Nh÷ vªy r = r1 v  do â q = q1

C¡c sè q v  r trong ành lþ 2.1.2 ÷ñc gåi l  th÷ìng v  sè d÷ cõaph²p chia

2.2 ×îc chung lîn nh§t

Cho a, b l  c¡c sè nguy¶n N¸u sè nguy¶n c vøa l  ÷îc cõa a vøa l 

÷îc cõa b th¼ c ÷ñc gåi l  mët ÷îc chung cõa a v  b Câ thº d¹ d ngkiºm tra r¬ng khi a v  b khæng çng thíi b¬ng 0 th¼ tªp c¡c ÷îc chungcõa a v  b l  tªp húu h¤n Cho c¡c sè nguy¶n a, b khæng çng thíi b¬ng

0 Sè nguy¶n d ÷ñc gåi l  ÷îc chung lîn nh§t cõa a v  b n¸u d l  mët

÷îc chung cõa a, b v  måi ÷îc chung kh¡c cõa a, b ·u l  ÷îc cõa d Ta

kþ hi»u d = gcd(a, b) l  sè lîn nh§t trong c¡c ÷îc chung cõa a v  b Chó

þ r¬ng gcd(a, b) l  mët sè nguy¶n d÷ìng Tr÷íng hñp ÷îc chung v  ÷îcchung lîn nh§t cõa nhi·u sè ÷ñc hiºu t÷ìng tü

ành lþ 2.2.1 Cho a, b l  c¡c sè nguy¶n khæng çng thíi b¬ng 0.Khi â, tçn t¤i c¡c sè nguy¶n x, y sao cho

d = gcd(a, b) = xa + yb

Chùng minh X²t tªp hñp S gçm c¡c tê hñp tuy¸n t½nh cõa a v  b,

trong tªp S Khi â, tçn t¤i q, r sao cho a = mq + r vîi 0 ≤ r < m Suyra

r = a − mq = a − q(ax + by) = a(1 − qx) + b(−qy) ∈ S

V¼r < m v  do gi£ thi¸t v·m n¶n r = 0 Suy ra a = mq hay m | a T÷ìng

ành lþ 2.2.2 Cho c¡c sè nguy¶n a, b vîi b ̸= 0 N¸u a = bq + r, vîi

0 ≤ r < b th¼ gcd(a, b) = gcd(b, r)

Chùng minh Gi£ sû d1 = gcd(a, b) v  d2 = gcd(b, r) V¼ a = bq + r n¶n

V¼ d2 l  mët ÷îc chung cõa b v  r n¶n d2 l  mët ÷îc cõa a = bq + r Do

â, d2 l  mët ÷îc chung cõa a v  b Suy ra d2 | d1 V¼ d1 v  d2 l  c¡c sèd÷ìng n¶n d1 = d2

Tø ành lþ n y ta nhªn ÷ñc mët thuªt to¡n t¼m ÷îc chung lîn nh§tcõa hai sè nguy¶n a v  b

Thuªt to¡n 2.2.3 (Thuªt to¡n Euclid) Cho a, b l  c¡c sè nguy¶n vîi

chia mët c¡ch l°p l¤i nh÷ sau:

a = bq0 + r1, 0 < r1 < b,

b = r1q1 + r2, 0 < r2 < r1,

r1 = r2q2 + r3, 0 < r3 < r2,

rn−2 = rn−1qn−1 + rn, 0 < rn < rn−1,

Khi â, rn l  ÷îc chung lîn nh§t cõa a v  b

Hai sè nguy¶nav b÷ñc gåi l  nguy¶n tè còng nhau n¸ugcd(a, b) =

1

Tø ành lþ 2.2.1 ta suy ra:

ành lþ 2.2.4 Hai sè nguy¶n a v  b nguy¶n tè còng nhau khi v  ch¿khi tçn t¤i c¡c sè nguy¶n x v  y sao cho ax + by = 1.

2.3 Bëi chung nhä nh§t

Cho a, b l  c¡c sè nguy¶n kh¡c 0 Sè nguy¶n m vøa l  bëi cõa a vøa

l  bëi cõa b th¼ m ÷ñc gåi l  mët bëi chung cõa a v  b Sè nguy¶n m

÷ñc gåi l  mët bëi chung nhä nh§t cõa a v  b n¸u m l  mët bëi chungcõa a v  b v  måi bëi chung kh¡c cõa a v  b ·u l  bëi cõa m Ta kþ hi»ubëi chung d÷ìng nhä nh§t cõa a v  b l  m = lcm(a, b)

Ta câ mët sè t½nh ch§t v· ×îc chung lîn nh§t, Bëi chung nhä nh§t

v  mèi quan h» giúa ×îc chung lîn nh§t v  Bëi chung nhä nh§t nh÷ sau:M»nh · 2.3.1 Cho a, b, c ∈ Z, m ∈Z+, ta câ

ii) gcd(a, b) = gcd(b, a);

iii) gcd(a, gcd(b, c)) = gcd(gcd(a, b), c);

