3 Thể tích khối lăng trụ: Khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S có thể tích là: V = hS Bài toán 2: Tính thể tích khối tròn xoay Một hình phẳng quay quanh một trục nào đó tạo nê[r]
Trang 1Bằng cách xem x là hàm số của biến y, tức x g y , diện tích S
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x g y
liên tục trênđoạn a;b
, trục tung và hai đường thẳng y = a, y = b được tính
theo công thức
b
a
Sg y dy
(2)
Trang 2Bài toán 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liên tục trên a;b
và
hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức
b
a
Sf x g x dx
(3)Minh họa các dạng thường gặp:
a
Sf x g x dx
b
Gửi đến số điện thoại
Bài toán 3: Hình phảng giới hạn bởi nhiều hơn hai đường cong
Diện tích S của hình phẳng giới hạn các đồ thị được chia thành nhiều phần diện tích, mà mỗi phần ta có thểtích theo công thức (1), (2), (3) và (4)
Minh họa các dạng thường gặp:
Trang 3Gửi đến số điện thoại
Chú ý: Khi áp dụng công thức (3):
b
a
Sf x g x dx
, ngoàiviệc khử dấu GTTĐ như phương pháp đã trình bày ở trên, ta có thể khử dấu GTTĐ theo phương pháp sau: Bước 1: Giải phương trình f x g x 0trên đoạn a;b
Trang 4III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1:Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây đúng?
a
Sf x dx
C.
a
b
Sf x dx
D.
b
Gửi đến số điện thoại
Trang 5Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = f(x), Ox và hai đường thẳng x = a, x = b
Câu 3: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ
thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b như
hình bên Khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 6Gửi đến số điện thoại
Câu 4: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số x g y , trục tung và hai đường thẳng y = a, y = b như hình vẽ
bên Khẳng định nào sau đây đúng?
a
Sf y g y dy
Lời giải: (Chọn C)
Trang 7Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = a, y = c
C.
2
e 2e 1e
D.
2
e 2e 1e
03
Trang 803
Trang 9
, trục Ox và hai đường thẳng
1
x , x 22
có diệntích là:
5S2
Trang 11Câu 19:(Đề thử nghiệm 2017) Ông An có một mảnh vườn elip có độ dài trục
lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m Ông muốn trồng hoa trên dải
dất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ)
Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao
nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến
Trang 12Vậy phương trình của elip là:
IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hai hàm số f = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn a;b
Câu 2: Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn a;b ,c a;b
Gọi S là diện tích của hìnhphẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b Công thứcnào sau đây sai?
A.
b
a
Sg x f x dx
B.
b
a
Sf x g x dx
C.
b
Câu 3: Diện tích S của hình phẳng bởi đồ thị 3 hàm số y = f(x), y = g(x), y = h(x) phần gạch chéo hình bên
dưới được tính bởi công thức là:
Trang 13Câu 7: Cho Parabol (P): y x 2và tiếp tuyến của (P) tại điểm A(1;1) có
phương trình y 2x 1 Diện tích của phần bôi dậm như hình vẽ là:
Câu 8: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b
Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm sốf(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) bằng:
A.
b
f x dx
D.
b
Câu 10:Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 x và trục Ox Khối tròn xoay tạo thành
khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:
A.
16V
15
(đ.v.t.t) B.
4V3
(đ.v.t.t) C.
512V15
Câu 11:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3 6x, y x 2(hình
Trang 14Câu 12:Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b ,f x 0, x a;b
Gọi S là diện tích của hình thangcong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) Khẳng địnhnào sau đây sai?
A.
b
a
Sf x dx
B.
b
a
Sf x dx
C.
b
a
Sf x dx
D.
b
6
1S8
(đ.v.d.t) C.
5S6
(đ.v.d.t) D.
3S7
(đ.v.d.t)
Câu 14:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y sinx, y 0, x 0, x là:
A. S 4 (đ.v.d.t) B. S 2 (đ.v.d.t) C. S = 4 (đ.v.d.t) D. S (đ.v.d.t)
Câu 15:Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b
Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm sốf(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) bằng:
A.
b
a
Sf x dx
B.
b
Sf x dx
D.
b
a
f x dx
Trang 15Câu 18:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e , y e , x 1 x x
C.
2
e 2e 1e
D.
