Tích phân đường và tích phân mặt

Tích phân ll...

Tích phân đường

và tích phân mặt

7.1 Tích phân đường 233

7.1.1 Tích phân đường của hàm số 233

7.1.2 Ý nghĩa của tích phân đường loại I 236

7.1.3 Tích phân đường của hàm vectơ 237

7.1.4 Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II 239

7.1.5 Định lý Green 240

7.1.6 Tích phân không phụ thuộc đường 242

7.2 Tích phân mặt 245

7.2.1 Tích phân mặt của hàm số 245

7.2.2 Tích phân mặt của hàm vectơ 246

7.2.3 Định lý Ostrogradski 249

7.2.4 Định lý Stokes 251

7.3 Lý thuyết trường 253

7.3.1 Khái niệm về trường 253

7.3.2 Gradient và luật bảo toàn 255

7.3.3 Phân tán và định lý Ostrogradski 256

7.3.4 Xoáy và định lý Stokes 257

7.1 Tích phân đường

7.1.1 Tích phân đường của hàm số

Giả sử C là đường cong trơn trong R2 với điểm đầu A và điểm cuối B, f là

hàm số xác định trên C

Phân hoạch T của đường cong C là một họ hữu hạn điểm trên đường cong

A =A,A , ,A = , nối tiếp nhau (theo nghĩa khúc B AA là một phần của i

khúcAA i+1, với mọi i=1,2, ,n-1) Ký hiệu ∆ là độ dài đoạn cong s k A k−1A k và δ T

là đường kính phân hoạch, tức là số lớn nhất trong các số ∆s k k, =1, ,n Chọn

0

T T C

trong đó ( )l C là độ dài của C

Để tính tích phân đường loại I chúng ta xét phương trình tham số của C theo

tham số tự nhiên

x=x s y=y s 0≤ ≤s l C( )

Phân hoạch T của C bởi A0=A,A , ,A1 n= sinh ra phân hoạch tương ứng của B

[0, ( )]l C bởi 0=s0<s1 <s n=l C( ) Điểm c k∈A k−1A k ứng với τk∈[s k−1s k] Khi ấy

f x t y t x t +y t dt

Nhận xét Hoàn toàn tương tự như trên, nếu C là đường cong không gian cho bởi

phương trình tham số x=x t( ) ,y=y t z( ) , =z t( ), a t≤ ≤ , thì tích phân đường b

của hàm f trên C được tính theo công thức

1 u du+

7.1.2 Ý nghĩa của tích phân đường loại I

Ý nghĩa hình học

Giả sử C là đường cong phẳng trong mặt

phẳng tọa độ Oxy, f là hàm số biến x và y,

nhận giá trị không âm Khi ấy, ta suy ra ngay

từ định nghĩa là tích phân đường của f theo C

là diện tích miền thẳng đứng giới hạn bởi C và

đường cong không gian xác định như sau

{( , , ( , )) : ( , )x y f x y x y ∈C}

Ý nghĩa cơ học

Giả sử C là đường cong vật chất với khối lượng riêng tại mỗi điểm là m x y ( , )Với mỗi phân hoạch T của C=AB, trên cung A k−1A k ta có thể xem như khối lượng riêng không đổi và bằng ( ,m x y Khi ấy tổng k k)

M x M

y M

7.1.3 Tích phân đường của hàm vectơ

Nếu như trong tổng σT khi định nghĩa tích phân đường loại I ta thay ∆s k bởi

∆ luôn dương, trong tích phân này giá trị ∆ và x k ∆ có thể âm, dương, hay y k

bằng 0, và phụ thuộc vào việc chọn điểm đầu, điểm cuối của đường cong Cho nên người ta còn viết rõ

( , )

B A

f x y dx

B A

0

6t dt 64

Chú ý Khi C là đường cong đóng kín,

tức là điểm đầu trùng với điểm cuối, thì

tích phân đường loại I không phụ thuộc

vào việc lựa chọn các điểm này Tuy

nhiên đối với tích phân đường loại II thì

ta phải xác định hướng đi (thông thường,

trong mặt phẳng, người ta quy định

hướng dương là hướng đi theo đó phần

mặt phẳng giới hạn bởi đường cong luôn

nằm phía bên trái, hướng ngược lại là hướng âm)

Khi đã xác định hướng rồi, lấy A, B là 2 điểm khác trên C, ta có

f x y dx

A B

f x y dx

và như vậy tích phân không phụ thuộc vào việc chọn A hay B là điểm đầu Tích

phân này còn được viết là

(0,1) (1,0)(ydx xdy− )

