BAI TAP VE DA THUC

Tìm năm chữ số cuối cùng của số D.. Tìm bảy chữ số đầu tiên của số D.[r]

Trang 1

BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC

Bài 1: Cho đa thức: P(x) = x 5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

Cho biết: P(1) = 2; P(2) = 11; P(3) = 26; P(4) = 47; P(5) = 74;

a) Tính P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) ; P(10) ;

b) Viết lại đa thức P(x) với các hệ số là các số nguyên

a) Tính P(6) = 227 ; P(7) = 886; P(8) = 2711 ; P(9) = 692;

P(10) = 15419 ;

b) Viết đúng đa thức

P(x) = x5 - 15x4 + 85x3 - 222x2 + 274x - 121

Bài 2 Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.

Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007

Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45

Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9,

21, 33, 45

HD :

Tính giá trị của P(x) tại x = 1, 2, 3, 4 ta được kết quả là :



















 Lấy hai vế của phương trình (1) lần lượt nhân với 2, 3, 4 rồi trừ lần lượt vế đối vế với

phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta được hệ phương trình bậc nhất 3

ẩn :

-14a+6b-2c=2034

-78a+24b+6c=4248

-252a+60b-12c=7032











Tính trên máy được a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 và d = 4211

Ta có P(x)=x5 – 93,5x4 + 870x3 -2972,5x2+ 4211x – 2007

Q(1,15) = 66,15927281  66,16

Q(1,25) = 86,21777344  86,22

Q(1,35) = 94,91819906  94,92

Q(1,45) = 94,66489969  94,66

Bài 3 a) Tìm đa thức bậc ba P(x), biết rằng khi chia đa thức P(x) cho x – 1; cho x – 2; cho x

– 3 đều dư 6 và P(– 1) = – 18

b) Cho đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thỏa mãn điều kiện P(1) = 3,

P(3) = 11, P(5) = 27 Tính P(– 2) + 7P(6)

Bài 4: a) Tìm số có 4 chữ số abcd thỏa mãn: 665(abcd +ab +ad +cd +1) = 738(bcd +b+ d)

b) Xác định a, b, c để: f(x) = x4+ax2+bx+c chia hết cho g(x) = (x - 1)(x – 2)(x – 3)

Trang 2

a) Từ giả thiết ta suy ra:

1

9

9 8

a b c d

     thoã mãn là các chữ số

1, 0

0,5 b) Vì f(x) = x4+ax2+bx+c chia hết cho g(x) = (x - 1)(x – 2)(x – 3)

Cho x= 1; 2 ; 3 ta được hệ :

1

a b c

  









0,5

Đáp số: a)abcd = 1998 b) a =-25 ; b =60 ; c = -36

Bài 5: cho đa thức.

P x x x x x 35x

32 63

82 30

13 21

1 630

1 )











a, Tính giá trị của đa thức khi : x=-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4

b, Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên

HD: a, Khi x = - 4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 thì

P(x) = 0 (tính trên máy)

b, Do 630 = 2.5.7.9 và x = - 4 ; - 3 ; 3 ; 4 là n0 của đa thức P(x) nên

P(x) = 2.5.7.9

1

(x - 4) (x - 3) (x - 1) x (x + 1) (x + 2) (x +3) (x + 4)

Vì giữa 9 số nguyên liên tiếp thế nào củng tìm được các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với 

x z thì tích (x - 4) (x - 3) (x +3) ( x + 4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố

cùng nhau ) chúng tỏ P(x) là số nguyên tố với  xz

Bài 6: Cho đa thức x3 + x2 - 11x + m = P(x)

a, Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x=-2, khi m = 2007

b, Tìm m để P(x) chia hết cho x-2

HD a, Khi m = 2007, ta có P(x) = x3 + x2 - 11x + 2007 số chỉ của phép chia đa thức

P(x) cho x - 2 là P(x)

Bấm máy: 2 Shift STO A alpha A x3 + Alpha A x2 - 11 x

alpha A + 2007 =

Kết quả:1997

b, P(x) chia hết cho x - 2  P(2) = 0  m = - (x3 + x2 - 11x) với x =2

Bấm máy : 2 Shift STO A (-) ( alpha A x3 + alpha A x2

- 11 alpha A =

Kết quả: m = 10 (2,5 điểm)

Bài 8: Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d biết P(1) = 27 ; P(2) = 125 ; P(3) = 343

a) Tính P(-1) ; P(6) ; P(15) ; P(2006) (lấy kết quả chính xác)

b) Tìm số dư của phép chia P(x) cho 3x – 5

P(-1) = ……… ; P(6) = ………… ; P(15) = ……… ; P(2006) = ………

Số dư của phép chia P(x) cho 3x – 5 là : r = ………

Trang 3

Bài 9: Cho biểu thức: P(x) = 2 2 2 2 2

x x x  x x  x x  x x  x

a) Tính giá trị của P(

29 5 2



); P(

1

2009) b) Tìm x biết P(x) =

5 4046126

Bài 10: Biết rằng (2 + x + 2x3)15 = a0 +a1x + a2x2 + a3x3 + … + a45x45

Tính S1 = a1 +a2 +a3 + … + a45 ; S2 = a0 +a2 +a4 + … + a44

Đặt P(x)= đa thức đã choCó S1 = P(1) = 515 5 514 ;

có 514  6103515625 ; 515625.5 = 2578125

6130.5.106= 30515000000

Cộng lại ta có S1 = 30517578125

15

1 (1) ( 1) 15258789063

2 P  P  

Bài 11 Cho đa thức: P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

Biết P(1) = 3; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33; P(5) = 51

1 Tính các hệ số a, b, c, d, e

2 Tính chính xác P(2010)

Bài 12: Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx +2043

biết p(1) = 5 ; p(2) = 7; P(3) =9; p(4)=11 Tính p(10); p(11); p(12); p(13)

