Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị C sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành.. Giải phương trình:.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2014-2015 Môn thi: TOÁN Lớp 12 THPT Ngày thi 24/03/2015.
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu
Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số:
x y x
2 1
có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2 Cho điểm A(0; a) Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới
đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành
Câu II (4,0 điểm)
1 Giải phương trình:
3 sin 2x cos2x 5sinx + 2 3 cosx + 3 + 3
1 2cos x 3
2 Giải hệ phương trình:
2
,
x y
Câu III (4,0 điểm)
1 Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn ab bc ca Chứng minh rằng :1
3 3
b c c a a b
2 Tìm m để hệ
1
m
m
Câu IV (4,0 điểm)
1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ
số, mà các chữ số đôi một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là
số lẻ?
2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD Điểm
9 ( ;3) 2
M
là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của ADH là : 4x y 4 0 Viết phương trình đường thẳng BC
Câu V (4,0 điểm)
1 Cho tứ diện SABC có SA a SB b SC c , , và SASB SA, SC SB, SC Gọi R
, V theo thứ tự là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và thể tích của tứ diện SABC Tính diện tích tam giác ABC theo a b c, , và chứng minh rằng:
6972 2 2
V
R
Số báo danh
Trang 2
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A1; 2; 1 , B0;4;0 và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x y 2z2015 0 Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua hai điểm A B, và tạo với mặt phẳng P một góc nhỏ nhất
……… HẾT………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD&ĐT
THANH HÓA
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: TOÁN LỚP 12 THPT
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 07 trang )
I.
(4.0) 1. (2.0) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của
hàm số
x y x
2 1
* Tập xác định:
D\ 1 0.25
* Sự biến thiên:
3
1
x
lim 1
x
y
,
lim 1
x
y
,
lim ; lim
, Suy ra
đồ thị hàm số
có tiệm cận đứng
x = 1, tiệm cận ngang y
=1
0.25 0.25 0.25
Bảng
biến
Hướng dẫn chấm
Đề chính thức
x -
Trang 3Hàm số
nghịch
biến trên
từng
khoảng
;1 , 1; ;
* Đồ thị :
15
h y = 1
g x = 1
f x = x + 2
x 1
Đồ thị cắt trục
tung tại
điểm
(0;-2), cắt
trục
hoành tại
(-2;0)
Đồ thị nhận giao
điểm của
hai tiệm
cận là
I(1; 1)
làm tâm
đối
xứng
0.5
y
1
Trang 4(2.0)
Tìm điều kiện của a để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến tới
đồ thị (C) sao cho 2 tiếp
điểm tương ứng nằm về
2 phía của trục hoành.
Xét thấy đường thẳng x = 0 đi qua A và không tiếp xúc với đồ thị (C)
Phương trình đường thẳng
d đi qua
A a(0; ) và
có hệ số góc k:
y kx a
d là tiếp tuyến của (C) Hệ PT
x k
2 1 3 ( 1)
có nghiệm
0,25 0.25
PT: f(x) =
(1 ) 2( 2) ( 2) 0 (1) có nghiệm
x 1
Để qua A có
2 tiếp tuyến thì (1) phải
có 2 nghiệm phân biệt
x x1, 2khác 1
0.25
0.25
Trang 5a≠ 1 Δ'=3 a+6>0
f (1)≠ 0
⇔
¿a ≠ 1 a>− 2
(∗)
¿{ {
¿
¿
Khi đó ta có:
và
Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y y1 2 0
0
0.25
0,25
a 2 0
a 2
3
Kết hợp với điều kiện (*) ta được:
a a
2 3 1
0.25
0,25
II.
(4.0)
1.
(2.0)
Giải PT lượng giác:
3 sin 2x cos2x 5sinx + 2 3 cosx + 3 + 3
1 2cos x 3
(1)
Điều kiện:
cos x ≠−√3
2 .