(0,0) (0,1)(ydx xdy− )= −1

điểm vật chất khối lượng đơn vị di chuyển theo đường cong C=AB trong R2

Trước hết ta nhớ rằng công sinh ra bởi lực P khi điểm vật chất di chuyển

được đoạn thẳng Q Q là 1 2

W = P Q Q 1 2

Như vậy, nếu dùng phân hoạch T của C bởi A0=A,A , ,A1 n = thì công sinh ra B

khi điểm vật chất di chuyển trên mỗi cung nhỏ A k−1A k được xấp xỉ bởi

x y

∂ ∂

∂ ∂ thay vì viết rõ giá trị

tương ứng tại (x,y) Nhắc lại rằng đường cong C gọi là trơn từng khúc nếu ánh xạ

xác định nó trơn từng khúc

Định lý. Giả thiết C là đường cong phẳng kín, đơn và trơn từng khúc, U là miền

bao gồm cả C và phần C bao bọc Khi ấy nếu f và g là những hàm khả vi liên tục trên miền mở chứa U thì

Chứng minh Chúng ta sẽ chứng minh công

thức trên cho trường hợp U có dạng đơn giản Đối

với trường hợp tổng quát chúng ta chỉ nêu ý tưởng

chính và không đi vào chi tiết kỹ thuật

x a

c) Đối với miền U mà có thể chia thành những miền con có dạng như đã nêu thì

công thức Green vẫn đúng vì tích phân kép ở vế

phải là hợp của tích phân kép trên từng miền nhỏ,

còn tích phân đường vế trái chỉ chứa những đường

là biên U (trên mỗi đoạn đường phụ bên trong như

B1B2 trên hình vẽ, tích phân được tính hai lần, một

lần từ A đến B và một lần từ B đến A, nên chúng

triệt tiêu nhau)

d) Đối với miền U tổng quát hơn, người ta cố định điểm A bất kỳ trên C và xét phân hoạch T: A0=A,A , ,A1 n = (theo hướng dương) Ký hiệu A C là đường gấp T

khúc với các đỉnh A , ,A0 n và U là miền bao bởi đường gấp khúc này Miền T U T

có dạng xét trong phần trên, do đó ta có công thức Green

Nhận xét Định lý Green cũng có thể áp dụng cho miền có “lỗ hổng” với lưu ý là lấy tích phân đường theo biên với hướng dương Thí dụ như trong hình vẽ bên

Muốn chứng minh công thức trên chỉ cần tách U thành miền bao bởi C1, C 2 và

đoạn B1B2 Tích phân đường dọc theo B1B2tham gia hai lần, một lần từ B1 đến B2

và một lần từ B2 đến B1 , nên triệt tiêu nhau Đối với miền có nhiều lỗ hổng, cách chứng minh hoàn toàn tương tự

Green thì tích phân trên bằng

7.1.6 Tích phân không phụ thuộc đường

Giả thiết A và B là hai điểm trong một miền mở U liên thông đường theo nghĩa

hai điểm bất kỳ trong miền đều nối với nhau được bằng một đường cong trơn từng

khúc Đường từ A tới B là đường cong trơn từng khúc nhận A là điểm đầu, B là

điểm cuối Định lý sau sẽ cho ta điều kiện khi nào tích phân đường không phụ

thuộc vào đường nối A với B

Định lý Giả thiết f và g liên tục trên U, A và B là hai điểm bất kỳ trong U Khi

Chứng minh Giả sử tích phân không phụ thuộc

đường, ta cố định ( , )x y0 0 ∈ và xây dựng F theo U

công thức

0 0

( , ) ( , )( , )

x y

x y

F x y = ∫ fdx+gdy

Hiển nhiên F chỉ phụ thuộc vào ( , ) x y và không phụ

thuộc vào đường lấy tích phân từ ( , )x y đến ( , )0 0 x y

Để tính đạo hàm riêng của F xét đường C1∪ C2 từ

(x0, y0) đến (x+∆x,y) Ta có

( , ) ( , )

d F x t y t dt F x b y b F x a y a

) ,

( y x

) , (x0 y0

) , (x y+ ∆y

) , (x+ ∆x y

Hình 7.7

Chứng tỏ tích phân không phụ thuộc vào đường Nếu C trơn từng khúc, tách tích

phân trên thành từng khúc và ta có ngay kết quả

3) Định lý có thể mở rộng cho tích phân đường trong không gian một cách dễ dàng Thí dụ

