BAI 3 UNG DUNG HINH HOC CUA TICH PHAN

Củng cố: Cho hai đường cong C1: y = fx và C2: y = gx; các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau không còn dấu trị tuyệt đối... Diện tích hình phẳng cần tìm là: 2.[r]

BÀI 3: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

Tiết 60

Giải Tích 12 – CHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

HOẠT ĐỘNG 1 :

Hãy tắnh diện tắch hình thang vuông giới hạn bởi các

đường thẳng : y = Ờ 2x Ờ 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5

S1=SABCD= (AD+BC) x AB/2 = 28

Ở Hđ1 bài 2 ta đã tắnh diện tắch S của hình thang

vuông giới hạn bởi các đường thẳng :

y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5.

y = Ờ 2

x Ờ 1

y = 2

x + 1

S

S1

Các em hãy so sánh diện tắch hai

hình S và S1, cho nhận xét. 

28 )

1 2

(

: viêt có

nên ta

28 2

30 )

1 2

(

: đó khi

trong

28 2

30 )

1 2

(

:

có

Ta

5 1 1

5 1 2

5

1

5 1 2

5

1

















































dx x

S S

x x

dx x

x x

dx x

S

1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và

trục hoành

Cho (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b]

f(x)≥0 trên đoạn [a;b] Hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục

hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b

có diện tích S được tính theo công

thức :





b

a

dx x

f

S ( )

Trường hợp f(x) ≤ 0 trên

đoạn [a;b] thì :

S = SaABb= SaA’B’b =  

b

a

dx x

f )] ( [

Tổng quát

Cho (C) : y = f(x) liên tục trên

đoạn [a;b] Hình thang cong giới

hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và

2 đường thẳng x=a ; x=b có diện

tích S được tính theo công thức :

dx x

f S

b

a



VD 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

Giải : Vì x 3 ≤ 0 trên đoạn [-1;0]

và x 3 ≥ 0 trên đoạn [0;2] nên:

4

17 4

x 4

x S

dx x )dx

x ( dx

x S

2

0

4 0

1 4

2

0

3 2

1

0

1

3 3



















Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai

đuờng cong.

Cho hai hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên [a;b]

Trong trường hợp f(x) ≥ g(x) x[a;b] Diện

tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y=f(x), y=g(x), x=a, x=b là:

)]

( )

(

[

2

S

S

b

a







Trong trường hợp tổng quát ta có

công thức

dx x

g x

f S

b

a

 ( ) ( )

dx x

g x

f S

b

a

Chú ý : Nếu x[;],f(x)–g(x)≠0 thì :

dx x

g x

f dx

x g x

f









)]

( )

( [ )

( )

(

Do đó để tính diện tích S theo công thức trên ta cần khử

dấu trị tuyệt đối dưới tích phân bằng cách :

• Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 , giả sử pt có các

nghiệm c , d (a < c < d < b)

• Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) không

đổi dấu

• Đưa dấu trị tuyệt đối ra khỏi tích phân trên từng đoạn

Vd 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai

đường thẳng : x = 0, x =  và đồ thị của 2 hàm số :

y = sinx , y = cosx

Giải : Pthđgđ : sinx = cosx

 x = /4  [0; ]

Vậy diện tích hình phẳng là :

2 2 )

sin (cos

) sin (cos

) cos (sin

) cos (sin

cos sin

cos sin

cos sin

4

4 0

4

4

0

4

4

0

0





























































x x

x x

S

dx x x

dx x x

S

dx x x

dx x x

S

dx x x

S

Vd 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

cong : y = x 3 – x và y = x – x 2

Giải : Pthđgđ : x 3 – x = x – x 2

 x 3 + x 2 – 2x = 0

 x = -2 ; x = 0 ; x = 1

Vậy diện tích hình phẳng là :

1

2

2









y =

x

3 - x

y =

x – x

2

Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức tính

diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối)

f(x)dx [-f(x)]dx

f(x)dx [-f(x)]dx

S

)]

( [

) (

c b

b 2

2 a

a 0

5 1 2 5

1

1         





dx x f S

dx x f

S

Củng cố: Cho hai đường cong (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x);

các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau

(không còn dấu trị tuyệt đối)

y =

f (x )

y = g( x) y = g( x)

y =

f (x )

)]

( )

( [ )]

( )

( [

)]

( )

(

[





b

a

a b

a

dx x

g x

f x

f x

g S

dx x

g x

f S

***Một số công thức cần nhớ

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:





b

a

dx ) x ( f S

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x),

y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b



b

a

dx ) x ( g ) x ( f S

Quay lại…

Bài tập tham khảo

BT1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x 3 – 1, trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 2.

Lời giải:

Đặt f(x) = x 3 – 1.

Ta có: f(x) ≤ 0 trên [0;1] và f(x) ≥ 0

trên [1; 2]

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

dx 1 x

S

2

0

3



y

x

y = x3 - 1

2

1

3 1

0

3





7 11

3







BT2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số:

f 1 (x) = x 3 – 3x và f 2 (x) = x

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số

f 1 (x) = x 3 – 3x và f 2 (x) = x là:

dx x 4 x

S

2

2

3







































2 x

0 x

2

x 0

x 4 x

x x

3



   





2

0

3 0

2

3 4 x ) dx ( 4 x x ) dx x

(

0

2 4

x x

2 2

0 x

2 4

x4 2 2 4



































8 4

4  



Diện tích hình phẳng cần tìm là:

x

y f1(x) =x3 –

3x

f2(x)

=x

3 Bài tập vận dụng

BT3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = 4 – x2, đường thẳng x = 3, trục tung và

trục hoành.

thẳng y = x + 2 và Parabol y = x2 + x - 2

Đặt f(x) = 4 – x2, f(x) ≥ 0 trên [0; 2] và f(x) ≤ 0 trên

[2; 3] nên:

3

23 )

4 (

) 4

( 4

3

2

2 2

0

2 3

0

2













S

PT hoành độ giao điểm: x2 + x - 2 = x + 2 <=> x =

-2; x = 2 Vậy: 32

dx x

4 S

2

2





 

BT5: Tính diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị các hàm số:

y = x 2 – 4x +3, y = - 2x + 2

và y = 2x – 6.

y = x2 - 4x

+ 3

y = -2

x + 2

y =

2x

- 6

y

x

dx ) 2 x

2 ( 3 x

4 x

S

3

2

2

2

1

2



























3 2

