Tài liệu phuong_trinh_vi_phan docx

Với một số điều kiện nào đấy, phương trình vi phân cấp I có thể viếtđược dưới dạng sau, gọi là dạng giải ra được đối với đạo hàmvới f liên tục trong một miền D ⊂ R2.. Ta xét bài toán sau

Mục lục

1.1 Mở đầu 5

1.1.1 Các khái niệm 5

1.1.2 Bài toán Cauchy 7

1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 7

1.2.1 Phương pháp xấp xỉ Picard 7

1.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 9

1.3 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân 12

1.3.1 Các định nghĩa: 12

1.3.2 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân: 13

1.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 14

1.4.1 Phương trình với biến số phân ly: 14

1.4.2 Phương trình vi phân thuần nhất: 16

1.4.3 Phương trình vi phân toàn phần: 18

1.4.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I: 20

1.4.5 Phương trình Bernoully 22

1.4.6 Phương trình Darboux 23

1.4.7 Phương trình Riccati: 24

2 Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm 27 2.1 Các PTVP chưa giải ra đối với đạo hàm dạng đặc biệt 27

2.1.1 F chỉ phụ thuộc vào y
27

2.1.2 Dạng có thể giải ra đối với y hay x: 28

2.1.3 F không phụ thuộc vào y 29

2.2 Trường hợp tổng quát −Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 29 2.2.1 Tham số hoá tổng quát: 29

2.2.2 Phương trình Clairaut 31

2.2.3 Phương trình Lagrange 32

2.3 Nghiệm kỳ dị của PTVP cấp I 33

2.3.1 Sự tồn tại nghiệm kỳ dị 33

2.3.2 Tìm nghiệm kỳ dị theo p −biệt tuyến 34

2.3.3 Tìm nghiệm kỳ dị theo C −biệt tuyến 36

3 Phương trình vi phân cấp cao 39 3.1 Phương trình vi phân cấp cao 39

3.1.1 Các khái niệm: 39

3.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: 40

3.1.3 Một số phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương: 40 3.1.4 Một số phương trình vi phân cấp cao có thể hạ cấp: 43

3.1.5 Tích phân trung gian và tích phân đầu: 45

3.2 Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính 46

3.3 Định thức Wronski - Nghiệm tổng quát 47

3.3.1 Đồng nhất thức Abel 50

3.3.2 Phương pháp biến thiên hằng số tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất 51

3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng 53

3.4.1 Nghiệm của phương trình thuần nhất hệ số hằng 53

3.4.2 Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: 55

4 Hệ phương trình vi phân cấp I 61 4.1 Hệ phương trình vi phân cấp I tổng quát 61

4.1.1 Các định nghĩa: 61

4.1.2 Liên hệ giữa hệ phương trình và phương trình vi phân cấp cao: 62 4.1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 63

4.1.4 Các phương pháp giải hệ phương trình vi phân: 64

4.2 Một số định lý cơ bản của phương trình vi phân 67

4.2.1 Sự tồn tại nghiệm: 67

4.2.2 Thác triển nghiệm và sự tồn tại toàn cục: 68

4.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 69

4.3.1 Hệ tuyến tính thuần nhất: 70

4.3.2 Hệ PTVP tuyến tính không thuần nhất: 72

4.4 Hệ PTVP tuyến tính hệ số hằng số 73

4.4.1 Phương trình đặc trưng 73

Mục lục 3

4.4.2 Hệ nghiệm cơ bản 74

5 Phương pháp số giải phương trình vi phân 79 5.1 Các phương pháp giải tích giải gần đúng PTVP 79

5.1.1 Xấp xỉ Picard 79

5.1.2 Phương pháp chuỗi Taylor 81

5.2 Các phương pháp số giải PTVP 82

5.2.1 Phương pháp chuỗi Taylor 84

5.2.2 Phương pháp Euler và Euler cải tiến 85

5.2.3 Các phương pháp Runge−Kutta 86

5.2.4 Các phương pháp đa bước (multi-step): 89

5.3 Phương trình vi phân và phần mềm tính toán MAPLE 90

5.3.1 Giới thiệu chung: 90

5.3.2 Vẽ đường cong tích phân và trường các hướng 91

5.3.3 Giải phương trình vi phân bằng MAPLE 91

5.3.4 Giải gần đúng phương trình vi phân bằng MAPLE 92

6 Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân 99 6.1 Khái niệm chuỗi luỹ thừa 99

6.2 Nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi luỹ thừa 101

6.2.1 Các ví dụ 102

6.2.2 Điểm kỳ dị của phương trình vi phân 105

6.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm 110

6.3.1 Sơ lược về khai triển tiệm cận 110

6.3.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm gần điểm kỳ dị không chính qui.111 6.3.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm: 114

