Tứ giác OIGC nội tiếp tứ giác có 2 đỉnh C, O cùng nhìn cạnh GI dưới một góc bằng nhau.. 9 vì OI ¿ CD Điểm G và I thuộc đường tròn đường kính OC ∆CIG thuộc đường tròn đường kính OC.[r]
Trang 1Đ S 1: Đ THI TH TUY N SINH L P 10 TPHCM Ề Ố Ề Ử Ể Ớ
TR ƯỜ NG THCS L ƯƠ NG TH VINH, QU N 1, NĂM 2016-2017 Ế Ậ
Câu 1: Gi i các phả ương trình và h phệ ương trình sau:
a) ( x−3)2−7x=2x ( x+3) −33
b) 5x2−2 √ 10x+2=0
c) x4−2x2−8=0
d) {3x−5y=−3 (1+ y) 2 ( x+1)=−3y
Câu 2:
a) Vẽ đ th (P) c a hàm s ồ ị ủ ố y=−1
4x
2
và đường th ng ẳ (D):y=1
2x−2
b) Tìm t a đ các giao đi m c a (P) và (D) câu trên b ng phép tínhọ ộ ể ủ ở ằ
Câu 3: Thu g n bi u th c: ọ ể ứ
A= √ √ 10−3− √ 2− √ √ 10+3
√ 2 + √ √ 10−1
Câu 4: Cho phương trình: x2− ( 2m−1 ) x+m2+ m−3=0 (1) (x là n s ) ẩ ố
a) Đ nh m đ phị ể ương trình (1) có hai nghi m phân bi t ệ ệ x1, x2
b) Đ nh m đ : ị ể x1(x1−1)+x2(x2−1)=18
Câu 5: Cho đường tròn (O; R) và đi m M n m ngoài (O) Vẽ 2 ti p tuy n MA, MB và cát tuy n MCD c a ể ằ ế ế ế ủ
(O) (A, B là ti p đi m, C n m gi a M và D; A và C n m khác phía đ i v i đế ể ằ ữ ằ ố ớ ường th ng MO) G i I làẳ ọ trung đi m CD ể
a) Ch ng minh: MBứ 2 = MC.MD
b) Ch ng minh: t giác AOIB n i ti pứ ứ ộ ế
c) Tia BI c t (O) t i J Ch ng minh: ADắ ạ ứ 2 = AJ.MD
d) Đường th ng qua I song song v i DB c t AB t i K, tia CK c t OB t i G Tính bán kính đẳ ớ ắ ạ ắ ạ ường tròn ngo i ti p ∆CIG theo Rạ ế
Câu 6: Hàng tháng m t ngộ ườ ửi g i vào ngân hàng 5.000.000đ v i lãi su t 0,6%/tháng H i sau 15 tháng ớ ấ ỏ
người đó nh n đậ ượ ố ềc s ti n c g c l n lãi là bao nhiêu? Bi t r ng hàng tháng ngả ố ẫ ế ằ ười đó không rút lãi ra
Trang 2BÀI GI I Ả
Câu 1: Gi i các phả ương trình và h phệ ương trình sau:
a) ( x−3)2−7x=2x ( x+3) −33 (1)
Gi i: ả
( 1 ) ⇔ x2−6x+9−7x=2x2+ 6x−33
⇔ x2−6x+9−7x−2x2−6x+33=0
⇔− x2−19x +42=0
Ta có Δ=( −19 )2−4 ( −1 ) 42=361+168=529>0; √ Δ= √ 529=23
Do Δ>0 nên phương trình (1) có hai nghi m phân bi t:ệ ệ
x1=19+23
2.(−1)=−21; x2=19−23
2.(−1)=2
V y t p nghi m c a phậ ậ ệ ủ ương trình (1) là: S= { − 21; 2 }
b) 5x2−2 √ 10x+2=0 (2)
Gi i: ả
Ta có Δ'= ( − √ 10 )2−5.2=10−10=0
Do Δ'=0 nên phương trình (2) có nghi m kép: ệ
x1= x2=− b'
a =−
− √ 10
5 = √
10 5
V y t p nghi m c a phậ ậ ệ ủ ương trình (2) là: S= { √ 10
5 }
c) x4−2x2−8=0 (3)
Gi i: ả
Đ t ặ t=x2 (t≥0 )
Phương trình (3) tr thành: ở t2−2 t−8=0 (*)
Δ'=( −1 )2−1 ( −8 ) =1+8=9>0; √ Δ'= √ 9=3
Do ∆’ > 0 nên phương trình (*) có 2 nghi m phân bi t:ệ ệ
t1=1+3
1 =4 (nh n); ậ t2=1−3
1 =−2 (lo i) ạ
V i ớ t1=4 thì x2=4 ⇔ x=±2
V y phậ ương trình (3) có t p nghi m là ậ ệ S= { −2; 2 }
d) {3x−5y=−3 (1+ y) 2 ( x+1)=−3y (4)
Gi i: ả
(4)⇔{2x +2=−3y
