Trong tổng đại số các số hữu tỉ, ta có thể: a Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng b Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhưng chú ý rằng nếu trước dấu [r]
Trang 1ĐỀ CƯƠNG TOÁN 7 CẢ NĂM CHƯƠNG 1: SỐ HỮU TỈ - SỐ THỰC BÀI 1 TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ
LÝ THUYẾT
1 Số hữu tỉ
Các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số, số đó được gọi là số hữu tỉ
* Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số
a
b với a, b∈Z và b≠0
Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là Q (x là số hữu tỉ ghi là: x ¿ Q)
2 Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
Để biểu diễn số hữu tỉ
a
b ( a, b∈Z ; b > 0) trên trục số ta làm như sau:
- Chia đoạn đơn vị [0; 1] trên trục số thành b phần bằng nhau, mỗi phần là
1
b gọi là đơn vị mới
- Nếu a > 0 thì số
a
b được biểu diễn bởi một điểm nằm bên phải điểm O và cách điểm O một đoạn bằng
a lần đơn vị mới
- Nếu a < 0 thì số
a
b được biểu diễn bởi một điểm nằm bên trái điểm O và cách điểm O một đoạn bằng
| a| lần đơn vị mới
Ví dụ: Biểu diễn các số
2
5,
−4
5 ,
7
5 trên trục số:
- Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x
3 So sánh hai số hữu tỉ
Để so sánh hai số hữu tỉ x, y ta thường làm như sau:
+ Viết x, y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương:
x= a
m ; y=
b
m (a; b; m∈Z; m>0) + So sánh hai số nguyên a và b:
• Nếu a < b thì x < y
• Nếu a = b thì x = y
• Nếu a > b thì x > y
Ví dụ: So sánh
1
−2 và
3
−5
Ta có
1
−2=
−1
2 =
−5
10 ,
3
−5=
−3
5 =
−6 10
Vì −5>−6 ⇒−5
10 >
−6
10 ⇒
1
−2>
3
−5
- Trên trục số, nếu x < y thì điểm x ở bên trái điểm y
- Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương
- Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm
- Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm
* Nhận xét
Trang 2- Số hữu tỉ
a
b là số hữu tỉ dương (a b>0) nếu a, b cùng dấu
- Số hữu tỉ
a
b là số hữu tỉ âm (a b<0) nếu a, b trái dấu
- Ta có:
a
b>
c
d ( b; d >0 )⇔ ad> bc ( b, d> 0)
BÀI TẬP
Bài 1 Điền các ký hiệu N, Z,Q vào …; (viết đầy đủ các trường hợp):
a) 2000 ¿ …… b)
4
−7
100 ¿ ……
−671
Bài 2 Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số:
6
4 ;
−15
6 ;
12
−18
Bài 3 Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng phân số có cùng mẫu dương:
a)
−8
−70;
−1
−28 và
27
18
−45;
−151515
252525 và
7777
−1111
Bài 4 Cho các số hữu tỉ: x1=19019
76076; x2=−1919
−7676; x3=−19
−76
So sánh và viết tập hợp A các số hữu tỉ bằng các số trên
Bài 5 Cho số hữu tỉ
a
b khác 0 Chứng minh:
a) Nếu a, b cùng dấu thì
a
b là số dương
b) Nếu a, b trái dấu thì
a
b là số âm
Bài 6 So sánh các số hữu tỉ sau:
a)
−13
40 và
12
−5
6 và
−91
−15
21 và
−36 44 d)
−16
30 và
−35
−5
91 và
−501
−11
37.73 và
−78
34.74
Bài 7 Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần:
a)
−6
−4;
