6 ĐỊNH lý HÌNH học nổi TIẾNG THẾ GIỚI

www.facebook.com/hocthemtoan

U&IIrsŸI

‘thi - Tai liều Học tập Các Định Lý Hình Học Nồi Tiếng

“Famous Geometry Theorems” = Dr Kin-Yin LI Khoa Toán, ĐH Khoa Học và Kỹ Thuật Hong Kong

1 Lời giới thiệu

Có rất nhiều định lý hình học nỗi tiếng Chúng ta sẽ cùng nhìn lại các định lý này và một vài

áp dụng của chúng Trước hết, ta sẽ viêt P =WX (]YZ đê kí hiệu P là giao điêm của hai đường thang WX và YZ Nếu các điểm A,B,C thăng hàng, ta sẽ qui ước dấu = = = (vì vậy nếu Ö

năm giữa A và C, thì Sin 0 (ngược lại an i ))

2 Các định lý

2.1 Định lý Menelaus (Nhà toán học cô Hy Lạp (thế kỷ I sau công nguyên))

Cho tam giác ABC Các điểm X,Y,Z lần lượt nằm trên các đường thăng AB, BC,CA Khi 46

X,Y,Z thăng hàng ee ee

XB YC ZA

B

chúng cắt nhau tại Ø Gọi A\B’,C' lan lượt là chân các đường vuông góc hạ từ các điểm 4, 8,C

xuống đường thăng L Khi đó, ta có

AX _A'O BY _B'O CZ_C'O

XB OB''YC OC'`ZA ” OA'

Nhân các đăng thức trên theo từng về, ta nhận được

AX BY CZ AO BOCO

XB YC ZA OB' OC' OA'

(<=) Goi Z'= XY(CA Ap dung dinh ly Menelaus (phan thuan) cho duéng thang qua cdc

điểm X,Y,Z', ta nhận được

AX BY CZ'

XB 1L Z A

Từ đó suy ra AX BY CZ’ _ AX BY CZ hay CZ" _ Be Ye

XB YC Z'A XB YC ZA Z'A ZA

2.2 Định lý Ceva (Nhà toán học Ý (1647 - 1734))

Cho tam giác ABC Các điêm D,E,F lần lượt nằm trên các đoạn thăng BC,CA,AB Khi dé

AD, BE,CF đông quy yee ey

FB DC EA

Ching minh (=) Ap dung dinh ly Menelaus cho duéng thang AD (déi voi tam gidc

BCE ), ta có

BD CA EP

DC AE PB —

Tiếp tục áp dụng định lý Menelaus cho đường thăng CƑ (đối với tam giác ABE), ta cé

AF BP EC

FBPECA ` Nhân các đăng thức trên theo từng về, ta thu được

AF BD CE _

Từ đó suy ra Ar’ BD CE _ AP’ BD CE ay AF’ AF Do đó #'=#

F'B DC EA F'B DC`EA FB F1®B

2.3 Định lý Pascal (Nhà toán học Pháp (1623 — 1662))

Cho A,B,C,D,E,F 1a céc điểm cùng nằm trên một đường tròn (có thê không xếp theo thứ tự

như trên) Gọi = A8(1DE,Q= BC) EF,R =CD( FA Khi đó các diém P,Q thăng hàng

Ching minh Goi X = EF (1)AB,Y = AB(.\CD,Z =CD() EF Ap dung dinh l¥ Menelaus

cho các đường thăng 8C,JDE,FA (đối với tam giác XYZ ), ta có

ZQ XB YC , XP YD ZE | YR ZF XA

OX BY CZ "PY DZ EX ’*RZ FX AY —

Nhân các đăng thức trên, chú ý rằng XA.XB = XE.XF,YC.YD =YA.YB, ZE.ZF = ZC.ZD, duge