3x−5y=−3−3y(4)⇔{2x+3y =−2
3x−2y=−3(4)⇔{4x+6y=−4
9x−6y=−9(4)⇔{13x=−133x−2y=−3
⇔ { −3−2y=−3 x=−1 ⇔ { x=−1 y=0
V y h phậ ệ ương trình (4) có nghi m là ệ ( x; y ) = ( −1; 0 )
Câu 2:
Trang 3a) Vẽ đ th (P) c a hàm s ồ ị ủ ố y=−1
4x
2
và đường th ng ẳ (D):y=1
2x−2
Gi i: ả
B ng giá trả ị
y=−1
4 x
y=1
2x−2 −2 0
Vẽ đ thồ ị
b) Tìm t a đ các giao đi m c a (P) và (D) câu trên b ng phép tínhọ ộ ể ủ ở ằ
Gi i: ả
Phương trình hoành đ giao đi m c a (P) và (D) là: ộ ể ủ
− 1
4 x
2
= 1
2 x−2
⇔ − x2
2x
4 −
8 4
⇔− x2=2x−8
⇔ x2+2x−8=0 ( 5 )
Ta có Δ'=12−1.(−8)=1+8=9>0; √ Δ'= √ 9=3
Do Δ'>0 nên phương trình (5) có hai nghi m phân bi t:ệ ệ
Trang 41 =2; x2=−1−3
1 =−4
+ V i ớ x1=2 ta có y1=−1
4.2
2
=−1
4.4=−1
+ V i ớ x2=−4 ta có y2=−1
4.(−4)
2
=−1
4 16=−4
V y t a đ giao đi m c a (P) và (D) là: ậ ọ ộ ể ủ A ( 2; −1 ) , B ( −4; −4 )
Câu 3: Thu g n bi u th c: ọ ể ứ
A= √ √ 10−3− √ 2− √ √ 10+3
√ 2 + √ √ 10−1
Gi i: ả
Ta có A= √ √ 10−3− √ 2− √ √ 10+3
√ 2 + √ √ 10−1
= √ √ 10−3
√ 2
√ 2 −
√ √ 10+3
√ 2 + √ √ 10−1
= √ √ 10−3
2 −1− √ √ 10+3
2 + √ √ 10−1
= √ √ 10
3 −
3
2 − √ √ 10
2 +
3
2 + √ √ 10−1−1
=− ( √ √ 10
2 +
3
2 − √ √ 10
3 −
3
2 ) + √ √ 10−1−1
Đ t ặ T = √ √ 10
2 +
3
2 − √ √ 10
3 −
3
2 (T > 0)
⇒ T2= ( √ 2 10 +
3
2 ) −2 √ √ 10
2 +
3
2 . √ √ 10
2 −
3
2 + ( √ 10 2 −
3
2 )
= √ 10−2 √ ( √ 2 10 +
3
2 )( √ 2 10 −
3
2 )
= √ 10−2 √ 10 4 −
9
4 = √ 10−2 √ 1 4 = √ 10−1
⇒ T= √ √ 10−1 (vì T > 0)
Thay T vào bi u th c A, ta để ứ ược:
A=− √ √ 10−1+ √ √ 10−1−1=−1
V y ậ A=−1
Câu 4: Cho phương trình: x2− ( 2m−1 ) x+m2+ m−3=0 (1) (x là n s ) ẩ ố
a) Đ nh m đ phị ể ương trình (1) có hai nghi m phân bi t ệ ệ x1, x2
Gi i: ả
Ta có Δ=[−(2m−1 )]2−4 1 (m2
+m−3)=4m2−4m+1−4m2
−4m+12=−8m+13
Đ phể ương trình (1) có hai nghi m phân bi t ệ ệ x1, x2
Trang 5⇔Δ>0 ⇔−8m+13>0 ⇔−8m>−13 ⇔m<13
8
V y ậ m<13
8 thì phương trình (1) có hai nghi m phân bi t ệ ệ x1, x2
b) Đ nh m đ : ị ể x1(x1−1)+x2(x2−1)=18
Gi i: ả
Theo câu a, v i ớ m<13
8 thì phương trình (1) có 2 nghi m phân bi t xệ ệ 1, x2 th a h th c Vi-ét: ỏ ệ ứ
{S=x1+x2=−b
a=−
−(2m−1)
P=x1x2=c
a=
m2 +m−3
2 +m−3
Ta có x1(x1−1)+x2(x2−1)=18
(gt)
⇔x12−x1+x22−x2−18=0
⇔(x12+x22
)−(x1+x2)−18=0
⇔(x1+x2)2−2x1x2−(x1+x2)−18=0
⇔(2m−1 )2−2 ( m2+ m−3 ) −(2m −1)−18=0 (do h th c Vi-ét)ệ ứ
⇔ 4m2−4m+1−2m2−2m+6−2m+1−18=0
⇔2m2−8m−10=0 ( 6 )
Ta có a−b+c=2−( −8 ) + ( −10 ) =0 nên phương trình (6) có hai nghi m: ệ
m1=−1 (nh n); ậ m2=−c
a=−
−10
2 =5 (lo i)ạ
V y ậ m=−1 là giá tr c n tìm ị ầ
Câu 5: Cho đường tròn (O; R) và đi m M n m ngoài (O) Vẽ 2 ti p tuy n MA, MB và cát tuy n MCD c a ể ằ ế ế ế ủ
(O) (A, B là ti p đi m, C n m gi a M và D; A và C n m khác phía đ i v i đế ể ằ ữ ằ ố ớ ường th ng MO) G i I làẳ ọ trung đi m CD ể