2
e 2e 1e
Câu 19:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 2 2x 1, y x 1,x 0,x k, k 0 bằng
5
6.Khi đó giá trị k bằng:
Câu 24:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x, y 0, x e là:
Câu 25:Giả sử hình phẳng tạo bởi các đường cong y = f(x), y = g(x), x = a, x = b có diện tích là S1 Còn
hình phẳng tạo bởi các đường cong y = 2f(x), y = 2g(x), x = a, x = b có diện tích S2 Trong cáckhẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. S2 4S1 B. S2S1 C. 2S2 S1 D. S2 2S1
Câu 26:Cho đồ thị hàm số y = f(x) Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình bên) là:
A.
4
Trang 16Câu 30:Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x)
và các đường thẳng x = a, x = b là:
A.
b
a
Sf x g x dx
B.
b
a
Sf x g x dx
C.
b
Câu 32:Diện tích miền D được giới hạn bởi hai đường: y2x , y2 2x 4 là:
Câu 33:Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2trục hoành và hai đường thẳng x = - 1,
Câu 36:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1): y x 2và (C2): y x bằng:
Trang 17Câu 37:Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số yx33x 2 và đồ thị hàm số yx 2
A. (1) đúng nhưng (2) sai B. (2) đúng nhưng (1) sai
C. Cả (1) và (2) đều đúng D. Cả (1) và (2) đều sai
Câu 39:Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số yx33x 2 và đồ thị hàm số yx 2
Sx 1 dx
B.
2 2 01
x dx
C.
2 2 11
Câu 43:Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Trang 18Câu 44:Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm
số liên tục y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như
trong hình vẽ bên? Khẳng định nào sai?
Câu 45:Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3, trục Oy, trục Ox và đường thẳng x = 2 có diện tích S
Khẳng định nào sau đây đúng:
Câu 46:Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), trục hoadnh
và hai đường thẳng x = a, x = b như trong hình vẽ Khẳng định nào đúng?
Câu 47:Diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục và hai đường
thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x
Trang 19Câu 50:Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e x, trục Oy, trục Ox và đường thẳng x = 1 có diện tích
S
B.
14
S
C.
54
S
D.
74
D.
9
ln 3 22
k
B. k ln 2 C.
8ln3
k
D. k ln 3
Câu 57:(Chuyên Quốc học Huế lần 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình H1, H2 được xác định:
Trang 20S S
x y
Cho một vật thể trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Gọi B là
phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục
Ox tại các điểm a và b. Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ a x b
(hình bên) Giả sử S S x
là một hàmliên tục trên a b;
Trang 21Sử dụng công thức (5), ta tìm được công thức một số vật thể quen thuộc trong hình học như:
1) Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự là
3) Thể tích khối lăng trụ: Khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S có thể tích là: V = hS
Bài toán 2: Tính thể tích khối tròn xoay
Một hình phẳng quay quanh một trục nào đó tạo nên một khối tròn xoay
Dạng 1: (Hình phẳng quay quanh Ox) Cho hình phẳng được giới hạn
bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a b; , trục Ox và 2
đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể
tích là:
2
b x a
V f x dx
(6)
Dạng 2: (Hình phẳng quay quanh Oy) Cho hình phẳng được giới hạn
bởi đồ thị hàm số x = g(y) liên tục trên đoạn a b;
, trục Oy và hai đường thẳng y = a, y = b quay quanh trục Oy ta được khối tròn xoay
có thể tích là:
2
b y a
V g y dy
Dạng 3: Thể tích khối tròn xoay có được khi quay nhiều đồ thị hàm số quanh một trục
Ta tiến hành chia phần thể tích V thành các phần thể tích thành phần V V1, , 2 mà mỗi phần được tính bằng các công thức (6), (7)
Minh họa các dạng thường gặp:
, ;
Trang 22II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1: Thể tích khối tròn xoay do phần hình phẳng S trong hình vẽ dưới quanh trục Ox được tính bằng
Trang 23Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên Thể tích khối
tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là:
Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên Thể tích khối
tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) qaunh trục Oy là:
Trang 24Câu 4: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 x
và trục Ox Khối tròn xoay tạo thànhkhi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:
A.
43
V
B.
1615
V
C.
51215
, trục Ox và hai đường thẳng x = 1, x = 2 Khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng (H) quay quanh trục Ox có thể tích là:
A.
73
21
V
B.
163
V
C.
1024 245
D.
3 2
Do tính đối xứng nên thể tích cần tìm bằng thể tích khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong
Trang 25V
B.
345
V
C.
325
V
D.
335
332
k
B.
1ln112
k
C.
1 11ln
k
D.
32ln3
Trang 26Câu 10:Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường elip (E)x29y2 9quay
x x dx
D.
1 2 0
Câu 12:Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y3x x 2 và trục hoành Thể tích
khối tròn xoay khi quay (H) quanh tục Ox bằng:
C.