−7
9 ; 0;
−40
−50;
27
18
19;
4
3;
−14
37 ;
17
20;
−14
33 ; 0
Bài 8
a) Giả sử x= a
m ; y=
b
m (a, b, m∈Z, m>0 ) và x < y Hãy chứng tỏ rằng nếu chọn z=
a+b
2m thì ta có:
x< z< y
b) Chứng minh rằng: nếu
a
b<
c
d ( b; d >0 ) thì
a
b<
a+c b+d<
c d
c) Tìm 5 số hữu tỉ x sao cho:
−4
5 <x <
−1 10
Bài 9 So sánh các phân số sau (không quy đồng mẫu hoặc tử)
Trang 3a)
1234
1235 và
4319
−1234
1244 và
−4321 4331 c)
−31
−32 và
31317
1234.1235−1 1234.1235 và
1235.1236−1 1235.1236
Bài 10 Dựa vào tính chất bắc cầu của thứ tự: với x, y, z ¿ Q ta có:
x< y y<z } ⇒ x<z
Hãy so sánh:
a)
−37
946 và
−1
−1987
−1986 và
−1984
3246
−3247 và
−45984 45983 d)
−24
25 và
−23
−23
12 và
−5
−33
131 và
53
−217 g)
22
−67 và
51
−18
91 và
−23 114
Bài 11 Tìm x∈Q , biết rằng x là số âm lớn nhất được viết bằng bốn chữ số 1
Bài 12
a) Tìm phân số có mẫu bằng 10; biết rằng giá trị của nó lớn hơn
−3
4 và nhỏ hơn
−3 5 b) Tìm x ¿ Z biết:
x
5<
5
4<
x+2
5 c) Tìm hai phân số có mẫu bằng 9, tử là hai số tự nhiên liên tiếp sao cho trên trục số điểm biểu diễn phân số
bằng
4
7 nằm giữa các điểm biểu diễn của hai phân số phải tìm d) Tìm phân số có tử bằng 9; biết rằng giá trị của nó lớn hơn −
11
13 và nhỏ hơn −
11 15
Bài 13
a) Cho a, b, n ¿ N* So sánh
a+n b+n và
a b
b) Cho các số hữu tỉ: x= a
b ; y=
c
d ; z=
m
n ( b, d, n>0) Biết ad – bc = 1 và cn – dm = 1
i) So sánh các số x; y; z
ii) So sánh y với t, biết t= a+m
b +n (với b + n ≠ 0)
Bài 14 Với giá trị nào của a ¿ Z thì số hữu tỉ x: • là số dương? • là số âm? • là số không âm? • là số không dương? • không là số dương cũng không là số âm?
a) x=2a+7
a−4
a2 c) x= a2+ 9
x= a−6
a−11
Bài 15 Tìm tất cả các số nguyên x để các phân số sau có giá trị là số nguyên:
a) A= x+1
2x−1
10x−9 2x−3 d) D= x−2
2x−3 e) E=3x−4
x2−4x−4
x−7 ( x≠7)
BÀI 2 CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ
LÝ THUYẾT
Trang 41 Cộng trừ hai số hữu tỉ
Để cộng, trừ hai số hữu tỉ x và y, ta làm như sau:
a) Viết x; y dưới dạng hai phân số có cùng mẫu dương (qui đồng mẫu số dương)
x= a
m ; y=
b
m (m> 0)
b) Thực hiện phép cộng, trừ: (cộng, trừ tử và giữ nguyên mẫu chung)
x+ y= a
m+
b
m=
a+b
a
m−
b
m=
a−b m
Ví dụ:
6
−8+
−2
−3=
−3
4 +
2
3=
−9
12 +
8
12=
−1 12 3
8−(−23 )=3
8+
2
3=
9
24 +
16
24=
25 24
* Chú ý
a) Rút gọn các phân số trước khi tính
b) Trong tập hợp Q, phép cộng cũng có tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với số 0 như trong tập hợp Z
Ví dụ: (−42
5+
3
2)+42
5=(−4 2
5+4
2
5)+3
2=0+
3
2=
3 2 c) Mỗi số hữu tỉ x đều có một số đối; ký hiệu −x ; sao cho: x+(−x)=0
Số đối của x= a
b là −x=−
a b
Vậy −
a
b=
−a
b =
a
−b nên người ta thường viết các số hữu tỉ âm với dấu trừ trước phân số
Ví dụ:
−3
4 =
3
−4=−
3 4
2 Cộng và trừ số thập phân
Trong thực hành khi cộng, trừ hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân, ta thường cộng theo qui tắc cộng hai số nguyên