Ch֓ng 3

SÈ NGUY–N TÈ V€ ÙNG DÖNG

CC NËI DUNG TRÅNG T…M

3.1 Sè nguy¶n tè

Trong tªp c¡c sè nguy¶n khæng ¥m, 0 câ væ sè ÷îc; sè 1 ch¿ câ mët

÷îc d÷ìng l  ch½nh nâ; c¡c sè cán l¤i luæn câ ½t nh§t hai ÷îc d÷ìng t¦mth÷íng l  1 v  ch½nh nâ Trong möc n y ta s³ x²t c¡c sè nguy¶n d÷ìng ch¿

câ hai ÷îc d÷ìng t¦m th÷íng, c¡c sè nh÷ th¸ ÷ñc gåi l  c¡c sè nguy¶ntè

ành ngh¾a 3.1.1 Sè nguy¶n n > 1 ÷ñc gåi l  sè nguy¶n tè n¸u nâch¿ câ hai ÷îc d÷ìng t¦m th÷íng l  1 v  ch½nh nâ

Mët sè nguy¶n d÷ìng câ nhi·u hìn hai ÷îc d÷ìng ÷ñc gåi l  hñpsè

sè Khi â tçn t¤i mët sè nguy¶n 1 < a < p sao cho a | p ⇒ a | n, i·u

n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t v· p Nh÷ vªy, pl  mët ÷îc nguy¶n tè cõa n

Ngay tø thíi cê ¤i, ng÷íi ta ¢ bi¸t r¬ng tªp hñp t§t c£ c¡c sènguy¶n tè l  væ h¤n (ành lþ Euclid) Câ r§t nhi·u chùng minh kh¡c

nhau cõa sü ki»n â Tuy nhi¶n cho ¸n tªn b¥y gií, cho dò câ sü hé trñcõa m¡y t½nh, ng÷íi ta v¨n ch÷a t¼m ÷ñc mët chùng minh n o hay hìnc¡ch chùng minh r§t ìn gi£n v  gån nhµ sau ¥y cõa Euclid, m  Æng ¢thüc hi»n v o th¸ k thù III tr÷îc Cæng nguy¶n.

ành lþ 3.1.3 (ành lþ thù Euclid) Tçn t¤i væ h¤n c¡c sè nguy¶n tè.Chùng minh Gi£ sû p1, · · · , pk l  t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè °t N =

p1p2· · · pk+1, suy ra N > 1 N¸u N l  mët sè nguy¶n tè th¼ nâ l  mët sènguy¶n tè mîi Ng÷ñc l¤i, th¼, theo Bê · 3.1.2 , N câ mët ÷îc nguy¶n

tè q N¸u q l  mët trong c¡c sè pi, 1 ≤ i ≤ k, th¼ q|(p1· · · pk) v  v¼ q | N

Nh÷ vªy, q l  mët sè nguy¶n tè mîi

3.2 D¤ng ph¥n t½ch ti¶u chu©n cõa mët sè nguy¶n

ành lþ sau ¥y ÷ñc gåi l  ành lþ cì b£n cõa sè håc nâi r¬ng méi

sè tü nhi¶n lîn hìn 1 ·u ph¥n t½ch ÷ñc th nh mët t½ch c¡c thøa sènguy¶n tè v  sü ph¥n t½ch â l  duy nh§t n¸u khæng kº ¸n thù tü cõac¡c thøa sè v  méi sè nguy¶n tè ÷ñc coi nh÷ l  mët t½ch ch¿ gçm mëtthøa sè l  ch½nh nâ

ành lþ 3.2.1 (ành lþ cì b£n cõa sè håc) Måi sè nguy¶n n > 1 ·u

câ thº vi¸t ÷ñc mët c¡ch duy nh§t (sai kh¡c thù tü) d÷îi d¤ng

n = pα1

1 · · · pαk

k =

kYi=1

pαi

i

trong â pi l  c¡c sè nguy¶n tè kh¡c nhau v  αi l  c¡c sè nguy¶nd÷ìng

Chùng minh Gi£ sû tçn t¤i nhúng sè nguy¶n lîn hìn 1 khæng ph¥n t½ch

÷ñc th nh t½ch c¡c thøa sè nguy¶n tè Gåi n l  sè b² nh§t trong c¡c sènguy¶n â Khi â, n ph£i l  hñp sè, hay n = ab, 1 < a, b < n Do t½nhb² nh§t cõa n n¶n c¡c sè nguy¶n a, b s³ ph¥n t½ch ÷ñc th nh t½ch c¡c

thøa sè nguy¶n tè, ngh¾a l  n công ph¥n t½ch ÷ñc th nh t½ch c¡c thøa

sè nguy¶n tè i·u â m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t v· n

Gi£ sû ta câ n = p1p3· · · pk = q1q2· · · ql trong â pi, qi l  c¡c sènguy¶n tè Gi£n ÷îc h¸t nhúng sè nguy¶n tè b¬ng nhau câ m°t trong c£hai v¸ N¸u c¡c c¡ch ph¥n t½ch tr¶n l  kh¡c nhau, th¼ ta thu ÷ñc ¯ngthùc

