SKKN hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian nhằm nâng cao chất lượng môn toán ở trường THPT nông cống 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN L

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA

ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN TRONG

KÌ THI TỐT NGHIỆP Ở TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2021

1

A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong các năm học 2019-2020, 2020-2021 tôi đều dạy lớp 12, trong thời gian

ôn tập để chuẩn bị cho đợt thi THPT quốc gia tôi nhận thấy rằng đa số học sinh cảmthấy khó khi học phần hình nhất là các phần hình liên quan đến lớp 11 như: tính góc,tính khoảng cách Đặc biệt là những bài hình cần đến sự tư duy như vẽ thêm cácđường phụ trong hình thì phần lớn học sinh gặp khó khăn, từ đó dẫn đến sự chán nản

và ít quan tâm đến môn hình học Hơn nữa trong thời gian ôn tập này học sinh phải ôntập quá nhiều môn nên mỗi lần phải ôn lại kiến thức toán của lớp 11 thì học sinh cảmthấy quá tải Các vấn đề về tính góc, tính khoảng cách chủ yếu nằm ở chương 3 củahình học 11, đa số học sinh lớp 12 đã quên đi những kiến thức trong chương này Bởivậy khi ôn tập lại phần kiến thức này trong khoảng thời gian ngắn thì đa số học sinhkhông tiếp thu được hoặc lĩnh hội một cách lơ mơ Đặc điểm của phần kiến thức này làphải kẻ thêm những đường phụ trong hình, đây là điểm yếu khó khắc phục của phầnlớn học sinh, chỉ có những học sinh khá giỏi về môn toán mới làm được Vì thế cầnhướng dẫn các em một phương pháp tiếp cận những dạng toán này mà không phảiđụng chạm tới những điểm yếu của phần lớn học sinh

Dựa vào tình hình thực tiễn của học sinh lớp 12 của trường THPT Nông Cống

3, tôi thấy rằng các em thích học phần hình học giải tích hơn phần hình học khônggian thuần túy, bởi vì hình vẽ không quá phức tạp, việc tính toán nhiều hơn sự tư duytrên hình vẽ Chẳng hạn việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì cócông thức tính, các em khi tìm được đủ các yếu tố thì hoàn toàn tính được, còn nếutrong hình học thuần túy thì các em phải dựng hình, phải chứng minh quan hệ vuônggóc Đây thật sự là việc rất khó với nhiều học sinh

Vì vậy tôi nghĩ cần phải đưa ra giải pháp nhằm giải quyết một phần những khó

khăn mà học sinh đang gặp phải Chính vì thế tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh

sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian nhằm nâng cao chất lượng môn Toán ở trường THPT Nông Cống 3” để

giải quyết một phần những khó khăn đó Dùng phương pháp tọa độ để giải các bàitoán không gian là một vấn đề không mới, nó được nhiều giáo viên chọn để viết sángkiến kinh nghiệm Trong tình hình hiện nay học sinh thi bằng hình thức trắc nghiệm,với kiến thức rộng hơn, nên tôi muốn sử dụng phương pháp tọa độ trong không gianhọc sinh mới vừa học xong trong chương trình 12 để giải quyết nhiều dạng toán hìnhhọc không gian mà học sinh đã học ở lớp 11 trong các đề thi THPT Quốc gia năm

2020 và trong các đề tự luyện thi Tốt Nghiệp năm 2021

3

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Thực trạng

Trong năm học 2019 – 2020 tôi được phân công giảng dạy bộ môn Toán

ở lớp 12C3, 12C7 trường THPT Nông Cống 3 Tôi nhận thấy: Hầu hết học sinh rất ngại khi gặp các bài toán về hình học không gian Có rất ít học sinh có khả năng giải quyết được các bài toán này, đa số các em không thể tự nhìn ra hướng giải quyết bài toán Thấy vậy, tôi Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian và học sinh đã làm được

nhiều bài tập Năm 2020 – 2021 tôi cũng được phân công dạy bộ môn Toán ở lớp

trường THPT Nông cống 3 trước khi Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp

tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian thu được kết quả như sau:

42,2

%

7/45 15,6

% 12A

38,3

%

17/4 7

hình học không gian đồng thời khắc sâu kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian để học sinh vừa giải các bài toán hình học tọa độ trong không gian một cách nhuần nhuyễn, vừa có thể giải được các bài toán hình học không gian thông thường.