Ví dụ: −3,42+1,35=−2,07
3 Tổng đại số
Một dãy các phép tính cộng, trừ các số hữu tỉ được gọi là một tổng đại số Trong tổng đại số các số hữu tỉ,
ta có thể:
a) Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng
b) Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhưng chú ý rằng nếu trước dấu ngoặc là dấu -
thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc
Ví dụ: (−12 +
3
4)−(−4
5+
5
6)=−1
2+
3
4+
4
5−
5 6
4 Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó
Với x, y, z, t ¿ Q ta có: x + y = z – t ⇒ x + t = z – y
Ví dụ: Tìm x biết: 5x−3
7=4x+
1 3
5x−4x=1
3+
3 7
x=7
21+
9 21
x=16
21
BÀI TẬP
Trang 5Bài 16 Tính:
a) −33
4+
−10
25 +
−6
2
5−
8 3 c) −
5
12+1
5
−4
9 −
16 15 e) −12
3+
3
4−
1
2+2
1
1
3−
1
9+
1
27−
1 81 g)
7
12−(−1
5)−5
6+
2
3+(−1
5) h) 12+(1621+
27
13)−(1413−
5
21)
i) 7+(127 −
1
2+3)−(121 +5) j) 1125− 5
13−
−7
17 −
8
13 +
10 17
Bài 17 Tính:
a)
1
1.2+
1 2.3+
1
3 4+ +
1 1999.2000 b)
1 1.4+
1
4 7+
1 7.10+ +
1 100.103 c) −
1 2000.1999−
1 1999.1998−
1
1998 1997− −
1 3.2−
1 2.1 d)
−1
3 +
−1
15 +
−1
35 +
−1
63 + +
−1
8
9−
1
72−
1
56−
1
42− −
1
6−
1 2 f) 1− 1
2.5−
1 5.8−
1 8.11− −
1 89.92−
1 92.95
Bài 18 Tìm x, biết:
a)
17
6 −(x−7
6)=7
c) 2x−3=x +1
1
3+x e) 2x−1
2−
1
6−
1
12− −
1
49 50=7−
1
50+x
Bài 19 Tìm tập hợp các số nguyên x, biết:
a)
1
2−(13+
1
4)<x < 1
48−(161 −
1
6) b) 14+
8
9≤
x
36<1−(38−
5
6)
Bài 20
a) Tính tổng các phân số lớn hơn
3
5 nhưng nhỏ hơn
7
10 và có mẫu là 30 b) Tính tổng các phân số lớn hơn
1
6 nhưng nhỏ hơn
2
9 và có tử là 2
Bài 21 Tìm các số nguyên x, y biết rằng:
a)
3
x+
1
3=
y
x
6 −
1
y =
1
3 2x+
y
6=
1 2
Bài 22 Cho phân số A=2n−1
n−3
a) Tìm số nguyên n để A có giá trị nguyên
b) Tìm số nguyên n để A có giá trị lớn nhất
Bài 23 Cho phân số B=6n +7
2n+3 a) Tìm số nguyên n để B có giá trị nguyên
b) Tìm số nguyên n để B có giá trị nhỏ nhất
Trang 6Bài 24
a) Cho C= 1
11+
1
12+
1
13+ +
1
19 Chứng minh rằng C không phải là số nguyên b) Cho
D=2 [ 1 3 +
1
15 +
1
35 + +
1
n (n+2) ] với n∈N¿
Chứng minh rằng D không phải là số nguyên
c) Cho E=1
3+
1
4+
1
5+
2
7+
2
9+
2
11 Chứng minh rằng E không phải là số nguyên
Bài 25 Cho 100 số hữu tỉ bất kỳ, trong đó 3 số nào bất kỳ cũng có tổng là một số âm
a) Chứng minh rằng tổng của 100 số đó là một số âm
b) Có thể khẳng định rằng tất cả 100 số đó đều là số âm không?
BÀI 3 NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ
LÝ THUYẾT
1 Nhân hai số hữu tỉ
Tích của hai số hữu tỉ x= a
b ; y=
c
d được xác định như sau:
x y= a
b.
c
d=
ac
bd với b, d≠0
* Chú ý:
a) Thu gọn kết quả trong quá trình nhân
b) Khi nhân nhiều số hữu tỉ thì kết quả:
- Có dấu “+” nếu số thừa số âm chẵn
- Có dấu “+” nếu số thừa số âm lẻ c) Khi nhân hai số thập phân, trong thực hành ta áp dụng theo qui tắc nhân hai số nguyên
Ví dụ:
−3
4 .