ZQ XP YR

OX PY RZ

Theo định lý Menelaus, ta nhận được các điểm P,Q,R thang hang

2.4 Dinh ly Newton (Nha toan hoc Anh (1642 — 1727))

Một đường tròn nội tiếp tứ giác ACD, lần lượt tiếp xúc với các cạnh Að,BC,CD,DA tại các điểm E,F,G,H Khi đó, các đường thăng AC,EG,BD,FH đồng quy

Chứng minh Gọi O= EG(\FH và X =EH f\FG Vì D là giao điểm của các tiếp tuyến

với đường tron tai G,H , sur dung dinh ly Pascal cho cdc diém E,GŒ,C,F,H,H ta suy ra các điêm OD.X thăng hàng Tương tự, sử dụng định lý Pascal cho các điêm E,E,H,F,F,G ta Suy ra các

điểm B.X.O thăng hàng Do đĩ, B,O,D thăng hàng, vì thế các đường thăng EGŒ,BD.FH cắt

nhau tại Ø Chứng minh tương tự, ta cũng nhận được các đường thăng AC,EG,FH cắt nhau tại

O Do đĩ, các đường thăng AC,EG,BD,FH đồng quy tại O

2.5 Định lý Desargues (Nhà tốn học Pháp (1593 - 1662))

Cho hai tam giác ABC,A'B'C' Nếu các đường thăng AA',BB',CC' đồng quy tại điểm O, thi cdc diém P,Q,R thăng hàng, trong đĩ P= 8Cí1B'C,Q= CAfC'A,R= ABfA'B'

Chứng minh Áp dụng định lý Menelaus lần lượt cho các đường thăng A'Ư' đối với tam giác OAB: đường thăng 8'C' đơi với tam giác OĨBC, đường thăng C'A' đơi với tam giác OCA,ta cĩ

OA' AR BB' OB' BP CC' AA' OC' CQ

VARB BO "BB POCO "AO CC OA

Nhân các đăng thức trên theo từng về, ta thu được

AR BE CƠ _ _¡

RB PC QA

Theo định lý Menelaus, ta suy ra các điểm P,Q,R thang hang

2.6 Định lý Brianchon (?)

Các đường thăng À,8C,CD,DE,EF,FA tiếp xúc với một đường trịn lần lượt tại các tiếp điểm Œ,H,I,J,K,L (cĩ thể khơng xếp theo thứ tự như này) Khi đĩ, các đường thăng AD, BE

va CF đồng quy

Ching minh Goi M = A8(ì1CD,N==DE(\FA Áp dụng định lý Newton cho tứ giác

AMDN, suy ra các đường thăng A/2,/L,G/ đồng quy tại điểm A' Tương tự, các đường thăng BE,HK,GJ đồng quy tại điểm #'; các đường thăng CF,HK,IL đồng quy tại điểm C'.Chú ý

rằng IL=A'C'` Áp dụng định lý Pascal cho các diém Œ.G.!,LL.H, Suy ra các diém A,O,P

thăng hàng, trong đĩ Ø==GI (LH ,P =IL(\HG Tiếp tục áp dụng định lý Pascal cho các điểm

H,H,L.I,I,G,suy ra C,O,P thăng hàng Do đĩ A,C,P thăng hàng

Bây giờ ta đặt G= AB8(1A'B',H = BC()\ B'C',P =CA(\IL=CAf1C'A' Ấp dụng định lý

Desargues (phần đảo) cho các tam giác AC, 4'B'C`", suy ra các đường thăng AA'=AD, BB' = BE,

CC'= CF đồng quy

Lưu ý rang, phan dao của định lý Brianchon cũng đúng Thật vậy, gọi @—= 8B (CC' Xét

các tam giác RBB ,QCC' Vì các đường thăng RQ,BC,B'C' cắt nhau tại P, và A= RB ỌC,