2 Cơ sở lí luận

2.1 Kiến thức cơ bản

Khi sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian các em học sinh cần ôn lại các kiến thức về véc tơ, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, góc giữa hai vec tơ, góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng để có thể nhanh chóng nhận dạng và tiếp cận được với phương pháp này

2.2 Một số kinh nghiệm nhận dạng bài toán và cách chọn hệ trục tọa độ

Những bài toán hình không gian có yếu tố về hình hộp chữ nhật, hình lậpphương, hoặc hình lăng trụ đứng và cả những hình chóp đi kèm với những câu hỏi

4

như: chứng minh quan hệ vuông góc, tính góc, tính khoảng cách Ta có thể chuyểnsang hệ trục tọa độ để giải quyết.

Với những hình có sẵn ba cạnh đôi một vuông góc như hình hộp chữ nhật hayhình lập phương thì ta có thể chọn ngay ba cạnh đó làm ba cạnh nằm trên ba trục của

hệ trục tọa độ, sau đó dựa vào độ dài các cạnh này để chọn tọa độ các điểm Còn vớihình chóp, hình lăng trụ thì có thể dựa vào giả thiết cho hoặc suy ra từ giả thiết Chẳnghạn:

• Cho hình lập phương

' ' ' '

ABCD A B C D với cạnh bằng a … thì

ta có thể chọn được hệ trục tọa độ Oxyz sao

cho một trong 8 đỉnh là gốc của hệ trục,

• Nếu giả thiết cho hình chóp đều

S.ABCD thì khi đó gọi I là tâm của hình vuông

ABCD, ta có ngay ba đường đôi một vuông góc

với nhau là IS, IA, IB Chọn hệ trục tọa độ

lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz

 Nếu giả thiết cho hình chóp có một mặt

bên là tam giác cân hoặc tam giác đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy thì chọn trung điểm

của cạnh đáy tam giác cân đó là gốc hệ trục tọa độ

C A

B

D B'

D

B

A

C A'

I

z

y x

C A

D S

D S

B

Chẳng hạn hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAB là tam giác cân

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, gọi H là trung điểm của AB Chọn hệ trục

 Còn nếu giả thiết cho hình lăng trụ tứ giác đều thì ta chọn một đỉnh là gốc của

hệ trục tọa độ còn ba cạnh có chung đỉnh đó nằm trên ba trục tọa độ (giống với cáchlàm đối hình hộp chữ nhật)

 Còn nếu giả thiết cho hình lăng trụ tam giác đều, chẳng hạn hình lăng trụ tam

Hình lăng trụ tứ giác đều Hình lăng trụ tam giác đều

Chú ý: Với hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân, chẳng hạn hình lăng trụ

lăng trụ tam giác đều

 Với hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông thì hiển nhiên chọn ngayđỉnh góc vuông làm gốc của hệ trục tọa độ và ba cạnh chung đỉnh đó nằm trên ba trụctọa độ

Khi xác định tọa độ một điểm ta cần chú ý đến một số tính chất và kĩ năng sau:Giả sử ta có điểm A a b c ; ; 

Bước 1: Khéo léo gán hệ trục tọa độ cho từng bài toán, từng hình vẽ.

Bước 2: Sử dụng các kiến thức về tọa độ trong không gian để giải và đưa

ra kết luận.

3 Bài toán minh họa

DẠNG 1: TÍNH GÓC 1.1 Một số kiến thức cơ bản

D'

D

C' B'

B

A

C A'

điểm của AC, SC.

a) Tính góc giữa BM và SC

b) Tính sin của góc giữa AN và BC

Lời giải :

Nhận xét: ta có AS, AB, AC đôi một vuông góc

AN BC   c AN BC     

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

N M A

B

A

C B'

Ta có ba đường BA, BB’, BC đôi một vuông góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz saocho B O , với các điểm A3;0;0 ,  C0;3;0, B' 0;0;3 

Cách giải thông thường:

Gọi H là trung điểm của cạnh AC, khi đó

 ' ''