0.25
PT
3 sin2x cos2x 5sin x 2 3 cosx + 3 + 3 2cos x 3
3 sin2x cos2x 5sin x 3cosx + 3 = 0
0.25 0.25 0.25
Trang 6 2
3cosx 2sinx 1 + 2sin x 5sin x + 2 = 0
3cosx 2sinx 1 + 2sinx 1 sin x 2 = 0
2sin x 1 3cosx + sinx 2 = 0
1 sinx =
2
3
0.25
0.25
6 5
6
6
So sánh với đk, kết luận nghiệm
pt là:
x k2 , k 6
0.25
0.25
2.
(2.0) Giải hệ phương
trình :
2
,
x y
2.00
Điều kiện:
x y x y x y
0.25 0.25
Xét hàm số
3 2
f t t t
với t , ta có0
2
t
t
0.25
Kết hợp với 3
ta có
f x f y x y y x Thay vào phương
trình 2
của hệ,
0.25
0.25
Trang 7ta được
2
2 3x 4 3 5x9x 6x13 , với
4 3
x
2
2
x x
(vì
1 1
3x 4 x2 5x 9 x3 với mọi x thuộc
TXĐ)
0.25
0.25
Với
x y
Với
x y
Thử lại ta thấy nghiệm của hệ phương trình đã cho là
x y ; 0; 1 ; 1; 2
0.25
III.
(4.0) 1. (2.0) Cho các số thựca b c , , 0và
thỏa :
1
CMR:
3 3
(*)
Có
1
ab bc ca nên
b c a b c ab bc ca a a b c a S a
trong đó
S a b c và
S a b c ab bc ca S
0.25
Khi đó
3 3
b c c a a b
3 3 8
0.25
Trang 82 2 2
2
3 3 8
S
2
3 3 8
2
3 3 8
2
3 3 8
0.25
Lại có theo Cauchy-Schazw thì
(Vì
(a b c ) ( a a b b c c ) (a b c a )( b c ) )
0.25
Ta đi chứng minh
2
1
0.25
2
( 3) (2 3) 0 (luôn đúng S 3)
Vậy BĐT (*) được chứng minh, dấu "="
xảy ra khi và chỉ khi
1 3
a b c
0.25
2.
(2.0)
Tìm m để hệ
1
m
m
có nghiệm thực.
Có
m
0.25
+) Điều kiện cần:
Giả sử ( ; )x y 0 0
là một nghiệm của hệ thì
0.25 0.25
Trang 92 2 2
2
Do đó m 1 là điều kiện cần để
hệ đã cho có nghiệm
+) Điều kiện đủ:
1
m m
, nên nếu hệ
có nghiệm
( ; ) x y thì
một nghiệm của hệ
1
m
m
0.25
Xét hệ
2
0.25
Thay x3y vào (1) ta được
( ; ) ( ; ); ( ; ) ( ; )
0.5
Vậy m là 1
giá trị cần tìm 0.25
IV.
(4.0)
1.
(2.0)
Có bao nhiêu số
tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?
Gọi số đó là
1 2 3 4 5 6
A a a a a a a Từ giả thiết suy
ra A có 1 hoặc 2
hoặc 3 chữ số lẻ
0.25
TH1: A có 1 chữ
số lẻ +) a lẻ: Số các 1
số A là 1
5 5 600
C P
+) a chẵn: Có 41
0.25 0.25
Trang 10cách chọn a Số1
các số A là
1 4
5 4 5
4.(C C P ) 2400
Tổng có: 600 +
2400 = 3000 số
các số A trong
đó có đúng một
chữ số lẻ
TH2: A có 2 chữ
số lẻ
+) a lẻ: Có 5 1
cách chọn a 1
Có 5 cách chọn
2
a chẵn
Vậy số các số A
là
1 3
4 4 4
5.5.(C C P ) 9600
+) a chẵn: Có 41
cách chọn a 1
Có 6 cách chọn
hai vị trí không
kề nhau của hai
số lẻ trong a2 a3
4
a a5 a Vậy số 6
các số A là
4.(C 6 ).P A 11520
Tổng có: 9600
+ 11520 = 21120
số các số A.