1
2.(−7
10)=−3.1.(−7)
4.2.10 =
21 80
−0,12.(−1,25).(−6)=−0,9
−1,25.(−11
3).(−1,5)=−5
4.2.(−4
3).(−3
2)=−5.2.(−4) (−3)
4.3.2 =5
2 Tính chất của phép nhân trong Q
Trong tập hợp Q, phép nhân cũng có tính chất giao hoán, kết hợp, nhân với 1 như trong tập hợp Z
* Chú ý
a) x.0=0 x=0, ∀x∈Q
b) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: ∀ x,y,z∈Q ; ta có:
x(y +z)=xy +xz=yx+zx=(y +z)x
x(y−z)=xy−xz=yx−zx=(y−z)x
Áp dụng:
Đặt thừa số chung: xa−xb+xc=x(a−b+c)
Ví dụ:
Tính:
1
2.
1
3+
1
2 2
2
3−
1
2=
1
2.
1
3+
1
2.
8
3−
1
2.1=
1
2.(13+
8
3−1)=1
2.2=1
3 Chia hai số hữu tỉ
Với x= a
b , y=
c
d ( y ≠0) ta có: x:y=
a
b:
c
d=
a
b.
d
c=
ad bc
Ví dụ:
−3
4 :(−9 )=−
3
4.(−1
9)=−3.(−1)
4 9 =
1 12
* Chú ý
Trang 7a) Mỗi số hữu tỉ y ≠ 0 đều có một số nghịch đảo là
1
y ( y 1
y =1 ) Số nghịch đảo của a
b là
b
a (với
a,b≠0 )
b) Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y ≠ 0 gọi là tỉ số của hai số x và y; Ký hiệu là
x
y hay
x:y
Ví dụ: Tỉ số của hai số −0,2 và 1,25 viết là
−0,2 1,25 hay −0,2:1,25 c) Chia hai số thập phân:
x:y=|x|.|y| nếu x, y cùng dấu
x:y=− ( | x|.|y| ) nếu x, y khác dấu
4 Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số
∀x,y∈Q; z≠0; x+ y
z =
x
z+
y
z và
x− y
z =
x
z−
y z
BÀI TẬP
Bài 26 Tính:
a) −6.(−2
3).0,25
b) −
15
4 .(15−7).(−22
5)
c) (−21
5).(−9
11 ).(−1 1
14 ).2
2).(−1
2)−2
3.(−2
3)
e) (11
4).(− 8
15)−3
5+
2
5.(−3
4) f) (−0 , 125) (−16 ).(−8
9).(−0,25)
g)
5
8+2
1
4.1
2
3−
1
4.
5
i)
1
1998.
2
7+
1
1998.1
3
7−
5
1998.
1
7 j) (−23 +
3
7):4
5+(−13 +
4
7):4 5 k)
5
9:(111−
5
22)+5
9:(151 −
2
3) l) (13 9
11:
38
49−5
2
11:
38
49):(4938 .
5
11)
m)
11
30+
18
35 .(3554−
49
18 −
28
56 .