6.3.4 Sơ lược về phương pháp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) 114

A Biến đổi Laplace và phương trình vi phân 117 A.1 Biến đổi Laplace 117

A.2 Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace: 119

Tài liệu tham khảo .123

1.1.1 Các khái niệm

Phương trình vi phân thường là phương trình có dạng

F (x, y, y
, y

, , y (m)) = 0 (1.1)trong đó y = y(x) là ẩn hàm cần tìm và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo hàm(đến cấp nào đó) của ẩn

Thông thường ta xét các phương trình với ẩn hàm là hàm số một biến thực y = y(x)

xác định trên khoảng mở I ⊂ R nào đó; khi đó hàm F trong đẳng thức trên xác địnhtrong một tập mở G của R × R m+1 Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là vector-hàm(hàm với giá trị vector) y(x) = (y1(x), , y n (x)) T,F là một ánh xạ nhận giá trị trong

Rn và (1.1) được hiểu là hệ phương trình vi phân

Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến thì phương trình vi phân còngọi là phương trình đạo hàm riêng

Ta nói một phương trình vi phân có cấpm nếu m là cấp lớn nhất của đạo hàm củaẩn có mặt trong phương trình

Phương trình vi phân thường cấp I có dạng tổng quát

trong đó F (x, y, z) được giả thiết liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trênmiền G ⊂ R3 Với một số điều kiện nào đấy, phương trình vi phân cấp I có thể viếtđược dưới dạng sau, gọi là dạng giải ra được đối với đạo hàm

với f liên tục trong một miền D ⊂ R2

Ví dụ: Các phương trình

trên I và thoả mãn

F (x, y(x), y
(x), y

(x), , y (m) )(x) = 0 với mọi x ∈ I (1.4)Trong trường hợp phương trình vi phân cấp I, nghiệm là một hàm thực một ẩny = y(x)

mà khi thay vào (1.2), ta được một đẳng thức đúng

Ví dụ: Dễ kiểm tra rằng họ hàm (phụ thuộc vào hai tham số tuỳ ý)

y
= y(α − βx), x
= x(γy − δ) (1.5)với α, β, γ và δ là những hằng số cho trước

Để tìm nghiệm của phương trình này ta có thể xem y như là hàm theo x, phươngtrình có thể viết dưới dạng

dy

dx =

y(α − βx) x(γy − δ) hay (γy − δ)

1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 7

1 2 3

yy

zz

X

Hình 1.1: Nghiệm của phương trình Volterra−Lotka

1.1.2 Bài toán Cauchy

Ta nhận xét rằng nói chung, nghiệm của một phương trình vi phân phụ thuộc vào mộthay nhiều tham số tuỳ ý nào đó; nói cách khác ta có từng họ nghiệm Để xác địnhnghiệm cụ thể nào đó, nói chung ta cần thêm một hay vài đặc trưng khác về nghiệm(tuỳ theo cấp của phương trình vi phân) Chẳng hạn, y = x33 + C là (họ) nghiệm củaphương trìnhy
= x2 Dễ thấyy = x33+ 1là nghiệm (duy nhất) thoả điều kiện y(0) = 1

Ta xét bài toán sau đây đặt ra đối với phương trình (1.2), gọi là bài toán Cauchy

(còn gọi là bài toán giá trị ban đầu):

Tìm nghiệm y(x) của phương trình (1.2) thoả

trong đó (x0, y0)∈ D được gọi là các điều kiện ban đầu.Câu hỏi tự nhiên đặt ra là với điều kiện ban đầu (1.6), có hay không và bao nhiêunghiệm thoả mãn điều kiện này Trả lời câu hỏi này tức là giải bài toán Cauchy đốivới phương trình (1.2) Ta lưu ý rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng cónghiệm, và khi có nghiệm cũng không nhất thiết có duy nhất nghiệm Trong mục sau

ta sẽ phát biểu và chứng minh một định lý giải quyết trọn vẹn bài toán Cauchy chophương trình vi phân cấp I

1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

1.2.1 Phương pháp xấp xỉ Picard

Ta xét bài toán Cauchy đối với phương trình cấp I dạng giải ra được đối với đạo hàm:

y
= f (x, y), y(x0) = y0 (1.7)

trong đó f xác định và liên tục trên miền mở D ⊂ R2.

Giả sử y(x) là nghiệm của bài toán (1.7), tích phân hai vế của phương trình trong(1.7) ta được phương trình tích phân cho y(x) là

Phép lặp Picard−Lindelo¨f

Về mặt toán tử, nghiệm của phương trình tích phân (1.8) chính là lời giải của bài toán điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ (ở đây ta xétkhông gian các hàm khả vi liên tục trên I) mà lời giải có thể cho bởi phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard−Lindelo¨f sau đây

Xét dãy các hàm xác định một cách đệ qui bởi

y0(x) = y0 (hay một hàm nào đó)



Khi đó với mọi x ∈ I := [x0 −

h, x0+ h] ta có

|y k (x) − y0| ≤ b, với mọik

Nói cách khác, các hàm y k không đi ra khỏi hình chữ nhật D.

