Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai đường thẳng MG và AH song song với nhau.. Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm...[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2016-2017 Khóa ngày 21 tháng 10 năm 2016
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4 điểm)
Cho biểu thức: P =
x +1 x x +1 x - x +1
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh P 0.
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng n3 - n chia hết cho 6 với mọi n Z.
Bài 3: (4 điểm)
Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1 a) Tính giá trị của biểu thức M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
Bài 4: (3 điểm)
Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0
Bài 5: (2 điểm)
Tìm tất cả các số có 5 chữ số abcde sao cho 3abcde ab
Bài 6: (5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo M là trung điểm của cạnh AB Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai đường thẳng MG và AH song song với nhau
a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA
b) Tính số đo góc HOG.
-
HẾT -Lưu ý : Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1
(4đ) a) ĐKXĐ: x 0
P =
x +1 x x +1 x - x +1
x +1 x +1 x - x +1 x - x +1
=
x - x +1 3 2 x +1 x + x
x +1 x - x +1 x +1 x - x +1
=
x
x - x +1
0,25
0,5 1,0
0,75 b) x 0
1
x - x
2
=
x
P=
x
x - x +1 0
0,5 0,5
0,5 Bài 2
(2đ) P= n3 - n = n(n2 -1)
= n(n+1)(n-1)
Ta có n(n+1) 2 => P 2
n(n+1)(n-1) 3=> P 3
Mà (2,3) = 1 => P 6
0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3
(4đ) a) M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15
= x2 + 2000x + y2 + 2000y + 2xy + 15
= x2 + 2xy + y2 + 2000x + 2000y + 15
= (x +y)2 + 2000(x + y) + 15
= 12 + 2000.1+15 = 2016
0,5 0,5 0,5 0,5
b) P =
= 1 +
+ +
y x xy= 1 +
x + y 1 +
= 1 +
+
xy xy = 1 +
2 xy
Ta có: x + y 2 xy 1 2 xy
1 4xy
1 4
xy
0,5 0,5
0,5 0,25
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3P = 1 +
2
xy 1+ 2.4=9
Vậy GTNN của P là 9 x = y =
1 2
0,25
Bài 4
(3đ)
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0 (x2 + 4x + x + 4)(x2 + 3x + 2x + 6) - 24 = 0 (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = 0
Đặt t = x2 + 5x + 4 ta được phương trình:
t2 + 2t - 24 = 0 t2 - 4t + 6t - 24 = 0 t(t - 4) + 6(t - 4) = 0 (t - 4)(t + 6) = 0 t = 4 hoặc t = -6 Với t = 4 ta được x2 + 5x + 4 = 4 x = 0; x = -5
Với t = -6 ta được x2
+ 5x + 4 = -6 x2 + 5x + 10 = 0 (x + 2
5
)2 + 4
15
= 0 Pt vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 hoặc x = -5
0,25 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,25
Bài 5
(2đ) Đặt x = ab , y = cde ta có abcde = 1000x + y
với 10 x < 100, 0 y < 1000 (1)
Ta có: x3 = 1000x + y (2)
Từ (1),(2)=> 1000x x3 < 1000x+1000
=> 1000 x2 < 1000+
1000
x <1100 => 31< x<33
Vậy x = 32 và x3 = 32768
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 6
(5đ)
H
M
O
B
D
A
C G
a) ADH và GBM có:
ADH = GBM (=900)
AHD = GMB( cặp góc có cạnh tương ứng song song)
=> ADH GBM (g-g)
=>
DH AD
=
BM GB
=> DH.GB = BM.DA
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b) Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a)
0,25
Trang 4MBO vuông cân tại M => BM = BO.
2 2
ADO vuông cân tại O => AD = DO 2
DH.GB = BM.DA = BO
2
=>
BO GB mà ODH = GBO (=450)
=> ODH GBO (c-g-c)
=> DOH = BGO
=> DOH + HOG + GOB=BGO+GOB+OBG(=1800)
=> HOG = OBG = 450
0,25 0,5
0,25 0,25 0,25 0,5 0,25
Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.