b Lớp 9T có 30 bạn, mỗi bạn dự định đóng góp mỗi tháng 7000 đồng và sau 3 tháng sẽ đủ tiền mua tặng cho mỗi em ở “Mái ấm tình thương X” ba gói quà giá tiền các món quà đều như nhau.. Khi[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2017-2018 MÔN THI: TOÁN (không chuyên)
(Thời gian 120 phút không kể thời gian phát đề)
Ngày thi 27/5/2017
Bài 1: (1,0 điểm) Biết a và b là các số dương, a b và
ab
1 2
ab S
a b
Bài 2: (2,0 điểm)
Bài 3: (2,0 điểm) Cho phương trình xm25xm 6 0 1
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x với mọi sồ 1; 2 thực m Tính S x1m2 x2 m2 5x1x2 2m
b) Biết x1 x , tìm m sao cho 2 x2 1 và 2
1 2 2 2 1
Bài 4: (2,0 điểm)
a) Nam kể với Bình rằng ông của Nam có một mảnh đất hình vuông ABCD được chia thành bốn phần: hai phần (gồm các hình vuông AMIQ và INCP với M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA) để trồng các loại rau sạch, các phần còn lại trồng hoa Diện tích trồng rau sạch là 1200 m2 và phần để trồng hoa là 1300 m2 Bình nói: “Chắc chắn bạn bị nhầm rồi !” Nam: “Bạn nhanh thật ! Mình đã nói nhầm phần diện tích Chính xác là phần trồng rau sạch có diện tích 1300 m2, còn lại 1200 m2 trồng hoa” Hãy tính cạnh hình vuông AMIQ (biết AM < MB) và giải thích vì sao Bình lại biết Nam nhầm ?
b) Lớp 9T có 30 bạn, mỗi bạn dự định đóng góp mỗi tháng 7000 đồng và sau 3 tháng sẽ đủ tiền mua tặng cho mỗi em ở “Mái ấm tình thương X” ba gói quà (giá tiền các món quà đều như nhau) Khi các bạn đóng đủ số tiền như dự trù thì “Mái ấm tình thương X” đã nhận chăm sóc thêm 9 em nữa và có giá tiền của mỗi món thêm 5% nên chỉ tặng mỗi em hai gói quà Hỏi có bao nhiêu em của “Mái ấm tình thương X” được nhận quà ?
Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T) tâm O, bán kính R;
P
a) Tính AC theo R Tính số đo HPN và MP
MN
b) Dựng đường kính AD HD cắt (T) tại E (E D) và cắt BC tại F Chứng minh các điểm A, N, H, P, E cùng thuộc một đường tròn và F là trung điểm của HD
c) Chứng minh AD NP Tia OF cắt (T) tại I, chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC và AI đi qua trung điểm của MP
Trang 2SƠ LƯỢC BÀI GIẢI Bài 1: (1,0 điểm) Biết a và b là các số dương, a b và
ab
3
3
ab
b a b a
2
2
1
1
S
a a
Bài 2: (2,0 điểm) a) (ĐK: x 2)
2
5
+) x 2 x 4 0 x 2 x 4 x 4
6
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 5;6
b) (ĐK: x0;x2y0)
0
x
+)
2
0 0
6
x x
+)
nhan
loai
Vậy hệ phương trình có một nghiệm là x y ; 7;1
Trang 3Bài 3: (2,0 điểm) a) 1 3 2 0 3
2
Vì 3 m 2 m m Vậy (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 với mọi sồ thực m Vai trò x x1; 2 trong S là như nhau, do đó:
b) Vì x1 x2 x1 2 m x; 2 3 m và x2 1 3 m 1 m2
6
Vậy m = 6
Bài 4: (2,0 điểm)
a) Gọi a, b (m) lần lượt là độ dài cạnh hình vuông AMIQ, INCP (b > a > 0)
Khi đó: Diện tích trồng rau sạch là 2 2 2
a b m ; Diện tích trồng hoa là 2
2ab m
Vậy cạnh hình vuông AMIQ là 20 m
Vì a2 b2 2ab; tức là diện tích trồng hoa không lớn hơn diện tích trồng rau Do đó Bình biết Nam nhầm khi nói diện tích trồng hoa là 1300 m2, còn diện tích trồng rau là 1200 m2 b) Gọi x là số em của “Mái ấm tình thương X” lúc đầu (xnguyên dương)
Tổng số tiền lớp 9T góp sau 3 tháng là: 30 7000 3 = 630000 (đồng)
Giá tiền một gói quà theo dự định là 630000 210000
3x x (đồng)
Giá tiền một gói quà thực tế là:
630000 315000
2 x 9 x 9 (đồng)
Vậy có 21 + 9 = 30 em được nhận quà
Bài 5: (3,0 điểm)
a) Tính AC theo R Tính số đo HPN và MP
MN
AOC ABC (góc nội tiếp và góc ở tâm); OA = OC = R
Vậy AOC vuông cân tại O AC OA 2 R 2
90
BNC BPC (do H là trực tâm ABC) nên tứ giác BCPN nội tiếp 0
75
HPN CBN
90
45
90
ANH APH nên tứ giác ANHP nội tiếp ANP AHP
90
45
Trang 4Do đó
90
AMC APC nên tứ giác
15
Tứ giác ANHP; CMNH nội tiếp
15
Từ a), b) suy ra MNP là nửa tam giác đều cạnh
MP MP 2
MN
b) Chứng minh các điểm A, N, H, P, E cùng
thuộc một đường tròn và F là trung điểm của
HD
90
90
AEH
90
AED ) Nên các điểm A, N, H, P, E cùng
thuộc một đường tròn
90
ABD ACD (góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn)
hay BD AB, CD AC mà CH AB, BH AC (H là trực tâm ABC)
BD // CH, CD // BH Vậy tứ giác BDCH là hình bình hành, nên BC và DH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường F là trung điểm của HD
c) Chứng minh AD NP Tia OF cắt (T) tại I, chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC và AI đi qua trung điểm của MP
45
CAD (AOC vuông cân tại O), 0
45
CNM (cmt) AD // MN mà MN NP (cmt)
Do đó AD NP
120 60
BOI, COI: OB = OI = OC (bán kính); 0
60
BOI COI nên BOI, COI là các tam giác đều IB = IO = IC I là tâm đường tròn ngoại tiếp BOC (1)
120
60
BHC BDC (tứ giác BDCH là hình bình hành)
Từ 1) và 2) suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC
BPC CBP nên BPC vuông cân tại P PB = PC; tức P thuộc trung trực
BC, mà IF là trung trực BC (F là trung điểm BC và FI BC)
PI BC mà AM BC PI // AM (3)
Theo chứng minh trên ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BOCH
BIH BCH và IB = IH nên BIH vuông cân tại I 0
45
90
45
45
IMC CBP IM // PA (4)
Từ 3), 4) suy ra tứ giác AMIP là hình bình hành AI đi qua trung điểm của MP
I
F E
D
M
N P
H
B C
O
A