Chứng minh: Ta có, với x0− h ≤ x ≤ x0+ h:

3 (xem Hình 1.2) Ta nhận thấy các xấp xỉy k hội tụ nhanh khi x

bé, với các giá trị x lớn phép lặp là phân kỳ

1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 9

Hình 1.2: Phép lặp Picard−Lindelof cho phương trình y
=−y2, với y(0) = 1

1.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Trong phần này ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phươngtrình vi phân, khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy

Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm f (x, y) xác định trên miền D ⊂ R2 Ta nói f thoả điều kiện Lipschitz trên D theo biến y nếu tồn tại hằng số dương L (gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L |y1− y2| , với mọi (x, y1), (x, y2)∈ D

Nhận xét: Điều kiện Lipschitz là yếu hơn so với điều kiện giới nội của đạo hàmriêng ∂f

∂y trên D Thật vậy, giả sử ∂f

∂y liên tục và 

∂f ∂y ≤ M Khi đó, áp dụng địnhlý Lagrange cho hàm f (x, y) theo biến y ta được

f (x, y1)− f(x, y2) = (y1− y2)∂f

∂y [x, y1+ θ(y2− y1)]

Từ đó suy ra điều kiện Lipschitz

Định lý 1.2.2 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm) Giả sử hàm số f (x, y) trong(1.3) liên tục và thoả điều kiện Lipschitz theo biếny trên hình chữ nhật

D = {(x, y)/ |x − x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b}

Khi đó nghiệm của bài toán Cauchy (1.7) là tồn tại và duy nhất trong đoạn I :=

[x0− h, x0+ h], với h := min(a, M b ) và M := max (x,y)∈D |f(x, y)|.

Chứng minh: Chứng minh chia làm hai bước:

Giả sử ta có điều đó với k − 1, khi đó với x0 ≤ x ≤ x0+ h ta có

(với x0− h ≤ x ≤ x0 ta đánh giá tương tự)

Xét dãy hàm {y k (x) } trên I, ta có

Chuổi số ∞

j=0

(Lh) j j! là hội tụ, nên phần dư của nó mà xuất hiện trong biểu thức cuốicùng có thể làm cho bé tuỳ ý khi k đủ lớn Theo tiêu chuẩn Cauchy, dãy {y k (x) } hộitụ đều trênI đến hàm y(x) Để chứng minhy(x)là nghiệm chỉ cần qua giới hạn trongđẳng thức

y k+1 (x) = y0+

x

x0

f (t, y k (t))dt

Vì dãy hàm {y k (x) } hội tụ đều, f liên tục (đều) trên hình chữ nhật D nên dãy hàm

{f(t, y k (t)) } hội tụ đều trên I đến hàm f (t, y(t)) Do đó có thể chuyển giới hạn quadấu tích phân để được đẳng thức (1.8) Vậy y(x)chính là nghiệm của bài toán Cauchy(1.7)

1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 11

Cho k −→ +∞ ta có |y(x) − z(x)| = 0trên I Như vậy, một cách địa phương, nghiệm

Nhận xét: Điều kiện Lipschitz là quan trọng, ngay cả khi f (x, y) liên tục trên R 2.Chẳng hạn xét phương trình

Nói cách khác, tính duy nhất nghiệm bị vi phạm

Nhận xét: Thực chất chứng minh là dùng nguyên lý ánh xạ co trong các không gianmetric đủ

Định nghĩa 1.2.2 Cho không gian metric E với metric d Ánh xạ T : E → E đượcgọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α ∈ (0, 1) sao cho với mọi cặp phần tử x, y ∈ E tađều có

d(T x, T y) ≤ αd(x, y)

Định lý 1.2.3 (Nguyên lý ánh xạ co) Mọi ánh xạ co T trong không gian metric đủ

đều có duy nhất một điểm bất động Tức là điểm x ∗ ∈ E sao cho

T (x ∗ ) = x ∗

1 2 3 -3 -2 -1

1

-1

Hình 1.3: Nghiệm của bài toán Cauchy y
= 2 |y|, y(0) = 0

1.3 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân

1.3.1 Các định nghĩa:

Về mặt hình học, bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp I có thể hiểu là tìmnghiệm y = y(x) của (1.3) mà đồ thị của hàm số y = y(x) (còn gọi là đường cong tích phân của phương trình vi phân) đi qua điểm (x0, y0) Nói cách khác, bài toánCauchy là tìm đường cong tích phân của phương trình (1.3) đi qua điểm (x0, y0) ∈ D

cho trước

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử D ⊂ R2 sao cho vế phải của phương trình (1.3) xác định vàliên tục trên D Hàm số y = y(x, C) phụ thuộc liên tục vào hằng số C được gọi là

nghiệm tổng quát của (1.3) nếu:

a) Với mỗi điều kiện ban đầu (x0, y0)∈ D ta luôn giải được C dưới dạng

trong đó ϕ là hàm liên tục

b) Hàm y = y(x, C) thoả mãn phương trình (1.3) với mỗi giá trị của C cho bởi (∗)

khi (x0, y0) chạy khắp D

Khi đó hệ thức ϕ(x, y) = C (hoặc chính hàm ϕ(x, y)) được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.3)