0.25
0.25
TH3: A có 3 chữ
số lẻ
+) a lẻ: Có 5 1
cách chọn a 1
Có 5 cách chọn
2
a Có 3 cách
chọn hai vị trí
không kề nhau
của hai số lẻ
trong a3 a4a5 a6
Vậy số các số
A là
5.5.(C 3 ).P A 10800 +) a chẵn: Có 41
cách chọn a 1
Có 1 cách chọn
0.25
0.25
Trang 113 vị trí không kề nhau của 3 số lẻ trong a2 a3 a4 a5
6
a Vậy số các
số A là
4.( 1 ).C P A 2880 Tổng có: 10800 + 2880 = 13680
số các số A.
Tóm lại có:
3000 + 21120 +
13680 = 37800
số các số A.
0.25
2.
(2.0) Viết phương trình cạnh
BC
Gọi K là trung điểm của HD
Ta chứng minh
AK⊥ KM
Thật vậy gọi P là trung điểm của AH
Ta có PK song song và bằng nửa AD
⇒ PK⊥ AB
Mà AH ⊥ KB
do đó P là trực tâm của tam giác
ABK ⇒BP AK
mà BPKM là hình bình hành nên KM song
AK KM
0.25 0.25
0.25 0.25
Phương trình đường thẳng KM: đi qua
M (9
2;3) và
vuông góc với AK:
4x y 4 0 nên MK có pt:
15
2
Do
K=AK ∩ MK ⇒
0.25
0.25
Trang 12Toạ độ K (1
2;2).
Do K là trung điểm của HD mà H(1; 2) nên D(0;
2) ⇒pt của BD:
y – 2 = 0
AH đi qua H(1;
2) và vuông góc với BD nên AH
có PT: x - 1 = 0 và
A=AK ∩AH ⇒
A(1; 0)
BC qua M (92;3)
và song song với
AD nên BC có
PT là: 2x + y –
12 = 0
0.25 0.25
V
(4.0) 1. (2.0) Tính dt(ABC), C/m :
6 972 2 2
V
R
a
b S
B
A
N
Ta có 6
abc
V
(1);
0.25
Gọi h là độ dài đường cao kẻ từ
S của hình chóp SABC ta có:
h a b c
(2)
0.25
Gọi diện tích 0.25
Trang 13tam giác ABC là
dt(ABC) ta có:
3
dt ABC
h
( 3)
Từ (1), (2), (3) ta có
2 2 2 2 2 2
2
a b b c c a
0.25
Gọi I là tâm mặt
cầu ngoại tiếp
tứ diện SABC ,
M N lần lượt
là trung điểm của BC SA, Khi đó
R IS SN SM SA SB SC a b c
0.25
Theo Côsi ta có:
6 27 2 2 2 2
a b c
R
( 4)
0.5
Từ (4) và (1) suy
ra
6972 2 2
V
R
Vậy ta có điều phải chứng minh
0.25
2.
(2.0) Viết phương trình mặt phẳng
Q đi qua hai
điểm , A B và tạo với mặt phẳng P
một góc nhỏ nhất
2.00
Mặt phẳng Q
đi qua điểm B
nên có phương trình dạng
ax b y cz Q a b c a b c
Mà điểm A
cũng thuộc Q
nên
a b c a b c
0.25
0.25
Trang 14Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
P n : P 2; 1; 2
Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
Q n: Q a b c; ;
Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng P , Q
Khi đó ta có
P Q
P Q
0.25
0.25
Thế
a b c vào 2
ta được
3 cos
+) Nếu
0
b c
+) Nếu
0 cos
3
b
0.25
0.25
0.25
Vậy góc nhỏ
1
3
c
b
Do đó phương trình mặt phẳng
Q
có dạng :
4 0
x y z
0.25
Chú ý:
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số
điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm
sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.