B A

f y

C

y xdx+ y x e+ dy+ ye dz

thuộc đường hay không

7.2 Tích phân mặt

7.2.1 Tích phân mặt của hàm số

Cũng như tích phân đường, chúng ta có thể xây dựng tích phân kép trên mặt

cong thay vì tích phân trên mặt phẳng

Giả sử S là một mặt cong trơn, T là một phân hoạch của S bởi các đường cong

trơn từng khúc bao gồm các mảnh S S1, , ,2 S n Gọi δ là đường kính phân hoạch T

tức là đường kính lớn nhất của các đường kính của các cầu nhỏ nhất chứa từng

trong đó U là miền đóng giới nội Giả thiết f liên tục Phân hoạch T của S tương

ứng với phân hoạch T’ của U thành các miền con M1, ,M n Theo công thức tính

diện tích mặt đã biết

k

k M

Tích phân mặt loại I có những tính chất tương tự như tích phân đường loại I và

được suy trực tiếp từ định nghĩa

Thí dụ Tính

S

zdS

∫∫ khi S là nửa mặt cầu x2+y2+z2=1, z≥ 0

2 2

x=u y=v z= − u +v u2+v2≤ 1Các hệ số Gauss của mặt cong (xem Chương 6) là

Ý nghĩa cơ học của tích phân mặt

Nếu xem S là một mặt vật chất với khối lượng riêng tại mỗi điểm (x,y,z) là

( , , )x y z

ρ , thì đại lượng (ρB k)∆S k là khối lượng của mảnh S khi xem như khối k

lượng riêng là không đổi và bằng ρ(B k) trênS Giới hạn của tổng k

7.2.2 Tích phân mặt của hàm vectơ

Giả sử S là mặt cong trơn Tại mỗi điểm P ∈ S ta có

hai vectơ pháp tuyến đơn vị đối chiều nhau là n+ và n−

Khi P di chuyển theo đường cong kín, đơn trên S thì n +

cũng di chuyển một cách liên tục về chính nó hoặc vền −

Nếu như với điểm B bất kỳ, sau khi di chuyển theo một

đường cong kín, đơn bất kỳ mà n lại trở về chính nó thì ta +

nói S là mặt cong hai phía Trong trường hợp ngược lại, S

được gọi là mặt cong một phía Lá Moebius ở hình vẽ bên

là một thí dụ mặt cong một phía

Giả sử S là mặt cong hai phía và tại mọi điểm vectơ pháp tuyến n (hoặc+ n ) −

đã được chọn Khi ấy ta nói S đã được định hướng Dưới đây ta chỉ xét các mặt

cong hai phía

Trên một mặt cong S đã định hướng, nếu có một đường cong kín C thì hướng của mặt cong sinh ra hướng của đường cong theo nguyên tắc “vặn nút chai”, hướng

dương trên đường cong C là hướng mà khi đi theo nó (thân đứng theo hướng của

Hình 7.8

mặt cong) ta sẽ thấy mặt cong luôn ở phía bên tay trái Ngược lại, nếu C đã được định hướng thì hướng của S cũng có thể được xác định sao cho phù hợp với quy tắc

trên

Đối với mặt trơn từng mảnh, việc định hướng có thể được tiến hành trên từng

mảnh của mặt cong sao cho hướng trên những đường tiếp giáp có chiều ngược nhau

Đối với mặt cong đóng kín (như mặt cầu) người ta sử dụng định hướng ra ngoài và định hướng vào trong

Bây giờ giả sử S là mặt cong trơn đã định hướng và F=( , , )f g h là hàm

vectơ trên S Chúng ta giữ nguyên những ký hiệu về phân hoạch T của S như trước:

trong đó ∆S k xy có giá trị tuyệt đối là diện tích hình chiếu của S xuống mặt phẳng k

tọa độ Oxy với dấu (+) nếu hướng của đường cong bao quanh S k chiếu xuống Oxy

có chiều quay dương ở mặt Oxy (ngược kim đồng hồ như hình vẽ) và dấu (−) nếu

ngược lại

Nếu như tổng xy

T

σ có giới hạn khi δ → và T 0

không phụ thuộc vào việc chọn B k∈S k, thì

giới hạn đó được gọi là tích phân mặt (loại II)

của h trên S theo ( , ) x y và ký hiệu là

0

T

xy T S

Đối với f và g ta cũng có những tích phân

tương tự (chú ý: Chiều quay dương của mặt

Ozx là đi từ Oz đến Ox, còn chiều quay dương của mặt Oyz là đi từ Oy đến Oz)