a) Ch ng minh: MBứ 2 = MC.MD
Gi i: ả
Trang 6Xét ∆MBC và ∆MDB có:
^M1 : chung
^B1= ^D1 (h qu góc t o b i ti p tuy n và dây cung)ệ ả ạ ở ế ế
⇒ ∆MBC ∆MDB (g.g) ∽
⇒MB
MD=
MC
MB ⇔MB
2=MC MD
b) Ch ng minh: t giác AOIB n i ti pứ ứ ộ ế
Gi i: ả
Ta có M ^AO=900 (tính ch t ti p tuy n)ấ ế ế
⇒ Đi m A thu c để ộ ường tròn đường kính MO (1)
Ta có M ^B O=900 (tính ch t ti p tuy n)ấ ế ế
Trang 7⇒ Đi m B thu c để ộ ường tròn đường kính MO (2)
Ta có I là trung đi m c a CD và dây CD không qua tâm O ể ủ
⇒ OI ¿ CD (liên h gi a đệ ữ ường kính và dây cung)
⇒ M ^I O=900
⇒ Đi m I thu c để ộ ường tròn đường kính MO (3)
T (1), (2) và (3) ừ ⇒ 5 đi m M, A, O, I, B cùng thu c để ộ ường tròn đường kính MO
⇒ T giác AOIB n i ti p đứ ộ ế ường tròn đường kính MO
c) Tia BI c t (O) t i J Ch ng minh: ADắ ạ ứ 2 = AJ.MD
Gi i: ả
Xét ∆MAC và ∆MDA có:
^M2 : chung
^A1= ^D2 (h qu góc t o b i ti p tuy n và dây cung)ệ ả ạ ở ế ế
⇒ ∆MAC = ∆MDA (g.g)
⇒ M ^C A=M ^A D (4) (2 góc tương ng) ứ
Ta có A ^DJ=A ^B J (cùng ch n cung AJ c a đắ ủ ường tròn (O))
= A ^M D (5) (cùng ch n cung AI c a đắ ủ ường tròn đường kính MO)
Ta có D ^J A=M ^C A (góc trong b ng góc đ i ngoài c a t giác ACDJ n i ti p đằ ố ủ ứ ộ ế ường tròn (O))
= M ^A D (6) (do (4))
Xét ∆DJA và ∆MAD có:
D ^J A=M ^A D (do (6))
A ^D J=A ^M D (do (5))
⇒ ∆DJA ∆MAD (g.g)∽
⇒AD
MD=
AJ
AD⇔AD
2=AJ MD
d) Đường th ng qua I song song v i DB c t AB t i K, tia CK c t OB t i G Tính bán kính đẳ ớ ắ ạ ắ ạ ường tròn ngo i ti p ∆CIG theo Rạ ế
Gi i: ả
Trang 8Ta có KI//BD (gt)
⇒ C ^I K=C ^D B (2 góc v trí so le trong) ở ị
= C ^A K (7) (cùng ch n cung BC c a đắ ủ ường tròn (O))
Xét t giác ACKI có: ứ C ^I K =C ^A K (do (7))
⇒ T giác ACKI n i ti p (t giác có 2 đ nh A, I cùng nhìn c nh CK dứ ộ ế ứ ỉ ạ ưới m t góc b ng nhau) ộ ằ
⇒ I ^C G=I ^A K (cùng ch n cung IK)ắ
= I ^O G (8) (cùng ch n cung IB c a t giác AOIB n i ti p)ắ ủ ứ ộ ế
Xét t giác OIGC có: ứ I ^C G=I ^OG (do (8))
⇒ T giác OIGC n i ti p (t giác có 2 đ nh C, O cùng nhìn c nh GI dứ ộ ế ứ ỉ ạ ưới m t góc b ng nhau)ộ ằ
⇒ O ^GC=O ^I C (cùng ch n cung OC)ắ
=900 (9) (vì OI ¿ CD)
⇒ Đi m G và I thu c để ộ ường tròn đường kính OC
⇒ ∆CIG thu c độ ường tròn đường kính OC
⇒ Bán kính đường tròn ngo i ti p ∆CIG là: ạ ế
OC
2 =
R
2
Câu 6: Hàng tháng m t ngộ ườ ửi g i vào ngân hàng 5.000.000đ v i lãi su t 0,6%/tháng H i sau 15 tháng ớ ấ ỏ
người đó nh n đậ ượ ố ềc s ti n c g c l n lãi là bao nhiêu? Bi t r ng hàng tháng ngả ố ẫ ế ằ ười đó không rút lãi ra
Gi i: ả
S ti n c g c l n lãi sau 15 tháng là: ố ề ả ố ẫ 5000000 ( 1+0,6% )15= 5469400,363đ