Ví dụ: Phương trình y
+ y = 0 có nghiệm tổng quát là y(x) = Ce −x với C là hằngsố tuỳ ý

Định nghĩa 1.3.2 • Nghiệm của phương trình (1.3) mà tại mỗi điểm của nó tínhchất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được thoả mãn được gọi là nghiệm riêng

• Nghiệm của phương trình (1.3) mà tại mỗi điểm của nó tính chất duy nhất nghiệmcủa bài toán Cauchy bị vi phạm được gọi là nghiệm kỳ dị

1.3 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân 13

Nhận xét: Từ định nghĩa nghiệm tổng quát, ta suy ra rằng với mỗi điều kiện ban đầu

(x0, y0)∈ D, ta luôn tìm được C0 = ϕ(x0, y0) sao cho y = y(x, C0) là nghiệm của bàitoán Cauchy tương ứng Nói cách khác, bằng cách chọn các giá trị thích hợp cho hằngsố, ta có thể thu được các nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình, không kể các nghiệmkỳ dị

Giải(hay còn gọi là tích phân) một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm(biểu thức nghiệm tổng quát) của phương trình đó hoặc nghiệm của bài toán Cauchyvới điều kiện ban đầu cho trước

Ví dụ: Tìm nghiệm riêng y(x) của phương trình y
= 3y + x thoả điều kiện y(0) = 1

Ta dễ kiểm tra rằng nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y = − x

3−1

9+Ce

3x.Để tìm nghiệm riêng thoả điều kiện như trên ta chỉ cần thay các giá trị ban đầu vàtính C

1.3.2 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân:

Xét phương trình vi phân (1.3), với f (x, y) liên tục trên miền mở trong R 2 Tại mỗiđiểm M (x, y) thuộc miền này, ta gán cho nó một hướng với hệ số góc là

k = dy

dx = f (x, y)

Khi đó ta thu được một trường các hướng xác định bởi (1.3), và dĩ nhiên hướng củatiếp tuyến của đường cong tại mỗi điểm trùng với hướng của trường tại điểm đó Giảimột phương trình vi phân dạng (1.3) về mặt hình học là tìm tất cả các đường cong saocho tại mỗi điểm của nó hướng của tiếp tuyến trùng với hướng của trường

Ngược lại, cho trước họ đường cong

phụ thuộc vào tham số C sao cho qua mỗi điểm chỉ có duy nhất một đường cong củahọ đi qua Ta sẽ lập phương trình vi phân nhận họ đường cong này làm nghiệm tổngquát như sau Đạo hàm hai vế của phương trình trên theo x, ta được

dy

dx =

∂ϕ

∂x (x, C)

Từ phương trình(∗), với mỗi (x, y)ta luôn tìm được duy nhất giá trị C = C(x, y) Thay

C vào đẳng thức trên ta nhận được

y
= ∂ϕ

∂x (x, C(x, y)) =: f (x, y)

–3 –2 –1

1

2 y(x)

Hình 1.4: Trường hướng của phương trình y
=− y

x

và đây là phương trình vi phân cần tìm

Ví dụ: Tìm phương trình vi phân của họ đường cong sau:

y = Cx2

Đạo hàm hai vế theo x ta được y
= 2Cx Khử C ta thu được phương trình vi phân:

y
= 2y

x

1.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I

Trong bài này ta sẽ giới thiệu một số dạng phương trình vi phân cấp I mà có thể tíchphân được theo nghĩa có thể viết biểu thức của nghiệm tổng quát dưới dạng tườngminh hoặc phụ thuộc tham số Lưu ý rằng ta không có phương pháp giải tổng quátcho phương trình vi phân, thậm chí cấp I

1.4.1 Phương trình với biến số phân ly:

Phương trình vi phân cấp I dạng

được gọi là phương trình với biến số phân ly (hay còn gọi phương trình tách biến)

1.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 15

Cách giải: Các hàm M (x), N (y) được giả thiết liên tục trên các khoảng nào đó.Khi đó chỉ cần tích phân hai vế của (1.9) ta thu được tích phân tổng quát của nó là

M (x)dx +

N (y)dy = C

Ví dụ: Giải phương trình y2y
= x(1 + x2)

Phương trình này có dạng tách biến

(với giả thiết biểu thức này khác 0)

Ví dụ: Giải phương trình x(1 + y2)dx + y(1 + x2)dy = 0

Chia hai vế cho (1 + x2)(1 + y2) ta được

Vậy tích phân tổng quát của phương trình đã cho là (1 + x2)(1 + y2) = C1 trong đó C1

là hằng số tuỳ ý

1.4.2 Phương trình vi phân thuần nhất:

Hàm số f (x, y) được gọi là thuần nhất bậc m nếu với mọi t > 0 ta có

f (tx, ty) = t m f (x, y)