O=BB')\CC', A'=BR')\C'Q, sử dụng định lý Desargues (phần thuận), ta cĩ A,Ĩ, A' thăng

hàng Do đĩ, các đường thăng AA’, BB',CC' dong quy

$ Một số bài tốn áp dụng

Bài tốn 1 Trong tam giác ABC, M là chân đường vuơng gĩc hạ từ A xuống đường phân giác trong của gĩc ZBCA N,L lan luot la chân các đường vuơng gĩc hạ từ các đỉnh 4,C xuơng đường phân giác trong của gĩc ⁄AĐC Gọi #' là giao điểm của các đường thăng MN và AC, E

là giao điêm của các đường thăng B#ˆ và CL, D là giao điêm của các đường thăng BL và AC Chứng minh rằng DE va MN songsong với nhau

Lời giải

Kéo dài AM cắt BC tai G, kéo dai AN cat ØC tại 7 Khi đĩ AM =.MG,AN=M, suy ra

MN va BC song song voinhau Vi AM = MG néntacé AF = FC Kéo dai CL cat AB tai J Khid6 JL=LC,suyra LF va AB song song voi nhau

Gọi H = LF f\BC Ta cĩ BH = HC Trong tam giác BLC, các đoạn thăng 8E,LH,CD cắt

nhau tai F Sur dung định lý Ceva, ta nhận được

HC EL DB

Vi BH =HC nén => Tiras suy ra DE va BC song song với nhau Do đĩ, 2E va

MA song song với nhau

Bài tốn 2 (Macedonia 2001) Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường trịn Gọi D 1a

giao điêm của tiệp tuyên tại A voi duong thang BC, E 1a giao điêm của tiếp tuyên tại B voi

đường thăng CA, # là giao điêm của tiệp tuyên tại C với đường thăng 4Ư Chứng minh răng

cac diém D,E,F thăng hàng

Lời giải Áp dụng định lý Pascal cho các điểm A, A, 8, 8,C,C cùng nằm trên đường trịn, dễ

thấy được các điểm D,E,F thang hang

Bài tốn 3 Cho tam giác ÀC nội tiếp trong một đường trịn /2,E lần lượt là các điểm giữa

của các cung 4#, ÁC Gọi P là một điểm thuộc cung 8C, @Q== DP( BA, R= PE( AC Chứng

minh rang duong thang QR chứa tâm ¡ đường trịn nội tiếp củatam giác ABC

Lời giải

_ Vi D 1a điểm giữa của cung 4Ö nên đường thăng CD chia đôi góc AC Tương tự, đường

thăng EB chia đôi góc ⁄4BC Do đó 7 = CD(1EB Ấp dụng định lý Pascal cho các điêm C,D,

P,E,B,A ,ta nhan duoc các diém / :Q,R thang hang

Bài toán 4 (Australia 2001) Cho A,B,C, A',B'.C' la cdc diém nam trén mét đường tròn sao

cho ÁA' vuông góc BC, BB`' vuông góc CA, CC' vuông góc 4Ö Một điểm D nằm trên đường tròn Gọi 2AÝ1 8C = A",DBÝY1CA = B",DC{1AB= C" Chứng mình rang A",B",C" va

trực tâm của tam giác AC thăng hàng

Lời giải

Gọi ; là trực tâm củatam giác AC Áp dụng dinh l¥ Pascal cho cdc diém A,A',D,C'.C,B,

ta suy ra H,A”,C” thăng hàng Tương tự, áp dụng định lý Pascal cho các điểm B',D,C'C,A,B,

ta cling nhan duoc B",C",H thang hàng Từ đó suy ra A",B",C",H thăng hàng

Bai toan 5 (IMO 1991 unused) Cho tam giaéc ABC va P 1a một diém trong tam giác Gọi

P,P, lan luot la chân các đường vuông góc hạ từ xuông các cạnh AC, 8C Nôi AP,BP:;: từ C

kẻ các đường vuông góc xuống A4P,ðP Gọi @ „Q là chân các đường vuông góc này Giả sử

rằng Q = ?,Ợ, = P, Chứng minh rằng các đường thăng ?Q Ø.P,, AB đồng quy (kí hiệu = chỉ

các đường thăng không trùng nhau)