BH C

Nhận xét: Với cách giải thông thường thì cần phải xác định được hình chiếu

của một đường thẳng trên mặt phẳng Đây là một điểm yếu của phần lớn học sinh, nhất

là phải nhìn hình không theo chiều thuận Còn với cách giải dùng phương pháp tọa độthì với kiến thức đang học phần tọa độ trong không gian việc tính tọa độ vector chỉphương của đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng là việc đơn giản hơn.Giáo viên không phải mất nhiều thời gian cho việc nhắc lại kiến thức lớp 11

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AB2a và

BAD  Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy

B A

C B'

z

y x

I

D

B

A S

C

A 300 B 450 C 600 D 900

Nhận xét: AC, BD, IS là ba đường đôi một vuông góc, vì vậy ta có thể dùng

chuyển sang phương pháp tọa độ Để thuận tiện cho việc chọn tọa độ ta phải đi tính độdài AC, BD trước

Suy ra  ABCD có một vector pháp tuyến là  n  2 0;0; 3

Gọi  là góc giữa SAB và   ABCD Ta có 

(SAB) và (ABCD) là AB, gọi H là hình chiếu của I trên

C H

Xét tam giác vuông ABI ta có:

IA IB a a a IH

Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , cạnh bên

bằng

52

Ta có HB, HC, HS đôi một vuông góc nên ta chọn hệ

H

D

B A S

C

Cách giải thông thường

Xét (SCD) và (ABCD) Ta có CD là giao tuyến

của hai mặt phẳng , gọi E là chân đường vuông góc hạ

từ H xuống CD, suy ra SECD (định lí 3 đường

vuông góc)

Vậy góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng góc giữa đường

thẳng ES và EH Trong tam giác SHE có

Nhận xét: Trong cách giải thuần túy lớp 11 có vẻ ngắn gọn hơn nhưng đòi hỏi

học sinh phải biết kẻ những đường phụ để xác định được góc giữa hai mặt phẳng, sau

đó học sinh phải có kĩ năng chứng minh quan hệ vuông góc Còn với cách giải bằngphương pháp tọa độ tuy có hơi dài nhưng học sinh không cần kẻ đường phụ mà chỉ cầntính toán sau khi đã chọn tọa độ các điểm

Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và SC

Lời giải:

Lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật

D

B A S

C

Lời giải thông thường:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và BC; gọi H là hình chiếu của S trên

5

c SM DN 

Câu 3 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi  là số đo góc giữa hai mặt

phẳng BA C và '  DA C Mệnh đề nào sau đây đúng?1 

xứng của điểm D qua trung điểm của SA Gọi M, N tương ứng là trung điểm của

13

AE, BC Gọi  là góc giữa hai đường thẳng MN và BD Mệnh đề nào sau đâyđúng?

Câu 5 Cho tam giác đều SAD và hình vuông ABCD nằm trong hai mặt phẳng vuông

10

c  

B

30os

10

c  

C

3os

5

c  

D

2cos

5

Câu7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a AD a  SA a và SA vuông góc với (ABCD) Gọi M, N lần lượt là

SMB Mệnh đề nào sau đây đúng?

1os

2

c 

C

3os

2

c 

D

2os

2

c  

DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH 2.1 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

3 (P) chứa giá của u và song song với giá

của v

2.1.2 Một số ví dụ

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính theo a

Lời giải:

góc với (ABCD) Gọi K là trung điểm của CD, ta

có ngay ba đường HB, HS, HK đôi một vuông góc

nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

K

D H

B

A S

C

-Với cách giải trong đáp án thì học sinh phải tính khoảng cách từ A đến (SCD)gián tiếp thông qua khoảng cách từ H đến (SCD) Học sinh phải có kiến thức vữngmới nhìn thấy mối quan hệ giữa khoảng cách từ A và H đến (SCD) Trong cách giảinày nhiều học sinh lúng túng trong việc dựng chân đường vuông góc hạ từ H xuống(SCD)

- Trong cách giải bằng phương pháp tọa độ nhìn có vẻ dài dòng hơn, nhưng họcsinh chủ yếu tính toán, không cần nhiều kĩ năng kẻ đường phụ hay chứng minh vuônggóc Việc tính tọa độ tích có hướng của hai vector, viết phương trình mặt phẳng, tínhkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là các kiến thức học sinh 12 đang họcnên các em có thể sử dụng dễ dàng

