a) Một tổ sản xuất được giao phải hoàn thành 130 sản phẩm trong thời gian quy định. Nhờ tăng năng suất nên mỗi ngày tổ làm nhiều hơn 2 sản phẩm so với dự kiến, do đó đã hoàn thành sớm hơ[r]
Trang 1đề thi thử tuyển sinh lớp 10 Năm học 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN (không chuyên)
——————
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
——————
Bài 1 (1 điểm) Cho biểu thức: P = (
√
a − 1)2
3√
a + (√
a − 1)2 − 3 − 2 (
√
a − 1)2
a√
a − 1 +
2
√
a − 1 a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm a để P ≤ 2
Bài 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình: (x + 3)√
10 − x2 = x2− x − 12 b) Giải hệ phương trình: xy + x + y = x2− 2y2
x√ 2y − y√
x − 1 = 2x − 2y Bài 3 (2 điểm) Cho phương trình (m − 4) x2 − 2 (m − 2) x + m − 1 = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 0
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
x1 < 0 < x2 và |x1| > x2 Bài 4 (2 điểm)
a) Một tổ sản xuất được giao phải hoàn thành 130 sản phẩm trong thời gian quy định Nhờ tăng năng suất nên mỗi ngày tổ làm nhiều hơn 2 sản phẩm so với dự kiến, do đó đã hoàn thành sớm hơn thời gian quy định 2 ngày và còn làm thêm được 2 sản phẩm Tính thời gian dự kiến hoàn thành công việc của tổ sản xuất b) Để rèn luyện sức khỏe cho các nhân viên của Star-Education Giám đốc đã quyết định mở một cuộc thi đấu thể thao giữa các nhân viên trong trung tâm ở ba bộ môn bao gồm: cầu lông, tennis, bóng bàn Số lượng đăng kí tham gia thi đấu là
24 nhân viên Trong đó, có 13 người đăng kí cầu lông, 13 người đăng kí tennis,
có 12 người đăng kí bóng bàn Có 5 người đăng kí thi đấu cả cầu lông và bóng bàn Có 6 người đăng kí cả tennis và bóng bàn và có 6 người đăng kí cả cầu lông
và tennis Tính số người chỉ tham gia 1 trong 3 môn cầu lông, tennis, bóng bàn Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC có ∠A = 75◦ và ∠C = 45◦ Gọi D, E, F lần lượt là chân
của 3 đường cao kẻ từ A, B, C và H là trực tâm của 4ABC
a) Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp Xác định tâm O và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác DHEC, biết diện tích tam giác ABC bằng 6 + 2√
3 b) Trên cung nhỏ EC của đường tròn (O) lấy điểm I sao cho IC > IE, DI cắt CE tại N Gọi M là giao điểm của EF với IC Chứng minh rằng tứ giác N IM E nội tiếp, từ đó suy ra M N ⊥CH
c) HM cắt (O) tại K, KN cắt (O) tại G, M N cắt BC tại T Chứng minh rằng 3 điểm H, T , G thẳng hàng
– HẾT –
Star Education
Trang 2đề thi thử tuyển sinh lớp 10 Năm học 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN (không chuyên)
——————
LỜI GIẢI
——————
Bài 1 Điều kiện: a ≥ 0; a 6= 1
a) Ta có:
√
a − 1)2
3√
a + (√
a − 1)2 − 3 − 2 (
√
a − 1)2
a√
a − 1 +
2
√
a − 1
= (
√
a − 1)2
a +√
a + 1− 3 − 2a + 4
√
a − 2 (√
a − 1) (a +√
a + 1) +
2
√
a − 1
= (
√
a − 1)3− 1 + 2a − 4√a + 2a + 2√
a + 2 (√
a − 1) (a +√
a + 1)
= a
√
a − 3a + 3√
a − 1 + 1 + 4a − 2√
a (√
a − 1) (a +√
a + 1)
√
a + a +√
a (√
a − 1) (a +√
a + 1)
=
√ a
√
a − 1 b) Để P ≤ 2 thì:
√ a
√
a − 1 ≤ 2 ⇔
√ a
√
a − 1− 2 ≤ 0 ⇔ 2 −
√ a
√
a − 1 ≤ 0
⇔
2 −√ √a ≤ 0
a − 1 > 0
2 −√ √a ≥ 0
a − 1 < 0
⇔
√a ≥ 2√
a > 1
√a ≤ 2
√
a < 1
⇔ √a ≥ 2√
a < 1 ⇔ a ≥ 4
0 ≤ a < 1
Vậy để P ≤ 2 thì a ≥ 4 hoặc 0 ≤ a < 1 Bài 2 a) Điều kiện: 10 − x2 ≥ 0
Ta có:
(x + 3)√
10 − x2 = x2− x − 2
⇔ (x + 3)√10 − x2 = (x + 3) (x − 4)
⇔ (x + 3) √10 − x2− x + 4 = 0
⇔ x = −3 (nhận)√
10 − x2 = x − 4 (1)
Từ (1) suy ra x − 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4, mà 10 − x2 ≥ 0 nên mâu thuẫn