Phương trình vi phân y
= f (x, y) được gọi là thuần nhất (hay còn gọi đẳng cấp)nếu hàm số ở vế phải là hàm thuần nhất bậc 0, tức là f (tx, ty) = f (x, y) với mọi

t > 0

Nhận xét: Nếu đặt u := y

x ta cóf (x, y) = f ( ± |x| , |x| |x| y ) = f ( ±1, ±u) =: g(u).Cách giải:

dx x

Tích phân hai vế ta được

du g(u) − u = lnx

Thay u = y

x vào biểu thức trên ta tìm được tích phân tổng quát của phương trình thuầnnhất

Ví dụ: Giải phương trình (x2+ y2)dx + xydy = 0

Ta có thể viết phương trình đã cho dưới dạng

dy

dx =− y

x − x y

Vế phải của phương trình này là hàm thuần nhất



 = −1

4ln(1 + 2u

2)

1.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 17

Phương trình đưa về thuần nhất:

Các phương trình dạng



và đây chính là phương trình dạng thuần nhất

Ví dụ: Giải phương trình (2x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0

Trước hết ta xét hệ phương trình sau

Phương trình này chấp nhận nghiệm u = 1 và u = 2 Để tìm nghiệm tổng quát ta chia

cùng với hai nghiệm y = x + 1 và y = 2x tương ứng với u = 1 và u = 2

1.4.3 Phương trình vi phân toàn phần:

Phương trình vi phân dạng

1.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 19

trong đó (x0, y0) là một điểm nào đó sao cho các tích phân trên tồn tại

Ví dụ: Giải phương trình (x3+ xy2)dx + (x2y + y3)dy = 0

Ta có P (x, y) = x3+ xy2 vàQ(x, y) = x2y + y3 nên

Thừa số tích phân:

Có những trường hợp phương trình (1.11) chưa phải là phương trình vi phân toàn phần,nhưng có thể tìm được hàm sốµ(x, y) sao cho phương trình sau trở thành phương trình

vi phân toàn phần:

Trường hợp I: µchỉ phụ thuộc vào x

Giả sử µ > 0, khi đó chia hai vế của (∗) cho µ, ta được

Vậy trường hợp này chỉ thoả mãn khi vế phải của đẳng thức trên không phụ thuộc vào

y Với điều kiện này, thừa số tích phân cho bởi:

µ(x) = exp



ϕ(x)dx



Trường hợp II: µchỉ phụ thuộc vào y

Làm tương tự như trên, thừa số tích phân cho bởi:

P được giả thiết không phụ thuộc vào x

Ví dụ: Tìm thừa số tích phân rồi giải phương trình(2xy +x2y +y3/3)dx+(x2+y2)dy =

Do đó có thể chọn µ(x) = exp(

dx) = e x để cho phương trình

e x [(2xy + x2y + y3/3)dx + (x2 + y2)dy] = 0

là phương trình vi phân toàn phần Tích phân phương trình này theo công thức (1.12)

ta được tích phân tổng quát

ye x (x2+ y2/3) = C

1.4.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I:

Trong mục này ta xét lớp các phương trình vi phân mà biểu thức là tuyến tính đối vớiẩn và đạo hàm của nó Các phương trình như thế được gọi là phương trình vi phân

tuyến tính Dạng tổng quát của PTVP tuyến tính là

trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b) nào đó

Nếu q(x) ≡ 0, ta có PTVP tuyến tính thuần nhất:

Cách giải: Ta có thể tìm nghiệm y của (1.13) dưới dạng tích y = u(x)v(x) (phươngpháp Bernoully) Thay vào phương trình (1.13) ta được

1.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 21

Ta chọn hàm v sao cho

Thay biểu thức của u, v vàoy ta thu được nghiệm tổng quát của (1.13) là

y = e −
p(x)dx q(x)e
p(x)dx dx + C



(1.18)trong đó C là hằng số tuỳ ý

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y
+ 3xy = x đi qua điểm (0, 4)

Ta có p(x) = 3x nên  p(x)dx = 3x2/2 Do đó nghiệm tổng quát là

y = e −3x2/2 xe 3x2/2 dx + C



= e −3x2/2

 1

Thay x = 0 vày = 4vào đẳng thức trên, ta tìm đượcC = 11

3 và nghiệm riêng cần tìmlà:

1.4.5 Phương trình Bernoully

Phương trình có dạng

trong đó α là số thực nào đó, được gọi là phương trình Bernoully1

Để giải phương trình này ta đưa về giải phương trình tuyến tính (1.13) đã xét trongmục trước Rõ ràng với α = 0hayα = 1thì (1.19) đã có dạng phương trình tuyến tính.Nếu α = 0 vàα = 1 thì đặt