Suy ra DA C có một vec tơ pháp tuyến là ' ' n  6; 3;2 

Phương trình tổng quát của DA C : 6 3 2 0' ' x y z

Cách giải thông thường

Ta có hai mặt phẳng DA C và ' ' B AC song song và' 

D C B

D'

A' A

K

D C B

D' B'

C' A'

A

I

 Nhận xét:

- Trong cách giải thông thường đòi hỏi người giải phải có kiến thức tổng hợpmới giải được bài toán này bởi nó đòi hỏi nhiều kiến thức đan xen, chẳng hạn: việc

nhau, việc sử dụng công thức

BAD  , gọi O và O' lần lượt là hai tâm đáy ABCD và A B C D' ' ' ', biết OO' 2a

K O'

O

D' C'

A'

D B

A C

B'

K O'

O

D' C'

Học sinh có thể sử dụng kết quả của bài toán trong sách giáo khoa 11 đối với hìnhchóp K.OAB là

OH OA OB OK

Trường hợp không nhớ kết quả này thì học sinh phải làm các bước như sau:

4

OA OB a OM

- Trong cách giải không dùng phương pháp tọa độ thì đòi hỏi học sinh phải có

kĩ năng dựng hình, sử dụng kiến thức lớp 11 để chứng minh quan hệ vuông góc để xácđịnh được khoảng cách trên hình Việc này tương đối khó với phần lớn học sinh

- Còn khi dùng phương pháp tọa độ học sinh sử dụng kiến thức 12 đang học đểgiải quyết bài toán

2.2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

2.2.1 Kiến thức cơ bản

Phương pháp:

- Lấy điểm A trên đường thẳng a Khi đó d a b ,  d a P ,   d A P ,  

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

Cách giải thông thường

' '

B C

Khi đó d B C BA ' ', ' d B C BCA ' ', '  d B BCA ', ' 

- Trong lời giải trên tôi sử dụng kết quả của bài tập hình học 11 (bài 4, SGK 11

cơ bản, chương 3, trang 105) Nếu học sinh không sử dụng kết quả của bài toán này thìviệc tính độ dài AH phức tạp hơn, bao gồm việc đi dựng đoạn AH và thiết lập biểuthức tính AH Trong lời giải trên những điểm nhấn quan trọng đó là việc xác định mặt

20

z

y x

B'

C'

A B

A'

C

C' B'

A'

B

K H

phẳng chứa đường này và song song với đường kia, việc nhận xét được trung điểm củađoạn BA nằm trên mặt phẳng ' BCA để từ đó tính khoảng cách từ '' B đến  A BC' 

lớn học sinh

- Với cách dùng phương pháp tọa độ tôi nhận thấy rằng mặt phẳng (P) khôngnhất thiết phải nhìn thấy trên hình, chỉ biết rằng nó có vector pháp tuyến chính là tích

phương trình mặt phẳng (P) thì đơn giản, phần lớn học sinh làm được Từ đó tính đượckhoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Ví dụ 2 :

d AC SB d AC P d A P  

Cách giải thông thường: Kẻ đường thẳng d đi qua B và song song với AC, gọi M là

hình chiếu của A trên đường thẳng d, gọi H là hình chiếu của A trên SM

suy ra:

22

Lời giải :

K

D H

B A S

C

Gọi E là trung điểm của SC, H là giao điểm của AC và

BD

Tam giác ABD là tam giác đều

3,

HB HA

Ta có HE là đường trung bình trong tam giác SAC

Ta có HE, HB, HC đôi một vuông góc, nên ta chọn hệ

BC Hình chiếu của S trùng với trung điểm H của AD Biết rằng

C B

A

z

y x

H I B

A

C S

B

66

a

C

56

a

D

64

a

Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính

theo a khoảng cách từ D đến (SBC)

32

a

C

33

a

D

34

a

ABCBAD BA BC a AD  , 2a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA vuông

cách giữa hai đường thẳng DE và SC theo a

A

3819

a

B

510

a

Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với hai đáy BC và

đỉnh S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của cạnh AD Tính

A

2110

a

B

75

a

C

217

Câu 7 Cho tam giác đều SAD và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng

vuông góc với nhau Gọi M là trung điểm của AB

a

C

54

a

D

73

a

C

36

a

D

34

a

2

giữa hai đường thẳng AA ' và BC'

a

C

35

a

D

36

a

Câu 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc

a

C

34

a

D

35