Mỗi lần xóa hai số và tha bằng hiệu bình phương của chúng thì số các số không chi hết cho 3 không thay đổi hoặc giảm đi 2 đơn vị với lần ngay trước đó.... Do đó trên bảng luôn có một số [r]
Trang 1Đ CHÍNH TH C Ề CHÍNH THỨC ỨC
UBND HUYỆN NGỌC LẶC
PHÒNG GD&ĐT
KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: TOÁN
Ngày khảo sát: 24/01/2016 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 05 câu, 01 trang
Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P
b) Với điều kiện (*) và x y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 2: (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2
b) Giải phương trình x3 x2 x
1
3
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Cho biểu thức P = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì P là một số chính phương
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x2 + 2y2 - 2xy + x + y = 0
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O, R) và hai đường kính AB, MN Các đường thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tương ứng tại M’ và N’ Gọi P, Q theo thứ tự là các trung điểm M’A và N’A
a) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp
kính OA
c) Giả sử AB cố định, MN thay đổi Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích BPQ theo R
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho 100 số tự nhiên đầu tiên, xóa hai số bất kỳ và thay bằng hiệu bình phương của chúng Quá trình tiếp tục như vậy Hỏi có lúc nào trên bảng gồm toàn số 0 không?
Hết
Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: SBD:
Trang 2H ƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN NG D N CH M MÔN TOÁN ẪN CHẤM MÔN TOÁN ẤM MÔN TOÁN
KH O SÁT Đ I TUY N HSG L P 9 - NĂM H C 2015 - 2016 ẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9 - NĂM HỌC 2015 - 2016 ỘI TUYỂN HSG LỚP 9 - NĂM HỌC 2015 - 2016 ỂN HSG LỚP 9 - NĂM HỌC 2015 - 2016 ỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ỌC 2015 - 2016
Câu 1: a) Ta có:
P=( √x − y
√x + y +√x− y+
( √x− y)2
√ (x+ y)(x− y)−( √x− y)2) x2+y2
√x2−y2 P= √ x− y ( √ x+ y+ 1 √ x− y +
1
√ x + y− √ x− y ) x
2
√ x2− y2
P= √ x− y √ x+ y
y .
x2+ y2
√ x2− y2 V y ậy P=
x2+ y2 y
b) t ừ x= y+1 thay vào ta có: P=
2 y2+2 y+1
y =2+2 y+
1
y
Ta có: P=2+(y +1
y)+y≥2+2√y.1
V y ậy Pmin=5 đ t đ c khi: ạt được khi: ược khi: { y= 1
Câu 2: a)
2
Nhân hai v c a (1) v i 4, nhân 2 v c a (2) v i 3 r i c ng theo v , ta đới 4, nhân 2 vế của (2) với 3 rồi cộng theo vế, ta được: ới 4, nhân 2 vế của (2) với 3 rồi cộng theo vế, ta được: ồi cộng theo vế, ta được: ộng theo vế, ta được: ược khi: c: 4x2 - 8xy - 5y2 = 0 (3)
Vì y = 0 không ph i là nghi m c a (3), chia hai v c a (3) cho yải là nghiệm của (3), chia hai vế của (3) cho y ệm của (3), chia hai vế của (3) cho y 2 ta được khi: c:
2
Đ t t = ặt t =
x
y ta đ c 4tược khi: 2 - 8t - 5 = 0⇔ t =
5
2 ho c t = ặt t =
1 2
- V i t =ới 4, nhân 2 vế của (2) với 3 rồi cộng theo vế, ta được:
5
2 thì
x
y =
5
2 hay x2 =
25 11
(vô lí)
- V i t =ới 4, nhân 2 vế của (2) với 3 rồi cộng theo vế, ta được:
1
2
thì
x
y =
1 2
hay y = - 2x, thay vào (2) tìm được khi: c x2 = 1
H phệm của (3), chia hai vế của (3) cho y ương trình có hai nghiệm (x ; y) = (1 ; -2); (x ; y) = (-1 ; 2).ng trình có hai nghi m (x ; y) = (1 ; -2); (x ; y) = (-1 ; 2).ệm của (3), chia hai vế của (3) cho y
b) Phương trình có hai nghiệm (x ; y) = (1 ; -2); (x ; y) = (-1 ; 2).ng trình 3x3 3x2 3x 1 4x3 x3 3x2 3x 1
