Xácđịnh vị trí của điểm M để khoảng cách từ H đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM là ngắn nhất... Ta có điểm A, B lần lượt là giao điểm của với.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Bài 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để
9 2
P
Bài 2 (2,0 điểm):
1) Xác định độ dài các cạnh của một hình chữ nhật, biết hình chữ nhật có chu vi bằng 28
cm và 5 lần chiều rộng hơn 3 lần chiều dài 6 cm.
2) Cho đường thẳng (): y = (m - 1)x + m 2 - 4 (m là tham số khác 1) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của () với trục Ox và Oy Xác định tọa độ điểm A, B và tìm m để 3OA = OB.
Bài 3 (2,0 điểm):
Cho Parabol (P):
2
2
x
y
và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số) 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì:
a Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó.
b Đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
2) Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M(-1; 5)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB với AC < BC và đường cao CH Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M khác B và C), gọi E là giao điểm của CH và AM.
1) Chứng minh tứ giác EHBM là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh AC 2 = AH AB và AC EC = AE CM
3) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM Xácđịnh vị trí của điểm M để khoảng cách từ H đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM là ngắn nhất.
Bài 5 (0,5 điểm):
Cho các số thực dương x, y thảo mãn (x + y - 1) 2 = xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P
Trang 2HẾT
-HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Bài 1
(2đ)
1
(1,5đ)
Với x > 0 và x 1, ta có:
2
.( 1) ( 1)
x x
P
x x
P
x
0,25 0,25 0,5
2x 1
P
x
2
(0,5đ)
2
( 0; 1) 2
81 4.4.2 49 0 ( 7)
4;
x
x
0,25
Vậy
Bài 2 1
(1đ)
* Gọi độ dài chiều rộng hình chữ nhật là x (cm, 0 < x < 7)
và độ dài chiều dài là y (cm, 7 < y < 14)
0,25
* Vì 5 lần chiều rộng hơn 3 lần chiều dài 6cm Ta có pt: 5x - 3y = 6 (1) 0,25
* Chu vi hình chữ nhật là 28 cm Ta có phương trình: 2(x + y) = 28
x + y = 14 (2)
(2) ta có hệ phương trình:
0,25
2
(1đ)
2
2
4
1
m
m
điểm A và B m 1 Ta có điểm A, B lần lượt là giao điểm của () với
0,5
Trang 3trục Ox và Oy nên:
2
2
2 2
4
1
4 ( 1 3) 0
1 3
m
m
m
Bài 3 1.a
(0,5)
* Gọi M(x0, y0) là điểm cố định mà đt (d) luôn đi qua mR Khi đó ta có: y0 = mx0 + m + 5 đúng với mọi giá trị của m thuộc R
y0 - 5 = m(x0 + 1) đúng với mọi giá trị của m thuộc R
y0 = 5 và x0 = - 1
Vậy đt (d) luôn đi qua điểm cố định M(- 1; 5) m R
0,25
0,25
1.b
(0,75)
* Xét pt hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 - 2mx - 2m - 10 = 0 (1)
' = m2 + 2m + 10 = (m + 1)2 + 9 ≥ 9 ' > 0 m R
pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
đt (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m
0,25 0,25
0,25
2
(1đ)
2
; 2
a
A a
+ Gọi tọa độ điểm A là A(a; b) Do A (P) nên b = a2/2 Theo gt: A đối xứng với B qua M(-1; 5) nên M là trung điểm của AB
2 2
2
2 ;10
2
a
Ta có:
2
2
( 2 )
2
4
a
a
+ Do B (P) nên
+ Với a = 2 ta có: A(-2; 2), B(-4; 8) + Với a = -4 ta có: A(-4; 8), B(2; 2)
0,25
0,25
0,25
Bài 4 1
(1đ)
* Xét tứ giác EHBM có:
EHB 900v EHì AB
90 0
EMB (gnt chắn nửa đt đk AB)
EHM EMB
tg EHBM nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800)
0,25 0,25 0,25 0,25
I
E H
C
M
Trang 4(2) Xét ABC vuông tại C, đường cao CH có AC2 = AH AB (htl trong v)
* Ta có CME CBA (2 gnt cùng chắn cung AC)
mà ACE CBA (cùng phụ với ECB) ACE CME
Xét ACE và ACM có: ACE CME (cmt) CAE CAM (góc chung) Suy ra ACE AMC (gg) AE: AC = CE: CM
AC.EC = AE.CM (đpcm)
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
3
(0,5đ)
* Xét đt tâm I ngoại tiếp tam giác CEM có: ACE CME (cmt)
Mà CMElà gnt chắn CE, nên CME 0,5 dS CE ACE 0,5SdCE
Mà CE nằm trong ACE nên AC là tiếp tuyến của (I) ngoại tiếp CEM
* Vì AC là tiếp tuyến của (I) nên AC CI, mà AC CB (cmt) Nên I CB
* Ta có khoảng cách HI nhỏ nhất HI CB M là giao điểm của đường tròn (I; IC) với đường tròn đường kính AB
(I là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống CB)
0,25
0,25
Bài 5 0,5đ Từ giả thiết ⇒( x −1)2
+( y − 1)2=1− xy⇒ xy ≤ 1⇒( x + y −1)2
≤ 1 ⇒ x+ y≤ 2
Áp dụng BĐT
x y x y và BĐT côsi ta có:
2
2
P
xy x y
x y
Dấu “=” xảy ra khi x = y Thay x = y vào đẳng thức: (x + y - 1) 2 = xy tìm được x = y = 1
Vậy min P = 2 x = y = 1
0,25
0,25