SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm có 1 trang.. Chứng minh hàm số * luôn đồng biến trên R với mọi m..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011
Môn : TOÁN – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 1 trang) Ngày thi : 18/02/2011 Câu 1: (2,0 điểm ) Rút gọn A 127 48 7 127 48 7 Câu 2:(2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (3m2 – 7m +5) x – 2011 (*) Chứng minh hàm số (*) luôn đồng biến trên R với mọi m Câu 3:( 2,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Trên đường thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B Từ M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O’) (T là tiếp điểm) Chứng minh MC.MD = MT2 Câu 4: (2,0 điểm ) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y – 1 = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3x2 + y2 Câu 5: (1,5 điểm) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 22 + … + 22011 chia hết cho 15 Câu 6: (1,5 điểm ) Phân tích đa thức x3 – x2 – 14x + 24 thành nhân tử Câu 7: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình 2 x y z 2 2xy z 4 Câu 8: (1,5 điểm ) Chứng minh D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không phải là số chính phương với mọi n N * Câu 9: (1,5 điểm ) Cho hai số dương a và b Chứng minh 1 1 4 a b a b Câu 10:(1,5 điểm ) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x2 – xy – y2 – 8 = 0 Câu 11: (1,5 điểm ) Cho hình thang vuông ABCD (A D 90 0) , có DC = 2AB Kẻ DH vuông góc với AC (HAC), gọi N là trung điểm của CH Chứng minh BN vuông góc với DN Câu 12: (1,5 điểm) Cho tam giác MNP cân tại M ( M 90 0) Gọi D là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác MNP Biết DM =2 5 cm , DN = 3 cm Tính độ dài đoạn MN -
HẾT -Họ và tên thí sinh :……… Số báo danh : ………
Giám thị 1 :……… Ký tên : ………
Giám thị 2 :……… Ký tên : ………
Trang 2(Thí sinh không được sử dụng máy tính )
Trang 3SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN – THCS Ngày thi 18/02/2011
Câu 1
(2 điểm ) A 127 48 7 127 48 7
= (8 3 7) 2 (8 3 7) 2 = | 8 3 7 | | 8 3 7 |
8 3 7 8 3 7 (8>3 7)
6 7
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 2
(2 điểm )
3m2 – 7m + 5 = 3
2 7 5
2
2
3 m
Vây f(x) đồng biến trên R với mọi m
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm Câu 3
(2 điểm)
Chứng minh MC MD = MA MB Chứng minh MT2 = MA MB Suy ra MC.MD = MT2
0,75 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm Câu 4
(2 điểm ) 3x + y – 1 = 0
y = 1 – 3x
2
2
2
12 x
12 x
Vây GTNN của B là
khi x = và y =
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm
Trang 4Câu 5
(1,5 điểm ) C = 1 + 2 + 2
2 + … + 22011 = (1 + 2 + 22 + 23 ) + (24 + 25 + 26 + 27 ) + …+ ( 22008 + 22009 +22010 + 22011) = (1 + 2 + 22 + 23 )+ 24 (1 + 2 + 22 + 23 )+ …+22008(1 + 2 + 22 + 23 ) = 15 ( 1 + 24 + …+ 22008 ) chia hết cho 15
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 6
(1,5 điểm )
x3 – x2 – 14x +24 = x3 + 4x2 – 5x2 – 20x + 6x + 24 = (x + 4) (x2 – 5x + 6 )
= (x + 4) (x – 2) (x – 3)
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 7
(1,5 điểm )
2
z 2 x y
x y 2
0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm
Câu 8
(1,5 điểm )
D = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2 ) = (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n)
(n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n) +1
(n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n +1)2 Nên D không phải là số chính phương vì (n2 + 3n)2 và (n2 + 3n +1)2 là 2 số chính phương liên tiếp
0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm Câu 9
(1,5 điểm ) Ta có (a – b)
2 0
2 2 2
( vì (a+b)ab >0 )
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b ( thiếu câu này không trừ điểm)
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 10
(1,5 điểm) 2x
2 – xy – y2 – 8 = 0
(2x + y) (x – y) = 8
2x y 8
x y 1
hoặc
2x y 4
x y 2
x 3
y 2
hoặc
x 2
y 0
0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm Câu 11
(1,5 điểm )
Gọi M là trung điểm của DH Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành AM // BN(1) Chứng minh MN AD
Suy ra M là trực tâm của ADN AMDN(2)
Từ (1) và (2) BNDN
0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
Trang 5Câu 12
(1,5 điểm )
Qua M kẻ tia Mx vuông góc với MN cắt ND tại E , kẻ MFND
Chứng minh D 1E MD ME 2 5 cm và EF =DF
ME2 = EF EN = EF (2EF + DN ) 2
2
(EF 4)(2EF 5) 0
EF 2,5 (vì EF >0)
MN 2 11
cm
0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm (Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng , giám khảo dựa theo biểu điểm để cho điểm tương ứng )