4x3 (x 1)3 x 4 3 x 1 x 3
1
4 1
V y nghi m c a phậy ệm của (3), chia hai vế của (3) cho y ương trình có hai nghiệm (x ; y) = (1 ; -2); (x ; y) = (-1 ; 2).ng trình là x 3
1
4 1
Câu 3: a) P = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
= (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 6y2) + y4
Đ t xặt t = 2 + 5xy + 4y2 = a Ta có:
P = a(a + 2y2) + y4 = (a + y2)2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 (đpcm)
Trang 3b) Đ t x + y = S; xy = P Ta có (x +y)ặt t = 2 ≥ 4xy, hay P ≤
2
S
4 2(x + y)2 - 6xy + (x + y) = 0
⇔ 2S2 - 6P + S = 0 ⇒ P =
⇒ S2 + 2S ≤ 0 ⇒ -2 ≤ S ≤ 0, do S ∈ Z ⇒ S
= -2; S = -1; S = 0
Tính được khi: c P = 1, P = 1/6 (lo i), P =0.ạt được khi:
Các b nghi m tìm động theo vế, ta được: ệm của (3), chia hai vế của (3) cho y ược khi: c (0; 0); (-1; -1)
Câu 4:
a) Ta có: M’N’N = M’BA (góc có c nh tạt được khi: ương trình có hai nghiệm (x ; y) = (1 ; -2); (x ; y) = (-1 ; 2).ng ng vuông góc)ứng vuông góc)
mà M’BA = BMN M’N’N = BMN
T giác MNN’M’ n i ti p đứng vuông góc) ộng theo vế, ta được: ường trònng tròn (2đ)
b) Đ t : AM’ =aặt t = 1 ; BM’ = a ; AN’ = b1 ; BN’ = b
1
a M’BN’ vuông t i B, BAạt được khi: M’N’
BA2 = AM’.AN’ hay a1b1 = 4R2
v i ới 4, nhân 2 vế của (2) với 3 rồi cộng theo vế, ta được: AQB)
PAH # BAQ BA
PA AQ
AH
1
b
: 2R
R b
a
4 4
4 2
1
R
c) Ta có SBPQ = 2AB.PQ R.PQ
1
SBPQ nh nh t khi PQ nh nh tỏ nhất khi PQ nhỏ nhất ất khi PQ nhỏ nhất ỏ nhất khi PQ nhỏ nhất ất khi PQ nhỏ nhất M’N’ nh nh t( Vì 2PQ=M’N’)ỏ nhất khi PQ nhỏ nhất ất khi PQ nhỏ nhất
T PQ = ừ 2
1
a
2PQ = a1+b1 mà a1b1 = 4R2 không đ i.ổi
2PQ = a1+b1 nh nh t khi aỏ nhất khi PQ nhỏ nhất ất khi PQ nhỏ nhất 1 = b1 = 2R (1đ)
1
BMN = BNM =BM’N’=BN’M’ MN//M’N’ MN AB t i Oạt được khi:
Câu 5: Nh n xét aậy 2 - b2 không chia h t cho 3 ⇔ a không chia h t cho 3 ho c b không ặt t = chia h t cho 3
M i l n xóa hai s và tha b ng hi u bình phố và tha bằng hiệu bình phương của chúng thì số các số ằng hiệu bình phương của chúng thì số các số ệm của (3), chia hai vế của (3) cho y ương trình có hai nghiệm (x ; y) = (1 ; -2); (x ; y) = (-1 ; 2).ng c a chúng thì s các s ố và tha bằng hiệu bình phương của chúng thì số các số ố và tha bằng hiệu bình phương của chúng thì số các số không chi h t cho 3 không thay đ i ho c gi m đi 2 đ n v v i l n ngay trổi ặt t = ải là nghiệm của (3), chia hai vế của (3) cho y ơng trình có hai nghiệm (x ; y) = (1 ; -2); (x ; y) = (-1 ; 2) ị với lần ngay trước đó ới 4, nhân 2 vế của (2) với 3 rồi cộng theo vế, ta được: ưới 4, nhân 2 vế của (2) với 3 rồi cộng theo vế, ta được:c đó
Trang 4Trong 100 s t nhiên đ u tiên có 100 - 33 = 67 s không chia h t cho 3 Do ố và tha bằng hiệu bình phương của chúng thì số các số ực tâm ố và tha bằng hiệu bình phương của chúng thì số các số
đó trên b ng luôn có m t s l s không chia h t cho 3 Vì v y không có lúc nào ải là nghiệm của (3), chia hai vế của (3) cho y ộng theo vế, ta được: ố và tha bằng hiệu bình phương của chúng thì số các số ẻ số không chia hết cho 3 Vì vậy không có lúc nào ố và tha bằng hiệu bình phương của chúng thì số các số ậy trên b ng toàn g m toàn s 0.ải là nghiệm của (3), chia hai vế của (3) cho y ồi cộng theo vế, ta được: ố và tha bằng hiệu bình phương của chúng thì số các số
H c sinh làm theo cách khác n u đúng v n cho đi m t i đa ọc sinh làm theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa ếu đúng vẫn cho điểm tối đa ẫn cho điểm tối đa ểm tối đa ối đa.