Vậy S = {−3}
b) Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ 0
xy + x + y = x2− 2y2 (2)
x√ 2y − y√
x − 1 = 2x − 2y (3)
Trang 3(2) ⇔ x2− xy − 2y2 = x + y
⇔ x2+ xy − 2xy − 2y2 = x + y
⇔ (x + y) (x − 2y − 1) = 0
⇔ x + y = 0 (loại vì x ≥ 1; y ≥ 0)
x − 2y − 1 = 0
⇒ x = 2y + 1 Thay x = 2y + 1 vào (3), ta được:
(2y + 1)√
2y − y√
2y = 2 (2y + 1) − 2y
⇔√2y (y + 1) = 2y + 2
⇔ (y + 1) √2y − 2 = 0
⇔ y = −1√ (loại)
2y = 2 ⇒ y = 2 ⇒ x = 5 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (5; 2) Bài 3 a) Khi m = 0, phương trình (1) trở thành:
−4x2+ 4x − 1 = 0 ⇔ (2x − 1)2 = 0 ⇔ x = 1
2 b) Để (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì:
m − 4 6= 0
∆0 > 0 ⇔ m 6= 4
(m − 2)2− (m − 1) (m − 4) > 0
⇔ m 6= 4
m2− 4m + 4 − m2+ 5m − 4 > 0 ⇔ m > 0
m 6= 4
Ta có:
x1 < 0 < x2
|x1| > x2 ⇔
x1 < 0 < x2
x1x2 < 0
−x1 > x2
⇔ x1x2 < 0
x1+ x2 < 0
Theo định lý Viete, ta có:
x1+ x2 = 2(m − 2)
m − 4
x1x2 = m − 1
m − 4
Từ đó suy ra:
2(m − 2)
m − 4 < 0
m − 1
m − 4 < 0
⇔ 2 < m < 4
1 < m < 4 ⇔ 2 < m < 4 Vậy để phương trình (1) thỏa điều kiện đề bài thì 2 < m < 4 Bài 4 a) Gọi x (ngày) là thời gian dự kiến hoàn công việc của tổ sản xuất (x ∈ N, x ≥ 2)
Lượng sản phầm dự kiến làm trong một ngày: 130
x (sản phẩm) Lượng sản phẩm thực tế làm trong một ngày: 132
x − 2 (sản phẩm)
Ta có:
130
x + 2 =
132
x − 2
⇔ 130 (x − 2) + 2x(x − 2) − 132x
Trang 4⇔ 130x − 260 + 2x2− 4x − 132x = 0
⇔ x2− 3x − 130 = 0
⇔ (x − 13)(x + 10) = 0 ⇔ x = 13
x = −10 (loại) Vậy thời gian dự kiến hoàn thành công việc của tổ sản xuất trên là 13 ngày b) Gọi x là số người tham gia cầu lông và tennis nhưng không tham gia bóng bàn
y là số người tham gia cầu lông và bóng bàn nhưng không tham gia tennis
z là số người tham gia bóng bàn và tennis nhưng không tham gia cầu lông
t là số người tham gia cả 3 môn (x, y, z, t ∈ N∗) Theo sơ đồ Venn, ta có:
x + y + z + 2t = 13 + 13 + 12 − 24 = 14
x + y + z + 3t = 5 + 6 + 6 = 17
⇒ t = 3 ⇒ x + y + z = 8 Vậy số người chỉ đăng kí một trong ba môn là: 24−x−y −z −t = 24−8−3 = 13 người
Sơ đồ Venn:
Bài 5 a) Tứ giác DHEC có:∠HDC + ∠HEC = 90◦+ 90◦ = 180◦ nên nội tiếp đường tròn
tâm O với O là trung điểm của HC
Đặt AD = x (x > 0) 4ADC vuông tại D có ∠ACD = 45◦ nên vuông cân ⇒ CD = AD = x
∠BAD = ∠BAC − ∠DAC = 75◦− 45◦ = 30◦ tan BAD = BD
AD ⇒ tan 30◦ = BD
x ⇒ BD = √x
3
⇒ BC = BD + DC = √x
3+ x
⇒ SABC = 1
2AD.BC
⇒ 1
2x
x + √x 3
= 6 + 2√
3
⇔ x2
√
3 + 1
√
3 = 12 + 4
√ 3
⇔ x2 √
3 + 1 = 12√3 + 12
⇔ x2 = 12 ⇔ x = 2√
3 Có: ∠BCH = ∠BAD = 30◦ (cùng phụ với ∠ABC)
cos BCH = CD
CH ⇒ cos 30◦ = 2
√ 3
CH ⇒ CH = 4 Vậy bán kính đương tròn ngoại tiếp tứ giác DHEC bằng 2
b) Ts có: ∠MEC = ∠AEF (đối đỉnh); ∠AEF = ∠ABC (tứ giác BF EC nội tiếp
vì có∠BF C = ∠BEC = 90◦)
Trang 5Lại có: ∠CID = ∠CED (góc nội tiếp cùng chắn cung CD của (O))
∠CED = ∠ABC (tứ giác AEDB nội tiếp vì có ∠AEB = ∠ADB = 90◦)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠MEC = ∠CID ⇒ tứ giác EMIN nội tiếp
⇒ ∠EMN = ∠EIN
Mà ∠EIN = ∠ECD = ∠AF E
Suy ra ∠EMN = ∠AF E ⇒ MN//AB Mà AB⊥CH ⇒ MN ⊥CH
c) Ta có:∠IMN = ∠IEN (vì EMIN nội tiếp); ∠IEN = ∠IDC (góc nội tiếp cung chắn cung IC của (O))
⇒ ∠IMN = ∠IDC ⇒ 4IMN v 4T DN ⇒ NM.NT = NI.ND
Lại có 4N IK v 4NGD ⇒ NI.ND = NK.NG
Từ đó suy ra: N M.N T = N K.N G ⇒ 4N KM v 4NT G
Mặt khác: ∠HM N = ∠HCK (cùng phụ với ∠MHC);
∠HCK = ∠HGK (góc nội tiếp chắn cung HK của (O))
Từ (3) và (4) suy ra: ∠HGK = ∠NGT
Suy ra H, T , G thẳng hàng