đề thi chon hsg huyện năm học 2012-2013

a Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau b Tính R theo a và b c Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với nhau.. Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THẠCH HÀ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2012 - 2013 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 23 / 11 / 2012

Bài 1 a) Rút gọn biểu thức: A 1 3 3 310 6 3

2



b) Tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: 2 3 9 20 5

a b 5   a b 5   

Bài 2 a) Giải các phương trình sau:

2

2

2012 2012

2013 2013

1  x  6  x    5 2 x

b) Tìm x, y thỏa mãn:

2

2

y 9 2xy





 



Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức: M 2x   5 x  2

Bài 4 Cho đường tròn đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây

cung CD tại H ( H O  ) Biết AH = a; CD = 2b.

a) Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau b) Tính R theo a và b

c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với nhau Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 5 Cho x y z , ,  (0,1]

==HẾT==

Họ và tên thí sinh:

Số báo danh:

Lưu ý: Học sinh không được dùng máy tính.

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013

MÔN TOÁN LỚP 9

Bài 1

3,5đ

3 3

1 3 3 10 6 3 A

2

1 (1 3)

1 4 2 3

 

2

(1 3) 1 3

ĐK: ab 5 (*)

9 20 5

a b 5 a b 5

2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5)

0,25

9a 45b a 5( 20a 100b 5b)

Ta thấy (*) có dạng A B 5 nếu B 0 thi 5 A Z

B

   vô lí vậy B = 0 => A= 0 0,25

Do đó (*)

9a 45b a 0 20a 100b 5b 0



 

2

9

hoac 4

b 4b 0







(Loại vì không thỏa mãn ĐK (*))

Bài 2

6,0đ

* Biến đổi vế phải ta có 20132 (2012 1) 2 201222.2012 1

1 2012 2013 2.2012

2

Phương trình trở thành: x1 x 2 2013 (*) 0,5 Xét 3 trường hợp:

- Trường hợp 1: Nếu x1 ì (*)th  3 2 x2013 x1005 (thỏa mãn) 0,5

- Trường hợp 2: Nếu 1 x 2thi (*) 0x 1 2013 (Phương trình vô nghiệm) 0,25

- Trường hợp 3: Nếu x2thi (*) 2x 3 2013  x1008 (thỏa mãn) 0,25

Kết luận: Phương trình (*) có 2 nghiệm: x11005và x2 1008 0,25

* ĐK x2,5 (*)

Phương trình đã cho trương đương với: 1 x  5 2x  6 x

0,25 0,25

 1 x  ( 5 2 ) 2 (1x   x)( 5 2 ) 6  x   x 0,25

 (1 x)( 5 2 )  x  x 5 ĐK: x  - 5 (**) 0,5

 x1 = - 3 (thoả mãn ĐK (*) và (**)) hoặc x2 = 10 (không thoả mãn ĐK (*) và (**)) 0,5

Cộng vế theo vế ta được

2

x 6x 6y

x 2xy y 6(x y) 9 0







2

2

x 6x 6y (x y 3) 0



 

2

x 6x 6(x 3) x 3 2



0,5 Vậy (x; y) = (3 2;3 3 2), ( 3 2;3 3 2)   0,25

Bài 3

3,0đ

* Tìm giá trị lớn nhất:

Trước hết ta chứng minh: với 2 bộ số (a1; a2); (b1; b2) ta có:

(a1b1+a2b2)2 ≤(a1+a2)(b1 +b2)(**) Đẳng thức xẩy ra 1 2

1 2

a a

b b

Áp dụng (**) ta có M2 2x1 5 x22 (22 1 )(2 x2  5 x2) 25 0,5 Đẳng thức xẩy ra khi 2



x

* Tìm giá trị nhỏ nhất

Mặt khác 5 x2 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có M 2x 5 x2 2 5 0,25 Đẳng thức xẩy ra khi 2 2 2 5 5

 



 





x

x

Bài 4

6,5đ

Vẽ hình 0,25đ

H O A

B

M

N P

Q

L K

0,25

1,0

1,0

a) 2,0đ

Ta cóOA OB OC  nên ACB vuông tại C nên

BCH ACH 90  (1)

Vì ABCD nên CAH ACH 90  0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra CAH BCH Mặt khác ABCD

HC=HD hay ACB là tam giác cân tại A =>AH là phân

giác góc A => CAH DAH  BCH DAH  => Các

tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau

b) (2,0đ)

Áp dụng định lí Pitago ta có AC AH2HC2  a2b2

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta có

AC AB.AH AB



2 2

AB a b R



0,5

1,5

c) 2,25đ

Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên MN và PQ Đặt OK = x; OL = y;

Đặt OH = d

Đặt T MN PQ 

T MN PQ 2MN.PQ

    4(R2 x ) 4(R2  2 y ) 8 (R2  2 x )(R2 2 y )2

* T đạt GTLN khi T2 đạt GTLN  x y2 2 đạt GTLN xy đạt GTLN 0,25

Áp dụng BĐT Cosy ta có xy x2 y2 d2



Dấu “=” xẩy ra khi x y <=> OL = OK => HO là tia phân giác của góc tạo bởi hai dây

* T đạt GTNN khi T2 đạt GTNN  x y2 2 đạt GTNN xy đạt GTNN 0,25 Mặt khác do x, y 0 nên xy 0 , dấu “=” xẩy ra khi x = 0 hoặc y = 0 => dây cung trở

Bài 5

1,0đ

Vì x, y  (0,1] nên (1 x)(1 y) 0  1 xy x y 

1

  z xy x y z  

(1) 1

Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được

3

 

Dấu “=” xẩy ra khi x = y = z =1

0,25

0,25

Lưu ý: - Học sinh giải cách khác đúng và gọn vẫn cho điểm tối đa;

- Điểm bài làm của học sinh qui tròn đến 0,5.

PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