Nhận xét: Chú ý rằng ta phải xét riêng trường hợp y = 0 trước khi chia hai vế cho

y α để tránh làm mất nghiệm này

Ví dụ: Giải phương trình xy
− 4y = x2√

1.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 23

1.4.6 Phương trình Darboux

Phương trìnhDarboux2 là phương trình vi phân dạng

trong đó A, B là các hàm thuần nhất bậc m và H là hàm thuần nhất bậc nù

Chú ý rằng nếu n = m − 1 thì phương trình Darboux chính là phương trình thuầnnhất Trong trường hợp tổng quát, ta luôn luôn đưa phương trình Darboux về phươngtrình Bernoully

Thật vậy, đặt y = z.x, ta có

A(1, z) + zB(1, z) x

n+2−m

Đây là phương trình Bernoully của ẩn x = x(z) xem như hàm theo z

Ví dụ: Giải phương trình xdx + ydy + x2(xdy − ydx) = 0

Đây là phương trình Darboux, đặt y = xz ta được

với C là hằng số tuỳ ý

2 J.G.Darboux (1842−1917) là nhà toán học Pháp

1.4.7 Phương trình Riccati:

Phương trìnhRiccati3 tổng quát là phương trình vi phân dạng

y
= p(x)y2+ q(x)y + r(x) (1.22)trong đó p(x), q(x) và r(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b) nào đó

Nhận xét: Phương trình Riccati không phải bao giờ cũng giải được bằng phép cầuphương (tức là có thể biểu diễn nghiệm dưới dạng hữu hạn các phép lấy tích phâncủa các hàm tường minh nào đó!) Trong vài trường hợp đặc biệt như p(x) ≡ 0 hay

r(x) ≡ 0ta đưa về phương trình tuyến tính hoặc phương trình Bernoully Tuy nhiên tacó kết quả sau cho phép tích phân phương trình Riccati nếu biết một nghiệm nào đócủa nó

Mệnh đề 1.4.1 Nếu biết một nghiệm của phương trình Riccati (1.22) thì có thể đưa nó về phương trình Bernoully.

Chứng minh: Gọi một nghiệm của (1.22) là ˜, tức là

Ví dụ: Giải phương trình y
+ 2y(y − x) = 1

Đây là phương trình Riccati Dễ thấyy = x là một nghiệm của phương trình đã cho.Bây giờ, đặt

1.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I 25

BÀI TẬP

1 Giải các phương trình vi phân tách biến:

(a) (xy2+ 4x)dx + (y + x2y)dy = 0

(b) (y2− 6xy)dx + (3xy − 6x2)dy = 0

(c) y(1 + xy)dx − xdy = 0

(d) xy ln ydx + (x2+ y2 y2+ 1)dy = 0

6 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân tuyến tính sau

(a) y
− 4y = x − 2x2

(b) xy
+ y = e x

Chương 2

Phương trình vi phân cấp I chưa giải

ra đối với đạo hàm

Trong chương này ta sẽ khảo sát các phương trình vi phân cấp một dạng tổng quát

2.1.1 F chỉ phụ thuộc vào y

Xét phương trình dạng

Giả sử F (xem như hàm của biến y
) liên tục và có một số hữu hạn các không điểm(chẳng hạn khi F là đa thức) Khi đó mỗi nghiệm của y = y(x)của phương trình (2.2)phải thoả y
(x) = k, với k là một không điểm của F

Do đó y(x) = kx + C với C là hằng số tuỳ ý; và ta có

F ( y − C

Ngược lại, nếu có đẳng thức (2.3) với một giá trị C nào đó thì k := y − C

x phải lànghiệm của F = 0 Khi đó

y = kx + C, y
= k

do đó F (y
) = 0

Nói cách khác, công thức (2.3) cho ta nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

Ví dụ: Giải phương trình y
2 − y
+ 2 = 0

Phương trình này có nghiệm là y − C x 2 − y − C

x + 2 = 0

2.1.2 Dạng có thể giải ra đối với y hay x:

Giả sử (với vài điều kiện nào đó) phương trình (2.1) có thể giải ra được y hay x.Chẳng hạn,

Khi đó, đặt p = y
= dy

dx và xem p như tham số, ta được

2.2 Trường hợp tổng quát −Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 29

2.1.3 F không phụ thuộc vào y

Ví dụ: Giải phương trình ln y
+ cos y
− x = 0

Tham số hoá y
= t, x = ln t + cos t ta có

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

2.2.1 Tham số hoá tổng quát:

Trong phần này ta xét một số phương trình vi phân chưa giải ra đối với đạo hàm

nhưng có thể tham số hoá được dưới dạng

x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v) và y
= χ(u, v)

sao cho

F [ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)] = 0

Vi phân x và y theo u, v rồi thay vào đẳng thức dy = y
dx ta có

2.2 Trường hợp tổng quát −Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 31

2.2.2 Phương trình Clairaut

Phương trìnhClairaut là lớp các phương trình vi phân dạng

trong đó, nói chung, f là một hàm phi tuyến

Ta sẽ tìm nghiệm tổng quát của phương trình này bằng cách đặt p = y
Khi đó

y = px + f (p)

