4 de hoc sinh gioi toan 7 va dap an tham khao

Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC.. c Đường thẳng DN vuông góc với AC.. d IM là phân giác của góc HIC... Biết với mọi giá trị nguyên của x thì fx chia hết cho 7.. Lấy điểm M trên cạnh AB

https://www.facebook.com/toan.boiduong Hotline: 0125 868 0640 Page 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7

Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý:

a)

200

16

1













và

1000

2

1













b) (-32)27 và (-18)39

Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết:

a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) x + 3 − 8 = 20

Bài 3: (1,5 điểm): Tìm các số x, y, z biết :

a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0

b)

4

z 3

y 2

x = = và x2 + y2 + z2 = 116

Bài 4: (1,5 điểm):

Cho đa thức :

A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2)

a) Xác định bậc của A

b) Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z

Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng:

t z x

t t z y

z t

y x

y z

y x

x M

+ +

+ + +

+ + +

+ + +

phải là số tự nhiên.( x, y, z, t *

N

∈ )

Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC Lấy điểm D bất

kì thuộc cạnh BC H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI tại N Chứng minh rằng:

a) BH = AI

b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi

c) Đường thẳng DN vuông góc với AC

d) IM là phân giác của góc HIC

https://www.facebook.com/toan.boiduong Hotline: 0125 868 0640 Page 2

Đáp án Toán 7 Bài 1: (1,5 điểm):

a) Cách 1:

200

16

1













=

800 200

4

2

1 2

1













=













>

1000

2

1













Cách 2:

200

16

1













>

200

32

1













=

1000 200

5

2

1 2

1













=













(0,75điểm) b) 3227 = 5 27

) 2 ( = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 (0, 5điểm) ⇒-3227 > -1839 ⇒(-32)27 > (-18)39 (0,25điểm)

Bài 2: (1,5 điểm):

a) (2x-1)4 = 16 Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,5điểm)

b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm)

c) x + 3 − 8 = 20 ⇒ x+3−8=20; x+3−8=−20

x+3−8=20 ⇒ x+3 =28 ⇒ x = 25; x = - 31 (0,25điểm)

x+3 −8=−20 ⇒ x+3 = −12: vô nghiệm (0,25điểm)

Bài 3: (1,5 điểm):

a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0

⇒(3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0 (0,25điểm) ⇒ 3x - 5= 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 ⇒ x = z =

3

5

;y = -1;y = 1 (0,5điểm)

b)

4

z 3

y 2

x

=

= và x2 + y2 + z2 = 116

29

116 16

9 4

2 z 2 y 2 x 16

2 z 9

2 y 4

2

+ +

+ +

=

=

= (0,25điểm) Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) (0,5điểm)

Bài 4: (1,5 điểm):

a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 ⇒A có bậc 4 (0,5điểm)

b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) ⇒ A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z (0,725điểm)

Bài 5: (1 điểm):

Ta có:

y x

x z y x

x t

z y x

x

+

<

+ +

<

+ + + (0,25điểm)

y x

y t y x

y t

z y x

y

+

<

+ +

<

+ + +

t z

z t z y

z t z y x

z

+

<

+ +

<

+ + + (0,25điểm)

t z

t t z x

t t z y x

t

+

<

+ +

<

+ + +

⇒ < <

+ + +

+ + +

M t z y x

t z y x

) t z

t t z

z ( ) y x

y y x

x (

+

+ +

+ + + + (0,25điểm)

https://www.facebook.com/toan.boiduong Hotline: 0125 868 0640 Page 3

hay: 1 < M < 2 Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên (0,25điểm)

Bài 6: (3 điểm):

a ∆AIC = ∆BHA ⇒ BH = AI (0,5điểm)

b BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm)

c AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N ⇒ N là trực tâm ⇒ DN⊥ AC (0,75điểm)

d ∆BHM = ∆AIM ⇒ HM = MI và ∠BMH = ∠IMA (0,25điểm)

mà : ∠ IMA + ∠BMI = 900 ⇒ ∠BMH + ∠BMI = 900 (0,25điểm)

