ON TAP CHUONG TRINH DAI SO LOP 9

Nếu a < Sö dông quy t¾c céng đại sè để thùc hiÖn ph¬ng 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x >trình 0 mới, trong đó có một phơng trình mà hÖ sè§å cñathÞmét trong ÈnParab[r]

CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIấN QUANA/ PHẦN Lí THUYẾT.

B/ PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng 1: Tỡm ĐKXĐ của cỏc biểu thức sau

1.

11

2 Một số phép biến đổi căn thức bậc hai

- Đều kiện để căn thức có nghĩa A có nghĩa khi A  0

ương phỏp : Nếu biểu thức cú

 Chứa mẫu số  ĐKXĐ: mẫu số khỏc 0

 Chứa căn bậc chẵn  ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0

 Chứa căn thức bậc chẵn dưới mẫu  ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0

 Chứa căn thức bậc lẻ dưới mẫu  ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0

ương phỏp : Thực hiện theo cỏc bước sau

 Bớc 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

 Bớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có)

 Bớc 3: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn

 Bớc 4: Rút gọn biểu thức

Dạng toỏn này rất phong phỳ vỡ thế học sinh cần rốn luyện nhiều để nắm được

“mạch bài toỏn” và tỡm ra hướng đi đỳng đắn, trỏnh cỏc phộp tớnh quỏ phức tạp

ương pháp : Thực hiện theo các bước sau

 Bước 1: Tìm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho.

 Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử.

 Bước 3: Quy đồng mẫu thức

 Bước 4: Rút gọn

Q x

ương phỏp : Thực hiện theo cỏc bước sau

 Để tớnh giỏ trị của biểu thức biết x a ta rỳt gọn biểu thức rồi thayx a

vào biểu thức vừa rỳt gọn.

 Để tỡm giỏ trị của x khi biết giỏ trị của biểu thức A ta giải phương trỡnh

A x

Lưu ý: Tất cả mọi tớnh toỏn, biến đổi đều dựa vào biểu thức đó rỳt gọn.

 Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b trong đó a  0

 Hàm số bậc nhất xác với mọi giá trị x  R và có tính chất đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi

  (trong đó a gọi là hệ số góc, b gọi là tung độ góc)

 Các đờng thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau Nếu gọi  là góc hợp bới giữa đờng thẳng và tia Ox thì a = tg

 Nếu đờng thẳng (d): y = ax + b (a  0) và đờng thẳng (d’): y = a’x + b’ (a’  0) thì:

3 Cho biểu thức: P =

: 19x 1

 Hàm số có tính chất: Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 Nếu a <

0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

 Đồ thị hàm số là một Parabol với đỉnh là góc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng

 Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

 Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

Phơng pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số y = ax 2 thì ax 0 = y 0

Dạng 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị

Phơng pháp: Lập phơng trình hoành độ giao điểm

Giải phơng trình, từ đó tìm ra toạ độ các giao điểm Dạng 4: Tơng giao giữa đờng thẳng và Parabol

Phơng pháp: Cho đờng thẳng có phơng trình y = ax + b (a  0) và Parabol y = Ax 2 (A  0) Xét phơng trình hoành độ giao điểm Ax 2 = ax + b (1) Ta có số giao điểm của hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình này

- Đờng thẳng cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm

- Đờng thẳng không cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) vô nghiệm

- Đờng thẳng tiếp xúc Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm kép

Hàm số bậc nhất

Bài 1: a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)

b) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành

Bài 2 Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3

a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

c) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy

Bài 3: Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3

a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4)

c) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1)

a) Viết phơng trình đờng thẳng AB

b) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời

đi qua điểm C(0 ; 2)

Bài 5: Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3

a) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm cố định ấy

c) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1

Bài 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau : y =

6 x4



; y =

4x 53



và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.Bài 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1).Bài 8 : Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :

a) Đi qua điểm A(1; 2010)

b) Song song với đờng thẳng x – y + 3 = 0

Bài 9: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d)

Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :

a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)

b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- 2và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+ 2

c) Cắt đờng thẳng -2y + x – 3 = 0

d) Song song vối đờng thẳng 3x + 2y = 1

Bài 10: Cho hàm số : y2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d) ymx 1 theo m

d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0; -2) và tiếp xúc với (P)

 Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b trong đó a  0

 Hàm số bậc nhất xác với mọi giá trị x  R và có tính chất đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi

  (trong đó a gọi là hệ số góc, b gọi là tung độ góc)

 Các đờng thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau Nếu gọi  là góc hợp bới giữa đờng thẳng và tia Ox thì a = tg

 Nếu đờng thẳng (d): y = ax + b (a  0) và đờng thẳng (d’): y = a’x + b’ (a’  0) thì:

Bài 3: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình (d1)x + y=m

b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 Viết phơng trình đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)

b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)

c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)

 Hàm số có tính chất: Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 Nếu a <

0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

 Đồ thị hàm số là một Parabol với đỉnh là góc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng

 Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

 Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

Phơng pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số y = ax 2 thì ax 0 = y 0

Dạng 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị

Phơng pháp: Lập phơng trình hoành độ giao điểm

Giải phơng trình, từ đó tìm ra toạ độ các giao điểm Dạng 4: Tơng giao giữa đờng thẳng và Parabol

Phơng pháp: Cho đờng thẳng có phơng trình y = ax + b (a  0) và Parabol y = Ax 2 (A  0) Xét phơng trình hoành độ giao điểm Ax 2 = ax + b (1) Ta có số giao điểm của hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình này

- Đờng thẳng cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm

- Đờng thẳng không cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) vô nghiệm