Vi phân hai vế đẳng thức này, với chú ý rằng dy = pdx ta được

pdx = pdx + {x + f
(p) } dp

hay {x + f
(p) } dp = 0

Từ đó ta suy ra dp = 0 hay x + f
(p) = 0

Nếu dp = 0 thì p = C, thay vào (2.6) ta được nghiệm tổng quát

và đây là một họ đường thẳng

Nếu x + f
(p) = 0, cùng với (2.6), ta thu được một nghiệm cho dưới dạng tham số

Ví dụ: Xét phương trình y = (x − 1)y
− y
2

Đây là phương trình Clairaut với f (t) = −t2− t Thay thế y
bởi C ta được nghiệmtổng quát là họ đường thẳng

-3 3

-3 0 3

Hình 2.1: Nghiệm của phương trình Clairaut với f (t) = −t2− t

2.2.3 Phương trình Lagrange

Phương trình vi phân cấp I mà là tuyến tính đối với x vày dạng

được gọi là phương trình Lagrange1.

Giả sử ϕ(y
) = y
, nếu không phương trình đã cho là phương trình Clairaut mà ta đãxét trên đây Cũng tương tự như trường hợp phương trình Clairaut, ta đặt p = y
Khiđó phương trình (2.7) trở thành

2.3 Nghiệm kỳ dị của PTVP cấp I 33

Nhận xét: Chú ý rằng ứng với các giá trị của tham số p = p i (trong đó p i là nghiệmcủa phương trình ϕ(p) − p = 0) ta cũng nhận được các nghiệm của phương trình (2.7).Tuỳ theo từng trường hợp nghiệm này có thể là nghiệm kỳ dị hoặc không

Ví dụ: Giải phương trình y = xy
2 − y

Đặt p = y
, khi đó

Các nghiệm ứng với p = 0 và p = 1 lày = 0 và y = x − 1 tương ứng

2.3 Nghiệm kỳ dị của PTVP cấp I

2.3.1 Sự tồn tại nghiệm kỳ dị

Trong chương trước ta đã đề cập đến sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với PTVP cấp

I dạng giải ra được đối với đạo hàm

Ví dụ: Phương trình Clairaut (2.6) với f (t) = −t2 − t có nghiệm kỳ dị là parabol

Định lý 2.3.1 Nếu hàm F (x, y, p) thoả các điều kiện sau:

i) F (x, y, p)liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trong lân cận của(x0, y0, p0)∈

R 3 (tức là F thuộc lớpC1 trong lân cận điểm này)

ii) F (x0, y0, p0) = 0

iii) ∂F

∂p (x0, y0, p0) = 0

thì phương trình (2.8) có duy nhất một nghiệm y = y(x) lớp C1 trong lân cận của x0

thoả điều kiện ban đầu:

y(x0) = y0 sao cho y
(x0) = p0

Chứng minh: Các giả thiết trong định lý trên chính là các giả thiết của định lý hàmẩn, do đó phương trình (2.8) xác định duy nhất hàm p = f (x, y) lớp C1 sao cho

p0 = f (x0, y0) Khi đó ta có phương trình vi phân dạng giải ra được đối với đạo hàm

dy

dx = f (x, y)

trong đó f khả vi liên tục Tính chất này mạnh hơn điều kiện Lipchitz nên theo địnhlý tồn tại và duy nhất nghiệm (cho phương trình đã giải ra đối với đạo hàm), ta thấycó tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x)thoả điều kiện ban đầu y(x0) = y0

2.3.2 Tìm nghiệm kỳ dị theo p −biệt tuyến

Định lý trên cho thấy nghiệm kỳ dị có thể xảy ra khi các điều kiện của định lý khôngthoả mãn Rõ ràng với hàm F = F (x, y, p) khả vi liên tục, nghiệm kỳ dị chỉ có thểxảy ra nếu tại đó

∂F

∂p = 0

Ta gọiM ⊂ R3 là siêu mặt cho bởi phương trìnhF (x, y, p) = 0và giả sửπ : M −→ R2,

π(x, y, p) = (x, y) là phép chiếu tự nhiên theo toạ độ p Khi đó các điểm kỳ dị củaánh xạ π cho bởi hệ phương trình

2.3 Nghiệm kỳ dị của PTVP cấp I 35Khử p từ hệ phương trình này ta thu được một phương trình dạng

bị vi phạm; đó chính là nghiệm kỳ dị

Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình y = 2xy
− y
2

Ta có biệt tuyến cho bởi

y = 2xp − p2, 2x − 2p = 0

Từ đó biệt tuyến là parabol y = x2 trong mặt phẳng (x, y) Tuy nhiên, y = x2 lạikhông phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên phương trình không có nghiệm kỳdị