⇒ ∆HMI vuông cân ⇒ ∠HIM = 450 (0,25điểm)

mà : ∠HIC = 900 ⇒∠HIM =∠MIC= 450 ⇒ IM là phân giác ∠HIC (0,25điểm)

H

I

M B

D

N

https://www.facebook.com/toan.boiduong Hotline: 0125 868 0640 Page 4

TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Năm học : 2005 - 2006 Môn : TOÁN - Khối lớp: 7

Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề )

Bài 1 (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và c( b + d)

= 2bd Chứng minh (

d b

c a

+

+

) 8 = 8 8

8 8

d b

c a

+ +

Bài 2 (2điểm) a/ Tìm x biết:

3

2 4

3 − - 3,25 = -2{(1,25)2

– 2,5 0,25 + (-0,25)2} b/ Tìm x , y biết: 3+y + 2x + y = 0

Bài 3 (2điểm) a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x2 - 35x + 42

b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và

a≠0 Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7

Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7

Bài 4 (2điểm) a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41

b/ Biết x∈Q và 0 < x < 1 Chứng minh xn < x với n∈N, n>2

Bài 5 (2điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và

AF cắt nhau tại H Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC

Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE

a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau

b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD

-

https://www.facebook.com/toan.boiduong Hotline: 0125 868 0640 Page 5

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Bài 1 (2đ) Từ c( b+d ) = 2bd suy ra b + d =

c

bd

2

(0,5đ)

Viết

d b

c a

+

+ =

bd

bc

2

2 =

d

c

Suy ra

b

a

=

d

c

=

d b

c a

+

+

(0,5đ)

Bài 2 (2đ) a/ Tính được x

3

2 4

3 − =

4

1

(0,5đ)

Tìm được x =

4

3 , x = 2

3

b/ Nêu 3+y > 0 và 2x + y > 0 (0,25đ)

Tìm được x =

2

3

Bài 3 (2đ) a/ Viết được 7x2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2) (0,5đ)

b/ Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 7 (0,25đ) f(1) và f(-1) chia hết cho 7 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 7 (0,25đ) Suy ra 2a + 2c chia hết cho 7 để có a chia hết cho 7 (0,25đ)

Suy ra (x+1)2 là số chẵn, để có (x+1)2 chia hết cho 4 (0,25đ)

Kết luận: không có số nguyên x, y nào thõa mãn đề bài (0,25đ)

+ 0 < x < 1 nên xn-1 < 0 và x > 0 (0,25đ)

https://www.facebook.com/toan.boiduong Hotline: 0125 868 0640 Page 6

Viết được AB - AC > BD - CE Suy ra: BM > BD – MN (0,25đ)

Hạ MI ⊥ BD và chứng minh BM > BI (0,25đ)

https://www.facebook.com/toan.boiduong Hotline: 0125 868 0640 Page 7

Sở GD & ĐT Đà Nẵng

Trường THCS Nguyễn Khuyến

-

KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII

Năm học 2007 – 2008 Môn: Toán 7 Thời gian: 90 phút

-

Bài 1: (1,5 điểm) Cho

2

A

=

1 x 2

= ; y là số nguyên âm lớn nhất

Bài 2: (2 điểm) Cho x 16 y 25 z 9

Bài 3: (1,5 điểm)

Tìm x, y Z∈ biết 2xy+3x = 4

16 - 72 + 90

Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1

a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức

b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho

AE = AB Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F

a/ Chứng minh tam giác BFC

b/ Biết góc ACB bằng 300.Chứng minh tam giác BFE đều

https://www.facebook.com/toan.boiduong Hotline: 0125 868 0640 Page 8

GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII ĐÁP ÁN TOÁN 7

Bài1: (1,5 điểm)

Bài 2: (2 điểm)

+ Thay x = 2 ⇒ = = = = = 2 (1đ)

Bài 3: (2 điểm)

Bài 4: (2 điểm)

(hoặc tính được P(1) = 0 ⇒ đpcm)

b) + Rút được: + x = 3 (1) (0,25đ)

+ Biến đổi được P = (3 + 3 ) + ( + x) – 9x + 1

= 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1 (1đ)

+ Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ)

(Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm)

https://www.facebook.com/toan.boiduong Hotline: 0125 868 0640 Page 9

Bài 5: (2,5 điểm)

(học sinh có thể chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm)

K F

A F H C

https://www.facebook.com/toan.boiduong Hotline: 0125 868 0640 Page 10

Sở GD & ĐT Đà Nẵng

Trường THCS Nguyễn Khuyến

-

KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VII

Năm học 2006 – 2007 Môn: Toán 7 Thời gian: 90 phút -

Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz biết:

25

z 9

y 4

x2 = 2 = 2 , và x – y + z = 4

3

b ab a

2

3

b c

2

2 + = ; a2 +ac+c2 =16

và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c Chứng minh rằng:

c a

c b a

c 2

+

+

=

Bài 3: (2,5 điểm0

a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:

f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + 7 x2 - 9

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90

Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC Các tia phân giác của góc A và

góc C cắt nhau tại O Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH Gọi K là giao điểm của FH và AI

a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI

b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng

https://www.facebook.com/toan.boiduong Hotline: 0125 868 0640 Page 11

Bài 1: (1điểm)

25

z

9

y

4

=

= và x, y, z ∈ N, x ≠ 0 ⇒

5

z 3

y 2

x = =

4

4 5 3 2

z y x 5

z 3

y

2

+

−

+

−

=

=

⇒x = 2; y = 3; z = 5 Vậy xyz = 235

0,5đ 0,25đ 0,25đ

Bài 2: (1,5 điểm)

Ta có: + + 2 + + 2 =

2 2

c ac a 3

b c

3

b ab a

2

2 + + (vì 9 + 16 = 25) Suy ra: 2c2= a(b – c)

⇒

c

c b

a

c

= (vì a ≠ 0; c ≠ 0)

⇒

c a

c b c

a

c b c 2 c

c b

a

c

2

+

+

= +

− +

=

−

0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ

Bài 3: (2,5điểm)

a/ (1 điểm) f(x) = ( m2- 25)x4 + (20 + 4m)x3 + 7x2 - 9 là đa thức bậc 3

biến x khi: m2 - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0

⇒ m =± 5 và m ≠ -5

Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x

0,5đ 0,25đ 0,25đ

b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 =(4x2 )2 - 2.4 x2.9 + 92 + 9

g(x) = (4x2 – 9)2 + 9

Với mọi giá trị của x ta có: = (4x2 – 9)2 ≥ 0 ⇒ g(x) = (4x2 – 9)2 + 9 ≥ 9

Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9

Khi và chỉ khi (4x2 – 9)2 = 0

⇒ 4x2

- 9 = 0 ⇒ 4x2 = 9 ⇒x2 =

4

9 ⇒ x =

2

3

±

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ

Bài 4: (2 điểm)

Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r)

Ta có: * 112 = 5a + r

⇒ 5a < 112 ⇒ a 22 (1)

*a > r ⇒ 5a + r < 5a + a

0,5đ

https://www.facebook.com/toan.boiduong Hotline: 0125 868 0640 Page 12

112 < 6a

a > 112 : 6

a ≥ 19 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ a = 19; 20; 21; 22

lập bảng số:

0,5đ

0,5đ

Bài 5: (3 điểm)

a/ (1,5 điểm) - Chứng minh ∆CHO = ∆ CFO (cạnh huyền – góc nhọn)

suy ra: CH = CF Kết luận ∆ FCH cân tại C

-Vẽ IG //AC (G FH) Chứng minh ∆ FIG cân tại I

- Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK

- Chứng minh ∆ AHK = ∆ IGK (g-c-g)

- Suy ra AK = KI

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

b/ (1,5 điểm)

Vẽ OE ⊥ AB tại E Tương tự câu a ta có: ∆ AEH, ∆ BEF thứ tự cân tại A, B

Suy ra: BE = BF và AE = AH

BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI Suy ra: ∆ ABI cân tại B

Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của ∆ ABI nên: B,

O, K là ba điểm thẳng hàng

A

E H

K

0,5đ 0,5đ 0,5đ