76
A.V19V2 B. 6V1V2 C.V1V2 D. 9V1 V2
Lời giải:
Trang 27Câu 15: Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi các đường y x1 và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đường kínhlần lượt là 2dm và 4dm, khi đó thể tích lọ là:
A. 8 dm 3 B.
315
314
315
2
V x dx dm
Chọn đáp án C
Câu 16:Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y2x5,y x 22 Tính thể tích khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox Một học sinh trình bày bài giải như sau:
Hỏi lời giải trên đúng hay sai từ bước nào?
Trang 28Lời giải
3
2 2
Câu 17:Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh
trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:
Câu 18:Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên
quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích:
A.
469
V
B.
4615
V
C.
239
Trang 29Câu 19: Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh
trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:
A.V 32 B. V 2
C.
223
C.
75
1
x x
Trang 30V là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay (H’):
24
y x y Oy
y Oy
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
1,3
Câu 2: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x1,x4và trục Ox Khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:
A.
76
V
B.
67
V
C.
53
V
D.
35
D. 2 2 21
2
Câu 4: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường y x 2xvà trục hoành Thể tích
của khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng:
Trang 31Câu 5: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3, trục Oy, trục Ox và đường thẳng x 2khi quay
quanh trục Ox có thể tích là V Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 6: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường y x1, trục hoành,
A.V 6 B. V 12 C. V 4 D. V 8
Câu 8: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị số y x 2 2x1,x0,y0,x2 Khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:
A.
25
V
B.
52
V
C.
8 23
D. V 2
Câu 9: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 2x1,y0,x0,x2 Khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:
A.
25
V
B.
52
V
C.
8 23
Câu 12:Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a b;
Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục
Ox bằng:
Trang 32 2
B.
24
C.
23
D.
24
Câu 14:Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường yx22,y1trục Ox và
đường thẳng x = 1 quay quanh trục Ox là:
A.
1
2 2 1
Câu 15:Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi đường y x 2xvà trục hoành Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành khi quay B xung quanh trục Ox bằng:
C.
353
D. 18
Câu 17:Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x y x, quay quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay
khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox có thể tích là:
Câu 18:Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e x, trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 1 Thê tích
khối tròn xoay khi quay hình đó quanh trục hoành được cho bởi công thức:
A.
1 2 0
2 0
2 0
y dy
Câu 20:Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn
bởi đồ thị hàm số y 2 x2, trục Ox và hai đường thẳng x = - 1, x = 0 xung quanh trục Ox:
Trang 33A. 0 22
12
Câu 21:Gọi (H) bằng hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x, y = x, x = 1 Quay (H) xung quanh trục Ox
ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:
C. 82 D. 8
Câu 22:Gọi (H) bằng hình phẳng giới hạn bởi các đường y x1,x4, Ox Quay (H) xung quanh trục
Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:
25
Câu 24:Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y3 ,x y x x , 0,x1 Tính thể tích vật thể tròn xoay
khi (H) quay quanh Ox:
C. 82 D. 8
Câu 25: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể tích của khối tròn xoay
tạo thành khi (H) quay quanh trục Ox:
A.
3227
a, x = b (a < b) Khi đó thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục
Ox ta có thể được tính bởi công thức:
Trang 34A. B. 2 C.
67
D.
27
Câu 30:Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường y x 2 xvà trục hoành Thể tích
khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng:
V
C. V 18,6 D.
935
Câu 32:Kí hiệu V V1, 2lần lượt là thể tích hình cầu đơn vị và thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình
phẳng giới hạn bởi đường thẳng y2x2và đường cong y2 1 x2 xung quanh trục Ox Hãy
V
C.
51215
D.
283
Câu 34:Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 4x4,y0,x0,x3 Khi đó thể tích khối tròn
xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox là:
33
335
C.
29
D.
163
Trang 35Câu 37:Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
154ln 42
154ln 42
x y y
Thể tích của khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng:
V
B.
43
V
C.
83
Câu 42:Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường yx24xvà trục hoành Thể tích
của khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng:
C.
5123
D. 512
Câu 43:Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x và trục y = 4 – x Khối tròn xoay tạo thành khi
quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:
Trang 3643
V
B.
163
V
C.
323
V
D.
643
đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox Khi đó thể tích được giới hạn bởi công thức:
e
B.
5 3 227
e
C.
13 3 227
e
D.
13 3 227
Câu 49:(Tạp chí THPT đề 04/2017) Thể tích khối tròn xoay nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
cong y3x x 2và trục hoành quanh trục hoành bằng:
C.
417
D.
87