- Đờng thẳng tiếp xúc Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm kép

Cách 1: Sử dụng phơng pháp cộng đại số:

- Nhân các vế của hai phơng trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau

- Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà

hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phơng trình một ẩn số)

- Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho

CHỦ ĐỀ 3:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT MỘT ẨN

Dạng 1: Giải cỏc hệ phương trỡnh sauBài 1: Dạng cơ bản

9 6y 4x 6)

; 14 2y 3x

3 5y 2x 5)

; 14 2y

5x

0 2 4y

3x

4)

10 6y 4x

5 3y 2x 3)

; 5 3y 6x

3 2y 4x 2)

; 5 y

2x

4 2y

ớù + - =ùùùợ

Cách 1: Sử dụng phơng pháp cộng đại số:

- Nhân các vế của hai phơng trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau

- Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà

hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phơng trình một ẩn số)

- Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho

10 3y - 6x

8 3y

x

2 - 5y 7x 4)

; 7

5x 6y y 3

1

x

2x 4

27 y 5 3

54 3 y 4x 4 2y 3 - 2x 2)

; 4xy 5

y 5

4x

6xy 3

2y 2

íï

ïï ïïî

íï

ïï ïïî



- NÕu  > 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 1

bx



- NÕu a - b + c = 0  x1 = -1; 2

cxa

a  th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu

- NÕu

0c0a

e) Xét dấu 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:

Dấu nghiệm x1 x2 Sx1x2 P x x 1 2  Điều kiện chung

trỏi dấu   P < 0   0   0 ; P < 0.

cựng dấu,   P > 0   0   0 ; P > 0

cựng dương, + + S > 0 P > 0   0   0 ; P > 0 ; S > 0

cựng õm   S < 0 P > 0   0   0 ; P > 0 ; S < 0.

A/ PHẦN PHÂN DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm

Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm là  b2 4ac  0 hoặc

c0

Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phơng pháp: Bớc 1: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm của ph ơng trình bậc hai X2

-SX + P = 0 Bớc 2: Giải phơng trình X2 - SX + P = 0 Bớc 3: Kết luận

Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

Dạng 4: Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

thuộc tham số mDạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trớc

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

Phơng trình quy về phơng trình bậc nhất (bậc hai)

1 Phơng trình chứa ẩn ở mẫu số:

Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa

Bớc 2: Qui đồng mẫu số để đa về phơng trình bậc nhất (bậc hai)Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên

Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm

2 Phơng trình chứa dấu trị tuyệt đối:

Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa

Bớc 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đa về phơng trình bậc nhất (bậc hai)Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên

Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm

Bíc 4: So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vµ t×m nghiÖm x

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1; 2

Ví dụ : Cho x 1 3; x 2 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Theo hệ thức VI-ÉT ta có

1 2

56

x  2 m 1 x m 4     0

(x là ẩn )a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu

b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

c) Chứng minh biểu thức M =x 1 x 1  2 x 1 x 2  1

không phụ thuộc vào m

Bài 4: Tìm m để phơng trình

a) x2− x +2 (m− 1)=0 có hai nghiệm dơng phân biệt

2 Lập phương trỡnh bậc hai cú hai nghiệm thoả món biểu thức chứa hai nghiệm của một

phương trỡnh cho trước:

c)  2  2  

có hai nghiệm trái dấuBài 5: Cho phơng trình : x 2  a 1 x a    2   a 2  0

a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a

b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 Tìm giá trị của a để

2

x = - x =

1 3;

1 Lập phương trỡnh bậc hai khi biết hai nghiệm x x1; 2

Vớ dụ : Cho x 1 3; x 2 2 lập một phương trỡnh bậc hai chứa hai nghiệm trờn

Theo hệ thức VI-ẫT ta cú

1 2

56

4 Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức nghiệm

Đối cỏc bài toỏn dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm

đó cho về biểu thức cú chứa tổng nghiệm S và tớch nghiệm P để ỏp dụng hệ thức

VI-ẫT rổi tớnh giỏ trị của biểu thức

3 Tỡm hai số khi biết tổng và tớch của chung

Nếu hai số cú Tổng bằng S và Tớch bằng P thỡ hai số đú là hai nghiệm của phương trỡnh :x2 Sx P 0(điều kiện để cú hai số đú là S2  4P  0 )

Vỡ a + b =  3 và ab =  4 n ờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : x23x 4 0

giải phương trỡnh trờn ta được x 1 1 và x 2 4

Vậy nếu a = 1 thỡ b =  4

nếu a =  4 thỡ b = 1

x x

+

g)

1 2

1

x x

+

vµ

2 1

1

x x

1

x x

+

vµ

2 1

1

x x

+

j) 2

12

x +

vµ 1

12

x +

2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một

phương trình cho trước:

Bài tập áp dụng

a) T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 27, tÝch cña chóng b»ng 180

b) T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 1, tÝch cña chóng b»ng 5

c) T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 33 , tÝch cña chóng b»ng 270

d) T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 4, tÝch cña chóng b»ng 50

e) T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 6 , tÝch cña chóng b»ng -315

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x2 8x15 0 Không giải phương trình, hãy tính

4 Tính giá trị các biểu thức nghiệm

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm

đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức

VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

3 Tìm hai số khi biết tổng và tích của chung

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :x2 Sx P 0(điều kiện để có hai số đó là S2  4P  0 )

Vì a + b =  3 và ab =  4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x23x 4 0

giải phương trình trên ta được x 1 1 và x 2 4

Vậy nếu a = 1 thì b =  4

nếu a =  4 thì b = 1