Lời giải

Vi ZCPP,ZCP,P,ZCQ,P,ZCQ,P đều là các góc vuông nên các điểm C,Q,,P,, P, P.,Q cùng nằm trên một đường tròn có đường kính là CP Chú ý rằng A =CP,f\PQ,,B =Q.PíP,C Áp dụng định lý Pascal cho các điểm C,P,OƠ.,P,O,,P, ta nhận được X = ĐO, (1Q,P, thuộc đường

thang AB

Bài toán 6 (China 2005) Một đường tròn cắt ba cạnh #C,CA, AB của tam giác ABC tại các

diém D,,D,;E,,E,:F,,F„ Các đoạn D,E,,D,F, cắt nhau tại L, các đoạn E,F,,E,D, cat nhau tại

M, các đoạn FD,F,E, cắt nhau tại /V Chứng minh rằng các đường thăng AL BRW,CN đông quy

Lời giải

Goi P= DF, (1D;E.,Q =E,D, (\E;F;,R =FE,(\F;D;

e Áp dụng định lý Pascal cho các điểm E.,E.,D.,F,,F;,D,, ta nhận được A,L,P thăng hàng

® - Áp dụng định lý Pascal cho các điểm F;,F,,E,,D,,D,,E,, ta nhận được B,M,Q thang hàng

® Ap dung dinh ly Pascal cho các điểm D,,D,,F,,E,,E,,F,,ta nhan duoc C,N,R thang hàng

Gọi X =E;E,(\D#; =CA(\DF;„Y =F;F,[\E,D, =AB(\E,D,,Z =D,D,(\F;E;=BCf\FE,

® Ap dung dinh ly Pascal cho các điểm D,,F,,E,,E,,D,,F;, ta nhận được P,R,X thăng hàng

® Ap dung dinh lý Pascal cho các điểm E,,/,Ƒ;,F;,E;, D,, ta nhận được Ợ,P,Y thăng hàng

° Ap dung dinh ly Pascal cho các diém F,,E,D,D,,F,,E,, ta nhận được R,Q.Z thăng hàng

Xét hai tam giác ABC, PQR,tacó X = CA( RP,Y = AB( PQ.Z = BC (QR Ap dung dinh

lý Desargues (phần đảo), ta có AP= AL,BQ = BM,CR =CN là các đường thăng đồng quy

4 Một số bài toán tự luyện

Bài 1 Cho tam giác ABC Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AC, D là chân đường vuông góc hạ từ £ xuông BC, F là trung điêm của 4Ø Chứng minh răng AD, BE,CF

đồng quy khi và chỉ khi AC = 90°

Bài 2 Cho P là một điểm năm trong tứ giác lồi ABCD Các đường phân giác trong của các góc

ZAPB,ZBPC,ZCPD, ZDPA lan lượt căt các đường thăng ÁP, BC,CD, DA tại các đêm K,L,M,N

Chứng minh rằng nếu KLMV là hình bình hành thì P8 = PD, PA = PC

Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại C Và phía ngoài của tam giác ABC, ta lần lượt dựng các hình vuông ACM@, BCNP Chứng minh răng các đường thăng AP, BQ đông quy với đường cao

CH củatam giác ABC

Bài 4 Cho Ä⁄/ là một điểm nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC, và # là một điểm bất

kỳ Các đường thăng A#R, BR,CR lân lượt căt đường tròn nội tiệp tại các điêm A,,B,,C, Chứng minh rang giao diém của các cặp đường thăng MA,,BC;MB,,CA;MC,, AB thang hang va duéng thang nay cling chita diém R

Bài 5 Các điểm A, A cùng nằm trên một đường tròn; các điểm /,/,M, lần lượt thuộc các đường thăng A,A,,A,A,,A,A,, A,A, sao cho KL || A,A,,LM || A,A,,MN || A.A, Chứng mình rằng

NK Ì|A,A;.