70
23:
125 75 o) [ (1932 −
3
386).193
17 +
33
34 ]:[ (20017 +
11
4002).2001
25 +
9
2]
Bài 27 Tính:
a)
7
13 :(−14 )−[−22
9:(−14
9) ] b) (37−
2
3+5):(−25 8
21+24
4
21)
c) [5
3−(−1
4):11
5].(58+
9
5:{5
8+[5
3−(−1
4) ].9
4}
e)
1−{1:[2+1:(1−1
2) ] } f) 3+2 :{1+3 :[2−1:(3+ 2
1−3) ]}
Trang 8g)
2− 1 3+1+32
h)
1− 2 1+1−22
Bài 28 Tìm x biết:
a) −
1
10+
2
5x +
7
20=
1
1
3+
1
2:x=−
1 5 c) −
2
3:x+
5
8=−
7
1
2x+2
1
2=3
1
2x−
3 4 e)
2
3x−
2
5=
1
2x −
1
1
3 x+
2
5(x +1)=0 g)
2
3−
1
3(x−3
2)−1
11
15−(79+x).3
8=
61
90 +
x
3 i) (4x +1)(−2x +1
3)=0
j) 5x(2x−1
2)+2(2x−1
2)=0 k)
x +2015
x +2016
x +2017
x +2018
2 l)
x +2015
x +2016
x +2017
x +2018
8
Bài 29 Tìm x, biết:
a) 5 6
11 x+8
9
11x+2
3
11=3
4
11 x−
8
15 5.8−
15 8.11−
15 11.14− −
15 47.50=2
1 10 c)
3
4 x−14
2
3:(1115+
1111
3535+
111111
636363)=12
d)
1 1.4 +
1 4.7 +
1 7.10 + +
1
x ( x+3 ) =
125
376 ( x∈N¿
)
e)
1
3 +
1
6 +
1
10 +
1
15 + +
1
x ( 2x+1 ) =
1
10 ( x∈N¿
)
f)
1
15 +
1
21 +
1
28 +
1
36 + +
2
x ( x +1 ) =
11
40 ( x∈N¿
)
Bài 30 Đặt thừa số chung (viết tổng thành tích):
c) ax+by−ay−bx d) a2− ( b+c ) a+bc
e) (3a−2) (4a−3)−(2−3a) (3a+1) f) ax+ay+az−bx−by−bz−x− y−z
Bài 31 Tính nhanh:
a)
120−(−0,5).(−40).(−5).(−0,2).20 0 ,25
5+10+15+ +1995 b)
5.18−10 27+15 36
10 36−20.54 +30 72 c) (12−1)(13−1)(14−1) (19991 −1) d) −11
2.(−11
3).(−11
4) (−1 1
1999)
e)
−6
7 +
6
19−
6 31 9
7−
9
19+
9
1
3+
1
7−
1 13 2
3+
2
7−
2 13
1
3−0 ,25+0,2
11
6−0 , 875+0,7
+6 7
Trang 9g)
1
6+
1
51−
1 39 1
8−
1
52+
1
0,5+1
3−0,2
0 ,75+0,5−0,3+
1
7−0,2+0 , 125 3
7−0,6+0 , 375
Bài 32 Tìm các giá trị của x, biết:
a) 12x+5>4x+16 b) 6(x−2)−3(x−1)>0 c)
x−7
2 <0 d) (x+1)( x−3)<0 e) ( x−1)(x +1
2)≥0
f)
x−1 x+1≤0 ( x≠1)
Bài 33
a) Cho A=x(x−4) Với giá trị nào của x thì: A = 0; A < 0; A > 0
b) Cho B= x−3
x ( x≠0 ) Với giá trị nào của x thì: B = 0; B < 0; B > 0
c) Cho C= x
2
(x+1)
x Với giá trị nào của x thì: C = 0; C < 0; C > 0
Bài 34 Cho hai số hữu tỉ có tổng bằng
4
33 và tích của chúng bằng
−4
11 Tính tổng các số nghịch đảo của hai
số đó
Bài 35 Viết 1999 số hữu tỉ trên một đường tròn, trong đó tích hai số cạnh nhau luôn bằng
1
9 Tìm các số đó
Bài 36 Có tồn tại hai số dương a và b khác nhau thỏa:
a)
1
a−
1
b=
1
1
a+
1
b=
1
a+b không?
Bài 37 Tìm hai số hữu tỉ x và y sao cho:
a) x+ y=xy=x:y (y≠0) b) x− y=xy=x:y (y≠0)
c) x+ y=xy=x− y=x:y (y≠0) d) 2(x + y )=x− y=x:y (y ≠0)
Bài 38
a) Cho 3 số hữu tỉ a, b, c biết: a < b < c; a + b + c = 0 và a.b.c < 0 So sánh số x=a2b2c với số 0
b) Cho 4 số hữu tỉ a, b, c, d biết a < b < c < d So sánh các số sau:
x = (a + b)(c + d) y = (a + c)(b + d) z = (a + d)(b + c)
Bài 39 Cho 100 số hữu tỉ, trong đó bất kỳ 3 số nào cũng có tích là một số âm
a) Chứng minh rằng tích của 100 số đó là một số dương
b) Kết luận cả 100 số đó đều là số âm được không?