Bµi 13:

a) Cho đa thức P(x)= 5x4+4x3-3x2+2x+1) Tính P(1,234)

b) Cho đa thức P(x) = x5a x. 4bx3cx2dx e

Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P( 4) = 33, P(5) = 51 Tính giá trị P(6), P(7), P(8), P(9), P(10)

HD a) Cho đa thức P(x)= 5x4+4x3-3x2+2x+1) Tính P(1,234)

ĐS; P(1,234)=18,00998479

b) Đặt Q(x) = 2x 2 1 Khi đ ó Q(1) =3, Q(2) = 9 ; Q(3) = 19; Q( 4) = 33; Q( 5) = 51 Vậy R(x) = P(x) – Q(x) c ó 5 nghi ệm 1; 2; 3; 4; 5

V ậy P(x) = Q(x) + ( x – 1) ( x- 2) (x – 3) ( x- 4)( x- 5)

= 2x 2 1 + ( x – 1) ( x- 2) (x – 3) ( x- 4)( x- 5)

P(6) = 193 ; P(7)= 819; P(8) = 2649; P(9)= 6883 ; P(10)= 15321

Bài 12:

a)Cho đa thức P(x)=x5+ax4+bx3+cx2+dx+f

Cho biết P(1) =1;P(2)=4 ;P(4)=9;P(5)=25

Tính P(6); P(7); P(8) ;P(9)

b)Giải hệ phương trình

¿

x + y +z +t=14 x+ y − z −t=− 4

x − y − z+t=0

x − y − z −t=4

¿{ { {

¿ Bài 6:(5 điểm)

Cho đa thức A=x4-6x3+27x2-54x+32

a)Phân tích đa thức A thành nhân tử

Trang 4

b)Chứng tỏ A luôn là số chẳn ,với xZ

5 a)Phân tích P(1)=12 ;P(2)=22 ;P(3)=32 ;P(5)=52

Suy ra P(1)-12 =P(2)-22 =P(3)-32 =P(4)-42 =P(5)-52

Đặt Q(x)=P(x)-x2 suy ra P(x)=Q(x)+x2

P(6)=Q(6)-62=156

P(7)=769

P(8)=2584

P(9)=6801

b)x=2 ; y=3 ;z=4 ;t=5

a)A=(x-1)(x-2)(x2-3x+16)

b)(x-1)(x-2) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2

nên A là số chẳn

a)a(1+m%)n

b)11003386,94 đồng

b) Cho số D = 20122010

b1 Tìm năm chữ số cuối cùng của số D

b2 Tìm bảy chữ số đầu tiên của số D

b2) Bảy chữ số đầu tiên của số 20122010

là 1959893

Bài 5 (4 điểm)

Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) =

ax3 + bx2 + cx –

2007 để sao cho P(x) chia cho (x – 16) có số dư là 29938 và chia cho (x2 – 10x + 21) có biểu thức số dư là

10873

3750

16 x  (Kết quả lấy chính xác)

a = 7 b = 13 c =

55 16



Bài 2: (5 điểm) Cho đa thức g x( ) 8 x318x2 x 6

a) Tỡm cỏc nghiệm của đa thức g x( )

b) Tỡm cỏc hệ số a b c, , của đa thức bậc ba f x( )x3ax2bx c , biết rằng khi chia

đa thức f x( ) cho đa thức g x( ) thỡ được đa thức dư là r x( ) 8 x24x5

c) Tớnh chớnh xỏc giỏ trị của f(2008)

Theo giả thiết ta có: f x( )q g x ( ) 8 x24x5, suy ra:

a) Tìm phần dư R(x) khi chia đa thức x2010 6x11212 cho 2011x2 –

2011

Giả sử f(x) = x2010 6x11212= (2011x2 – 2011).Q(x) +R(x)

= 2011(x – 1)(x + 1).Q(x) + ax + b ( vì đa thức chia có bậc

2)

Ta có : f(1) = a + b = 12010 – 6.111 + 212 = 4091

f(-1) = - a + b = (-1)2010 – 6.(-1)11 + 212 = 4103

 a = - 6 ; b = 4097

Vậy đa thức dư trong phép chia x2010  6x11212cho 2011x2 – 2011

Trang 5

1 1 1 1 1





Giải hệ phương trình ta được:

a b c

Cách giải: Nhập biểu thức

X  X  X 

, bấm phím CALC và nhập số 2008

= ta được số hiện ra trên màn hình: 8119577169. Ấn phím  nhập 8119577169 = được

0.25

 Suy ra giá trị chính xác: f(2008) 8119577168.75

Bài 4: (5điểm) cho đa thức.