De thi HSG cap truong

Biết f0 và f1 là các số lẻ, chứng minh rằng đa thức fx không có nghiệm nguyên.. a Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học 2017 - 2018

Môn: Toán 8 Ngày thi: 18 - 01 - 2018 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (2,0 điểm).

Cho biểu thức:

x + x x +1 1 2 - x

x - 2x +1 x x -1 x - x

a) Rút gọn P;

b) Tìm x để P =

1 2



Bài 2(2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử

b) Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên Biết f(0) và f(1) là các số lẻ, chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên

Bài 3 (1,5 điểm)

a) Giải phương trình sau: 2

1 12

x

b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 x y2 0

Bài 4: ( 3,5 điểm )

Cho hình thang ABCD cóA D = 900, CD = 2AD = 2AB Gọi H là hình chiếu của D lên AC; M, P, Q lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD

a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân

b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành

c) Chứng minh AQ vuông góc với DP

d) Chứng minh S ABCD 6S ABC

Bài 5 : (1 điểm)

a) Chứng minh bất đẳng thức sau : 2

x y

yx  ( với x,y cùng dấu ) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

P

     

  với x ≠ 0; y ≠ 0

ĐỀ THI CHÍNH

PHÒNG GD & ĐT LƯƠNG TÀI

TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ

HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán- Lớp 8

Bài 1 (2,0 điểm).

1

(2,0)

 

 

2 2

( 1) ( 1) ( 1) 1

a P

x

 

 

2

:

( 1) 1

P

x x x





 

 

 

 

2

:

P

1 )

2

b P



1 2

x x







2

2x x 1

    2x2 x 1 0 

0.25

2

2x 2x x 1 0

2x 1 x 1 0

x=1/2 ( thỏa mãn ĐKXĐ), x = -1 ( không thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy với

1 2

x  th P 1

2

Bài 2 (2,0 điểm)

2

(2 đ)

a) x3 – 5x2 + 8x – 4 = = (x3 - x2 ) - (4x2 - 4x) + (4x - 4) = x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)

= (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2 0,75

0,5

b) Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x)

Khi đó f(x) = (x - a) Q(x), trong đó Q(x) là đa thức có hệ số nguyên

Vì thế f(0) = (- a).Q(0) (*); f(1) = (1 - a).Q(1) (**)

Vì f(0) là số lẻ nên từ (*) suy ra a là số lẻ Vì f(1) là số lẻ nên từ (**) suy

ra 1- a cũng là số lẻ Nghĩa là a và 1- a là hai số lẻ, mâu thuẫn Tức là

điều giả sử là sai

Vậy f(x) không có nghiệm nguyên

0,25 0,25 0,25

Bài 3: (1,5 điểm)

3

(1,5)

a) ĐK: x≠1;x≠−4

PT ⇔15 x−x2−3 x+4=4(3 x−3+x+4)

⇔x2+4 x=0

⇔x=0(tm); x=−4(loai )

Vậy phương trình có nghiệm x = 0

0,25 0,25 0,25

a) Ta có

0,25

Vì x, y nguyên nên từ (*)

       

     

Vậy x y ;   0;0 ; 1;0   

HS có thể đưa về x x 1y2 rồi biên luận theo tích 2 số nguyên liên tiếp

là SCP

0,5

Bài 5: (3,5 điểm)

Vẽ hình đúng và ghi đầy đủ GT-KL

0,5đ

+/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau

lại có A=900 nên ABMD là hình vuông 0,5 +/ BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và

BM =

1

2DC BMD vuông tại B

0,25

lại có BDM = 450  BMD vuông cân tại B 0,25

 tứ giác DMPQ là hình bình hành 0,25

 AQDP 0,25

Chứng minh ABC = AMC (c.c.c) S ABC S AMC 0,25 mà

2 AMC

2AD MC 4AD

Lại có

S S S AD  AD  AD

2

2

3

1 4

ABCD

ABC

AD S

0,25

Bài 5 (1 điểm

a)

Chứng minh được 2

x y

yx  với x,y cùng dấu

0,5 đ

b)

Đặt

x y t

y x

 

Đưa được về t2 – 3t + 3 = (t-2) (t-1) + 1

Với x, y khác dấu thì t < 0 => t-2 và t-1 là số âm

 (t-2) (t-1) > 0 => (t-2)(t-1) + 1 > 1 Với x, y cùng dấu thì t ≥ 2; => t-2 ≥ 0; t-1 >0

 (t-2)(t-1) ≥ 0

 (t-2) (t-1) + 1 ≥ 1 (t-2) ( t-1) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi t = 2 hay x = y Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

     

khi x = y

0,25

0,25

Chú ý : Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.