Ví dụ: Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình y = y
2 − xy
+x2

4 , ta xét phương trình theo

C:

y0 = Cx0 + C2+x

2 0

2 hay C2+ x0C + x

2 0

4 = 0

Phương trình này luôn có nghiệm C = − x0

2 , tức là luôn có nghiệm thứ hai đi qua

Hình 2.2: Mặt cho bởi phương trình p2− x = 0

2.3.3 Tìm nghiệm kỳ dị theo C −biệt tuyến

Đối với những phương trình mà tích phân tổng quát của nó cho bởi

Chú ý: Nếu hàm Φ trong (2.10) có các đạo hàm riêng cấp I theo x và y bị chặn vàkhông đồng thời bằng không thì C −biệt tuyến là bao hình của họ nghiệm tổng quát(2.10); nói cách khác C −biệt tuyến là nghiệm kỳ dị

Ví dụ: (xem [1]) Tìm nghiệm kỳ dị của phương trình Lagrange x − y = 4

2.3 Nghieäm kyø dò cuûa PTVP caáp I 37

Chương 3

Phương trình vi phân cấp cao

Chương này trình bày một số kiến thức tổng quan về phương trình vi phân cấp cao vàlý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính cấp cao

3.1 Phương trình vi phân cấp cao

3.1.1 Các khái niệm:

Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình có dạng

F (x, y, y
, y

, , y (n)) = 0 (3.1)trong đó F là một hàm xác định (liên tục) trên tập mở nào đó của Rn+2 và nhất thiếtphải có sự tham gia của đạo hàm cấp n của ẩn y (n)

Với một vài giả thiết thích hợp, định lý hàm ẩn cho phép viết phương trình (3.1)dưới dạng sau đây, được gọi là dạng đã giải ra đối với đạo hàm:

y (n) = f (x, y, y
, , y (n−1)) (3.2)Dưới dạng này ta có thể đưa việc nghiên cứu một phương trình cấp cao về nghiên cứu(hệ) phương trình vi phân cấp I Thật vậy, bằng cách đưa thêm vào các ẩn mới y1 := y,

3.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm:

Tương tự như trường hợp phương trình vi phân cấp I, bài toán Cauchy đối với phươngtrình vi phân cấp cao (3.1) đặt ra như sau:

Tìm nghiệm y(x) của phương trình (3.1) thoả điều kiện ban đầu:

y(x0) = y0, y
(x0) = y0
, , y (n−1) = y0(n−1) (3.5)trong đó x0 ∈ I ⊂ R và Y0 := (y0, y
0, , y0(n−1))∈ R n cố định, cho trước

Để phát biểu định lý khẳng định sự tồn tại lời giải của bài toán Cauchy ta cần kháiniệm sau:

Cho vector-hàm f (x, y) xác định trên miền G ⊂ R × R n Ta nóif thoả điều kiện Lipschitz trên Gtheo y nếu tồn tại hằng số dươngL(gọi là hằng số Lipschitz) saocho:

||f(x, y1)− f(x, y2)|| ≤ L||y1− y2||, với mọi (x, y1), (x, y2)∈ G

Ta lưu ý rằng điều kiện Lipschitz không phải là hệ quả của tính liên tục Chẳng hạnhàm f (x, y) = √ y liên tục nhưng không thoả điều kiện trên

ù

Định lý 3.1.1 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho PTVP cấp cao) Giả sử hàm f (x, y) trong (3.4) liên tục và thoả điều kiện Lipschitz theo y trên miền

vector-G = {(x, y) ∈ R × R n / |x − x0| ≤ a, ||y − y0|| ≤ b}

Khi đó bài toán Cauchy với điều kiện ban đầu (3.5) có một nghiệm duy nhất trên đoạn

I := [x0 − h, x0 + h], với h := min(a, M b ) và M := max (x,y)∈G ||f(x, y)||.

Chứng minh: Tương tự như trong trường hợp PTVP cấp I, chỉ cần thay giá trị tuyệt

Nhận xét: Ta cũng định nghĩa các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp caotương tự như trong chương I Chẳng hạn, nghiệm kỳ dị của (3.2) là nghiệm mà tạimỗi điểm của nó tính chất duy nhất nghiệm bị vi phạm Ta gọi nghiệm tổng quát

của (3.2) là họ các hàmϕ(x, C1, , C n) phụ thuộc (một cách liên tục) vào n hằng sốtuỳ ý C1, , C n Với mỗi bộ giá trị của n tham số này ta nhận được một nghiệm riêng của phương trình

Ví dụ: Nghiệm tổng quát của phương trình y

= y là y(x) = C1e x + C2e −x Nó phụthuộc vào hai hằng số tuỳ ý C1 và C2

3.1.3 Một số phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu