Tài liệu Ánh xạ docx

AX Lưu ý: Hai ptử sinh bất kì của cùng một nhĩm xyclic đều cĩ cùng cấp.. Cấp của mọi nhĩm xyclic bằng cấp của mọi ptử sinh của nĩ... Miền chính Một vành giao hốn cĩ đơn vị 1 ≠ 0 trong nĩ

ÁNH XẠ Anh xạ

f: X Y A ⊂ X , B ⊂ Y

x f(x)

f: ánh xạ ⇔ (x1=x2⇒f(x ) f(x )1 = 2 )

f(A) = ⎨y∈Y ⎪ ∃ a∈A : f(a) = y⎬ (ảnh)

f–1(B) = ⎨x∈X ⎪ f(x)∈B⎬ ( tạo ảnh)

f: đơn ánh ⇔ 1 2 1

f(x ) f(x ) x x

x x f(x ) f(x

2 )

⎡

⎣ f: toàn ánh ⇔ ∀y∈Y, ∃ x∈X : f(x) = y

f: song ánh ⇔ ∀y∈Y, ∃! x∈X : f(x) = y

∃f–1 ⇔ f: song ánh

QUAN HỆ TRÊN TẬP HỢP Quan hệ tương đương

∀x∈X, x x (phản xạ)

∀x,y∈X, x y ⇒ y x (đối xứng)

∀x,y,z∈X, x y và y z ⇒ x z (bắc cầu) Quan hệ thứ tự

∀x∈X, x ≤ x (phản xạ)

∀x,y∈X, x ≤ y và y ≤ x ⇒ y = x (phản đối xứng)

∀x,y,z∈X, x ≤ y và y ≤ z ⇒ x z (bắc cầu)

Lớp tương đương: C(a) = [a] = ⎨x∈X ⎪ a x ⎬

NHÓM (X, ) – nửa nhóm ⇔ ∀x, y, z ∈ X: (x.y).z = x.(y.z) (X, ) – vị nhóm ⇔ ⎨⎧∀∃ ∈e X : x X, x.e e.x xx,y,z X : (x.y).z x.(y.z)∈∀ ∈ == =

⎩ (X, ) – nhóm ⇔

x,y,z X : (x.y).z x.(y.z)

e X : x X, x.e e.x x

x X, x' X : x.x' x'.x e

⎧

⎨

⎩

⇔

X , (X, ) nửa nhóm

e X : x X, e.x x

x X, x' X : x'.x e

⎧

⎨

⎩

o

⇔ X , (X, ) nửa nhóm

a,b X : pt ax b và ya b có nghiệm trong X

⎧

⎩

o

(X, ) – nhĩm ebel ⇔

x,y,z X : (x.y).z x.(y.z)

e X : x X, x.e e.x x

x X, x' X : x.x' x'.x e x,y X, x.y y.x

⎧

⎪

⎪

⎩

e, x' của x là duy nhất x,y,z X, xy xz (yx zx) y z (X, ) nhóm

x,y X : (xy) y x m,n : (a ) (a ) , a a a , (a ) a

⎧

⎪

⎪

⎩

Nhĩm con A của nhĩm X (A X)

(A,+) ổn định ⇔ ∀x,y ∈ A ⇒ x + y ∈ A

1

x,y A, xy A

x,y A,xy A

x A,x A

−

−

≠ ∅ ⊂

⎧

⎬

⎩

Nhĩm con sinh bởi A, nhĩm con xyclic sinh bởi a

Cho (X, ) – nhĩm, A ≠ (, A ⊂ X Ta nĩi nhĩm con của X sinh bởi

A, k/h 〈A〉, nếu A =IX , Xi i„ X, A X⊂ i ∀i

(Nhĩm con sinh bởi A là nhĩm con nhỏ nhất chứa A)

Nếu A = {a} thì ta nĩi nhĩm con xyclic của X sinh bởi a, k/h 〈a〉, a đgl phần tử sinh của X

Nếu ∃ a∈X: 〈a〉 = X thì X đgl nhĩm xyclic

Nếu ∃A⊂X: 〈A〉 = X thì A đgl tập sinh của X

Lớp kề của A trong X

{

A ≤ X, ∀x ∈ X: xA= y X x y A∈ − 1 ∈ }={xa a A∈ }(lớp kề trái)

Ax= y X yx∈ − ∈A = ax a A∈ (lớp kề phải)

Lưu ý: xA = yA ⇔ x–1y ∈ A

Nhĩm con chuẩn tắc A của nhĩm X (A ⊲ X)

1

a,b A, ab A

x X, a A, x ax A

−

−

≠ ∅ ⊂

⎧

⎩

a,b A, ab A

x X, xA Ax

−

≠ ∅ ⊂

⎧

⎨

⎩

Lưu ý: Trong 1 nhĩm abel, mọi nhĩm con đều chuẩn tắc

Nhĩm thương của X trên A

Nếu A ⊲ X thì X {xA x X}

A = ∈ với xA.yA = xyA đgl nhĩm

thương của X trên A

Nhĩm xyclic

(X, ) – nhĩm xyclic ⇔ ∃a∈X: x = am, ∀x∈X, m∈Ζ (a–phần tử sinh) a ={a : kk ∈ }

Cấp của nhĩm, phần tử của nhĩm

Cấp của nhĩm X, kí hiệu X , là số phần tử của X

Cấp của

a∈X

m

min

Nếu a e, m 0 thì a có cấp vô hạn

Nếu a e, m thì m đgl cấp của a K/h: ord(a)

≠ ∀ >

ĐL Lagrange: (X, ) – nhĩm hữu hạn, A ≤ X ⇒ X = A AX Lưu ý: Hai ptử sinh bất kì của cùng một nhĩm xyclic đều cĩ cùng cấp Cấp của mọi nhĩm xyclic bằng cấp của mọi ptử sinh của nĩ Hai nhĩm xyclic đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng cĩ cùng cấp)

Tâm của nhĩm X ( Z(X) )

Z(X) = ⎨a∈X ⎪ ax = xa, ∀x∈X⎬

Lưu ý: X abel ⇔ X = Z(X)

Z(X) là nhĩm con abel của X

ĐỒNG CẤU

Đồng cấu nhĩm

ax

f : X Y

X, Y là nhĩm, ⎯⎯→

f đgl đồng cấu nhĩm ⇔ f(ab) = f(a).f(b) ∀a,b ∈X

đơn ánh đgl đơn cấu (phép nhúng) Đồng cấu & toàn ánh đgl toàn cấu

song ánh đgl đẳng cấu Hạt nhân và ảnh của đồng cấu nhĩm

Kerf= x X f(x) e∈ = =f (e )−

Im f = f(x) x X∈ =f(X)

Tính chất của đồng cấu nhĩm

a)

[ ]

1 1

f(e ) e

f(x )− f(x) −

=

⎧⎪

⎨

=

⎪⎩

b)

{ }X 1

f đơn cấu Kerf e

f toàn cấu Im f Y

f đẳng cấu f đẳng cấu−

⎪

⎨

⎩

c)

1

Kerf X, Im f Y

A X f(A) Y

B X, f (B) X−

⎧

⎨

⎪

⎩

<

< <

„

Định lí cơ bản của đồng cấu nhĩm

đồng cấu nhóm

f : X⎯⎯⎯⎯⎯→ Y Cho

toàn cấu chính tắc X

⎯⎯⎯⎯→

|⎯⎯⎯→ = Kerf Khi đĩ:

1) ! g :X đơn cấu Y s/ c g h f

Kerf

(vớiX , A Kerf thì g đơn cấu)

2) Img = Imf

Đặc biệt:

Nếu g :X Im f

Kerf ⎯⎯→ thì g đẳng cấu Khi đó: XKerf ≅Im f Nếu f : X⎯⎯→Y là toàn cấu thì X Y

Kerf ≅ Lưu ý: Để cm XA ≅ , ta cm các bước sau: Y

B1: f : X⎯⎯→Y là ánh xạ

B2: f là toàn cấu

B3: Kerf = A

Định lí đẳng cấu

X – nhóm, A,B ⊲ X, A ⊂ B ⇒ ( )

( )

X

B B

A

≅

VÀNH

(X,+, ) – vành ⇔

Tính chất của vành

Ox = xO = O , ∀x∈X

(–x)y = x(–y) = –(xy) , ∀x,y∈X

(–x)(–y) = xy , ∀x,y∈X

x(y – z) = xy – xz , ∀x,y∈X

(x – y)z = xz – yz , ∀x,y∈X

(nx)y = x(ny) = n(xy) , ∀x,y∈X , ∀n∈Ζ

(x1 + … + xm) (y1 + … + yn) =

m n

i j

i 1 j 1

x x

= =

∑∑ , ∀xi,yj∈X

i 0

n!

X vành giao hoán (x y) x y , x,y X,n

i!(n i)!

−

=

−

Nhĩm các ước của đơn vị (nhĩm các phần tử khả nghịch)

Vành X cĩ đơn vị là 1 và X* = x X y X, xy yx 1∈ ∃ ∈ = =

Khi đĩ: (X*, ) đgl nhĩm các ước của đơn vị

Ước của 0

X–vành, a,b∈X, a≠0, b≠0, cĩ ab = 0 thì a–ước trái của 0, b–ước phải của 0

Miền nguyên

Miền nguyên ⇔ Vành giao hoán có đơn vị 1 0 (có hơn 1 ptử)

không có ước của 0

≠

⎧

⎨

⎩ Một vành giao hốn X cĩ đơn vị 1 ≠ 0 là một miền nguyên khi và chỉ khi trong X cĩ luật giản ước: ab = ac, a ≠ 0 ⇒ b = c ,