pi1· · · pis = qj1· · · qjr

trong â khæng câ sè nguy¶n tè n o câ m°t çng thíi ð c£ hai v¸.V¸ ph£i chia h¸t cho qj1 v  do â ph£i câ mët thøa sè nguy¶n tè n o âcõa v¸ tr¡i chia h¸t cho qj1 i·u n y væ lþ, v¼ ¥y l  t½ch c¡c sè nguy¶n

tè kh¡c vîi qj1

Vîi sè nguy¶n kh¡c khæng n b§t ký v  sè nguy¶n tè p, ta kþ hi»u

vp(n) l  sè nguy¶n r lîn nh§t sao cho pr l  ÷îc cõa n Khi â, vp(n) l mët sè nguy¶n v  vp(n) ≥ 1 khi v  ch¿ khi p l  ÷îc cõa n D¤ng ph¥n t½chti¶u chu©n cõa n l 

trong â t½ch tr¶n l  mët t½ch væ h¤n tr¶n tªp hñp c¡c sè nguy¶n tè v 

÷ñc gåi l  gi¡ trà p-adic cõa n H m sè n y l  mët h m cëng t½nh theongh¾a

vîi måi sè nguy¶n d÷ìng m v  n Ch¯ng h¤n, ta câ

vp(n!) =

nXk=1

vp(k)

ành lþ 3.2.2 Vîi méi sè nguy¶n d÷ìng n v  sè nguy¶n tè p, ta câ

vp(n!) =

[log n log p]

Xr=1

Chùng minh Gi£ sû 1 ≤ m ≤ n N¸u pr l  ÷îc cõa m th¼ pr ≤ m ≤ n

v  r ≤ log nlog p V¼ r l  sè nguy¶n n¶n ta câ r ≤

hlog n log pi v 

vp(m) =

[log n log p]

Xr=1,p r |m

vp(m)

=

nXm=1

[log n log p]

Xr=1

1

=

[log n log p]

Xr=1

nXm=1,p r |m

1

=

[log n log p]

Xr=1

C¡c sè nguy¶n tè khæng v÷ñt qu¡ 10 l  2, 3, 5, 7 v 



102

÷îc nguy¶n tè p cõa a ch½nh l  ÷îc nguy¶n tè c¦n ch¿ ra cõa n

Tø ành lþ tr¶n, ta câ thuªt to¡n sau ¥y º lªp ra b£ng t§t c£ c¡c

sè nguy¶n tè nhä hìn ho°c b¬ng sè tü nhi¶n cho tr÷îc

3.3 Lªp b£ng c¡c sè nguy¶n tè khæng v÷ñt qu¡ mët

sè tü nhi¶n cho tr÷îc.

Tr÷îc ti¶n, ta vi¸t d¢y sè tø 1 ¸n n Trong d¢y â g¤ch i sè 1, v¼

nâ khæng ph£i l  sè nguy¶n tè Sè nguy¶n tè ¦u ti¶n l  2 Ti¸p ¸n tag¤ch t§t c£ nhúng sè trong d¢y chia h¸t cho 2 Sè ¦u ti¶n khæng chiah¸t cho 2 l  3 Sè 3 l  sè nguy¶n tè Ta l¤i g¤ch c¡c sè chia h¸t cho 3 cánl¤i trong d¢y Ti¸p töc nh÷ th¸, ta g¤ch khäi d¢y nhúng sè chia h¸t chomët trong c¡c sè nguy¶n tè b² hìn ho°c b¬ng √n Nhúng sè cán l¤i cõad¢y khæng bà g¤ch l  t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè khæng v÷ñt qu¡ n Thªt vªy,nhúng sè n y khæng câ ÷îc nguy¶n tè nhä hìn ho°c b¬ng c«n bªc hai cõa

nâ, cho n¶n theo ành lþ 3.2.3, chóng ph£i l  nhúng sè nguy¶n tè

số p-adic vo vêt lỵ hồc v nhiÃu lắnh vỹc khoa håc kh¡c C¡c sè p-adic

bê sung cho c¡c sè hỳu t, số thỹc, số phực CĂc số p-adic dăn án mảtrickhổng... i số 1, vẳ

nõ khổng phÊi l số nguyản tố Số nguyản tố Ưu tiản l Tiáp án tagÔch tĐt cÊ nhỳng số dÂy chia hát cho Số Ưu tiản khổng chiahát cho l Số l số nguyản tố Ta lÔi gÔch cĂc số chia... l cĂc số nguyản

v a, b khổng chia hát cho p Khi â ta câ

sè phùc Song ng÷íi ta cỏn tẳm thĐy mởt loÔi số gồi l số p-adic Tªp c¡c

sè p-adic l  sü mð rëng cõa tªp cĂc số hỳu