Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ trong chứng minh bất đẳng thức

KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG 1) a2  b2  c2  ab  bc  ca , a,b,c  R  a  b 2 2) a b   2  , a,b  0    a  b .

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

x2  xy  y2 y2  yz  z2 z2  xz  x2

KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG

,3

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

y2  yz  z2 z2  xz  x2x2  xy  y2

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Bài 3 Cho x , y , z  0 và xy  yz  zx  xyz Chứng minh rằng:y2  2x2z2  2y2 x  2z

 y  z

z  x

 x  y  z  3

xy  yz  zx  xyz

Bình luận : Nếu không có giả thiết xy  yz  zx 

nhiều bài toán mới rất thú vị.

1) Hướng 1: Rút gọn mẫu ở 2 vế được bất đẳng thức đơn giản 2) Hướng 2: Biến

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

1 y  2x 3  1 2 

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606

+) Ta luôn có bất đẳng thức: a3  b3  ab(a  b),a,b  0 (*).

Thật vậy (*)  a  b a2  ab  b2  ab(a  b)  0  (a  b) a2  2ab  b2  0

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

+) Ta luôn có bất đẳng thức: a3  b3  ab(a  b),a,b  0 (*).

Thật vậy (*)  a  b a2  ab  b2  ab(a  b)  0  (a  b) a2  2ab  b2  0

 a  ba  b2

 0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra  a  b  c.

+) Áp dụng (*) ta có:

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606

+) Ta luôn có bất đẳng thức: a3  b3  ab(a  b),a,b  0 (*).

Thật vậy (*)  a  b a2  ab  b2  ab(a  b)  0  (a  b) a2  2ab  b2  0

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606

 4ab  a  2ab  b  0  (a 

b)

 0, (luôn đúng)

3+) Áp dụng (*) ta có: 

x  y

 2

y  z

 1

 3.4

 2.4

 1

4

x  y

4

y  z

 1  1  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Vậy giá trị lớn nhất của P là

2

đạt được khi a  b  c 1.

Bài 11 (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016)

Cho các số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Bài 12 (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017)

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606

1 ab

abab

ab

aba

b2  bc  c2 

3 (b  c) và

1

a

 1

 2020t2  2021

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

22

2 6

xy1yz xy yz

2 yz1xy

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606

b ac c ab a  bc

32

b2  bc  3c2 1 c2  ca  3a2 1a2  ab  3b2 1

 1  1  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Bài 28 Cho a,b, c 

0 thỏa mãn abc  1 Chứng minh

y z  

3

x

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606

Bài 30 Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG CHỨNG MINH

,3

z2  xz  x2x2  xy  y2 y2  yz  z2

y2  2x2 Chứng minh rằng:   

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606

a2  ab  3b2 1

b2  bc  3c2 1 c2  ca  3a2 1

Bài 11 (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2016) Cho các số

dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu

thức P  3(b  c)  4a  3c  12(b  c) 2a 3b 2a  3c

Bài 12 (Olympic 19-5 tỉnh Bình Phước năm 2017) Cho các số

dương a, b, c thỏa mãn abc  1 Tìm giá

P 

a2  ab  b2 

b2  bc  c2 

c2  ca  a2

Bài 13 (Chuyên toán Hưng Yên 2020) Cho a , b là các số

dương thỏa mãn điều kiện ab  1.

1Chứng minh rằng:

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606

a2  ab  2b2 b2  ab  2a2

b c

Bài 16 (Chuyên toán Ninh Bình 2020)

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn:

a b c

Bài 19 (Chuyên toán Bà Rịa Vũng

Tàu) Với các số thực dương a và b

thay đổi, hãy tìm giá trị lớn nhất

b ac c ab a  bc

32

 1  1  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 28 Cho a,b, c 

0 thỏa mãn abc  1 Chứng minh

xy  yz  zx .

.Chứng minh rằng:

z  x2 x  y2 y  z2

.   

Bài 32 Cho a, b, c dương và thỏa

mãn xy  yz  zx  1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4x2  yz  2 4y2  zx  2 4z2  xy  2

Hết