Chứng minh rằng đường thẳng 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m b.. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD.. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THẠCH HÀ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2011 - 2012 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 25 / 11 / 2011
Bài 1 a) Tính giá trị biểu thức: B= 3 5 2 13+ + 3 5 2 13−
b) Cho dãy số: a1; a2; a3; thỏa mãn: a2 =1; a50= 2012; an+an+1= an+2 với mọi số tự nhiên n≥1 Tính tổng: S = a1 + a2 + + a48.
Bài 2 Cho đường thẳng (l) có phương trình: y = mx + m - 1 (m là tham số).
a) Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
b) Tìm m để đường thẳng (1) tạo với các trục tọa độ 1 tam giác có diện tích bằng 2
Bài 3 a) Giải phương trình: x 2 − + 10 x − = 4
b) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức:
x x
Bài 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD Gọi H, K theo
thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến đường thẳng CD
a) Chứng minh rằng CH = DK
b) Chứng minh rằng SAHKB = SACB + SADB
c) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30 cm, CD =
18 cm
Bài 5 Không dùng bảng số, máy tính hãy tính sin150
(HẾT)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Bài 1
4,0đ
a) Tính: B = 3 5 2 13 + + 3 5 2 13 − (1) 2
B B 10 (B ) 9,75 0
2
Từ an + an+1 = an+2 suy ra an = an+2 - an+1 (*) 0,50 Lần lượt thay n =1; 2; ; 47; 48 vào (*) 0,50
ta có: S = a3-a2+a4-a3+ +a49-a48+a50-a49 = a50 - a2 = 2012 – 1 = 2011 0,75
Bài 2
4,0đ
Điều kiện để đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N(x0; y0) với mọi
m thì phương trình y0 = mx0 + m – 1 = 0 nghiệm đúng với ∀m 0,50
(x 1)m (y 1) 0
Vậy đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N(-1; - 1) với ∀ m 0,25
Điều kiện để đường thẳng (l) cắt các trục tọa độ: m ≠ 0 (*) 0,25 Gọi A là giao điểm của đường thẳng (1) với trục tung,
với x = 0 ta có y = m -1, suy ra OA = m 1 −
0,25
Gọi B là giáo điểm của đường thẳng (1) với trục hoành
với y = 0 ta có x 1 m
m
−
= suy ra OB 1 m
m
−
=
0,25
Theo bài ra SAOB = 2 ⇔OA.OB=4
2
(m 1)
m
−
2
2
m 2m 1 4m
− + =
⇔ − + = −
2
2
(m 3) 8 (1) (m 1) 0 (2)
− =
⇔ + =
Từ (1) suy ra m 3 2 2 = ± ; (Thỏa mãn *);
Từ (2) suy ra m = -1 (Thỏa mãn *);
0,25
Trang 3Vậy có 3 giá trị của m để đường thẳng (1) tạo với các trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng 2 là:
1
m = +3 2 2, m2 = −3 2 2, m3 = −1 0,25
Bài 3
4,0đ
a) Giải phương trình x − 2 + 10 − x = 4(1) 2,0 Điều kiện để các căn thức có nghĩa: 2 ≤ x ≤ 10 0,25 Trước hết ta chứng minh: với 2 bộ số (a1; a2); (b1; b2) ta có:
(a1b1+a2b2)2 ≤(a12+a22)(b12+b22)(*) Đẳng thức xẩy ra 1 2
1 2
a a
b b
Áp dụng (*) ta có: 16 ≤ 2(x-2 +10 - 2) = 16 0,50 Đẳng thức xẩy ra ⇔x - 2 = 10 - x⇔ x = 6 0,50 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 6 0,25 b) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: M = 3 x−2 +4 10−x 2,0
Điều kiện để các căn thức có nghĩa: 2 ≤ x ≤ 10
Đặt N= x − 2 + 10 − x
N2 = 8 + 2 (x− 2 )( 10 −x) ≥ 8 (vì 2 (x− 2 )( 10 −x) ≥0) 0,25 Nên N2 ≥ 8 đẳng thức xẩy ra ⇔x = 2 hoặc x = 10 0,25
Do đó: M ≥ 3N + 10 −x ≥ 3N ≥ 6 2 đẳng thức xẩy ra⇔x = 10 0,25
Áp dụng BĐT (*) ở câu a) ta có: M ≤ 25 (x− 2 + 10 −x) = 10 2 0,50 Đẳng thức xẩy ra⇔x =122
Bài 4
6,0đ
Gọi I là trung điểm của CD ta
có IC = ID (1) 0,5đ
Mặt khác OI⊥ CD nên
OI//AH//BK
=> IH=IK (2) 0,5đ
Từ (1) và (2) suy ra CH=DK
0.,5đ
HIE KIF
∆ = ∆ (cạnh huyền góc nhọn) suy ra SAHKB=SAEFB=AB.II' 0,50
Ta lại có SACB =
2
1
SADB =
2
1
Mặt khác CC' DD' II'
2
Trang 4Từ (3), (4), (5) ta có SACB + SABD = AB.II' = SAHKB 0,25
Dấu “=” xẩy ra khi II’= OI hay OI⊥ AB, lúc này CD//AB 0,75 Vậy GTLN của SAHKB = AB.OI = 12.30 = 360 (cm2) 0,25
Bài 5
2đ
Xét tam giác ABC vuông tại A, góc B = 150 Gọi M là
giao điểm của AB với trung trực của cạnh BC (Hình bên) 0,50 Đặt AC = x, suy ra MB = MC = 2x ⇒MA = x 3
BC2 = AC2+AB2 hay BC2 = x2 + ( 3x+2x)2 = 4(2 + 3)x2
Vậy sin150=sinB =
BC
AC
=
3 2 2
1
+ = 2
3
2 −
0,50
Lưu ý:
- Học sinh giải cách khác đúng và gọn vẫn cho điểm tối đa;
- Điểm bài làm của học sinh qui tròn đến 0,5.
PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