∀a,b,c∈X

Tích trực tiếp

Vành X1 × X2 × … × Xn đgl tích trực tiếp của các vành X1, …, Xn

nếu tập tích được đ/n phép + và sau:

(x1, … ,xn) + (y1, … ,yn) = (x1+y1, … ,xn+yn)

(x1, … ,xn) (y1, … ,yn) = (x1y1, … ,xnyn)

Vành con A của X (A X)

A (X, )

x,y A xy A

+

⎧

⎨

A X ⇔

⎩

„

⇔

x,y A, x y A x,y A, xy A

⎧

⎨

⎩ Tâm của vành ( Z(X) )

Z(X) = ⎨a∈X ⎪ ax = xa, ∀x∈X⎬

Lưu ý: Z(X) X

Iđêan A của vành X (A X)

A X ⇔

a,b A, a b A

a A, x X, xa A, ax A

⎧

⎨

⎩

Lưu ý: Để cm A là iđêan nhỏ nhất chứa a, giả sử B là iđêan của X

mà chứa a rồi cm A ⊂ B

Iđêan sinh bởi một tập, iđêan chính sinh bởi a

Giả sử X–vành, A ≠ (, A ⊂ X Khi đĩ, iđêan của X sinh bởi tập A (hay iđêan bé nhất của X chứa A), k/h: (A), nếu

(A)= Xi , Xi X , A ⊂ Xi , ∀i Nếu A = ⎨a⎬ thì iđêan sinh bởi A đgl iđêan chính sinh bởi a K/h: (a)

Đặc biệt: Nếu X là vành giao hốn cĩ đơn vị thì (a)={ax x X∈ }

Mơ tả: Iđêan trái chính của X sinh bởi a: Xa={xa x X∈ }

Iđêan phải chính của X sinh bởi a: aX={ax x X∈ }

Iđêan chính sinh bởi a:

m

i i i i

i 1

(a) RaR x ay x ,y X,n

=

Vành các iđêan chính Miền chính

Một vành giao hốn cĩ đơn vị 1 ≠ 0 trong nĩ mọi iđêan đều là

iđêan chính đgl vành các iđêan chính Một vành các iđêan chính đồng thời là một miền nguyên đgl miền chính

Vành thương của vành X theo iđêan A

Giả sử A X Khi đĩ: A ⊲ (X,+) Ta cĩ:

A = + ∈ với 2 phép tốn:

(x A) (y A) (x y) A+ + + = + + (x A).(y A) xy A+ + = +

là vành thương của vành X trên iđêan A

ĐỒNG CẤU Đồng cấu vành

ax

f : X Y

X, Y là vành, ⎯⎯→

f đgl đồng cấu vành ⇔ f(x y) f(x) f(y)

x,y X f(xy) f(x).f(y)

⎧

⎩ đơn ánh đgl đơn cấu (phép nhúng) Đồng cấu & toàn ánh đgl toàn cấu

song ánh đgl đẳng cấu Hạt nhân và ảnh của đồng cấu vành

{ } 1

Kerf= x X f(x) 0∈ = =f (0 )−

Im f = f(x) x X∈ =f(X)

Tính chất của đồng cấu vành

f(0 ) 0

f( x) f(x)

f(a b) f(a) f(b) a,b X

f(a ) [f(a)] a X, n

=

⎧

⎪ − = −

⎪

⎪

⎩

a)

Kerf X, Imf Y

b) A X ⇒ f(A) Y

B Y ⇒ f–1(B) X

Định lí cơ bản của đồng cấu vành

Cho f : X⎯⎯⎯⎯⎯đồng cấu vành→Y

toàn cấu chính tắc X

⎯⎯⎯⎯→

|⎯⎯⎯→ = +Kerf Khi đĩ:

1) ! g :X đơn cấu Y s/ c g h f

Kerf

(vớiX , A Kerf thì g đơn cấu)

2) Img = Imf

Đặc biệt:

Nếu g :X Im f

Kerf ⎯⎯→ thì g đẳng cấu Khi đĩ: XKerf ≅Im f Nếu f : X⎯⎯→Y là tồn cấu thì X Y

Kerf ≅ Lưu ý: Để cm XA ≅ , ta cm các bước sau: Y

B1: f : X⎯⎯→Y là ánh xạ

B2: f là tồn cấu

B3: Kerf = A

Thể

(X,+, ) – thể ⇔ vành X có đơn vị 1 0

x X, x' X : xx' x'x 1

≠

⎧

⎩ Trường

(X,+, ) – trường ⇔ thể giao hốn

⇔ vành X giao hoán có đơn vị 1 0

x X, x' X : x'x xx' 1

≠

⎧

⎩

⇔

(X, ),(X, ) - nhóm aben

x(y z) xy xz x,y,z X,

(y z)x yx zx

+

⎧

⎧

⎩

⎩ Trường con

A – trường con của trường X ⇔

1

A X, A nhiều hơn 1 phần tử a,b A, a b A

a,b A,b 0, ab− A

⎧ ⊂

⎨

⎩