Tích phân mặt của hàm vectơ F trên S (hay còn gọi tích phân mặt loại II) là đại

trong đó

Hình 7.9

là thành phần thứ 3 của vectơ pháp tuyến đơn vị trên S (γ là góc tạo nên bởi pháp

tuyến của mặt S với trục Oz) Nếu như trên mảnh k S đại lượng C dương k

1) Nếu S được định hướng bằng n− thì trong công thức trên vế phải lấy dầu trừ

2) Nếu S là mặt trơn từng mảnh thì phải xét tích phân trên từng mảnh rồi cộng lại

ý nghĩa vật lý của tích phân mặt loại II

Giả sử dòng chất lỏng với mật độ

( , , )x y z

lựcG=( ,g g g1 2, 3) Hàm vectơ F=ϕG gọi là

trường lực của dòng Lượng của dòng chảy qua

mặt S trong một đơn vị thời gian được gọi là

Thí dụ Tính tích phân hàm vectơ F x y z( , , )=( ,y−x z, )2 trên mặt paraboloid

u v dudv π+ ≤

∫∫

(chú ý: mặt được định hướng vào trong)

7.2.3 Định lý Ostrogradski

Định lý Green cho ta công thức liên hệ tích phân kép và tích phân đường Định

lý Ostrogradski dưới đây cho công thức liên hệ giữa tích phân mặt với tích phân bội ba

Định lý Giả thiết S là mặt trơn từng mảnh, kín, bao quanh miền V trong R3 và được định hướng ra ngoài Nếu hàm vectơ F=( , , )f g h khả vi liên tục trên miền

Chứng minh Trước hết chúng ta xét trường hợp V

là hình trụ đáy dưới S1 cho bởi

mặt bên S3 có hình chiếu xuống Oxy là đường cong

C kín, trơn từng khúc bao miền U Ta có

( , ) ( , )

Từ hai đẳng thức trên ta có

h hdxdy dxdydz

Thay đổi vai trò các biến và các hàm f, g ta sẽ có công thức tương tự cho các miền

dạng đã xét Tổng của chúng chính là công thức Ostrogradski

Đối với miền tổng quát như nêu trong định lý, kỹ thuật chứng minh hoàn toàn tương tự như cách chứng minh định lý Green

Giả sử V là miền mở trong R3 Ta nói V là đơn liên nếu vùng bao bởi mặt cong kín, đơn, trơn từng mảnh bất kỳ trong V nằm trọn trong V

Hệ quả Giả thiết V là miền đơn liên trong R3 và F là hàm vectơ khả vi liên tục trên V Khi ấy tích phân của F theo bất kỳ mặt cong kín, trơn từng mảnh trong V bằng 0 khi và chỉ khi

Do tính liên tục, có thể giả thiết bất đẳng thức trên đúng với mọi điểm trong quả

cầu V0 tâm P0, bán kínhδ > Gọi S0 0 là mặt của quả cầu này Theo định lý giá trị trung bình ta có bất đẳng thức

xdydz+ydzdx+zdxdy

7.2.4 Định lý Stokes

Định lý Stokes là mở rộng của định lý Green cho đường cong kín trong không gian

Định lý Giả thiết S là mặt cong trơn và đơn, bao bởi đường cong kín, đơn C đã

được định hướng, F=( , , )f g h là hàm vectơ trên miền mở chứa S Khi ấy

Để ý rằng, trong phương trình tham số của mặt cong S, hai biến ( , )u v ∈ ⊆ RU 2

trong đó U là miền đóng, giới nội, có biên C trơn từng khúc (lưu ý là chiều của U

U

C được xác định bởi chiều của C phù hợp với hướng của S) Bằng cách tham số

hóa C và do đó C cũng được tham số hóa theo, ta suy ra ngay công thức U

Áp dụng công thức Green cho tích phân theo đường cong phẳng C ở vế phải và U

công thức đổi biến, ta thu được

Như vậy (1) đúng Tương tự, ta chứng minh công thức cho g,h, sau đó lấy tổng và

thu được công thức Stokes

Chú ý Đối với mặt cong trơn từng mảnh định lý Stokes vẫn đúng Để chứng minh chỉ cần áp dụng công thức cho từng mảnh rồi lấy tổng của chúng

Thí dụ Hãy kiểm tra công thức Stokes cho hàm vectơ

vì 2 ,A= x B=2 ,y C= Đúng như công thức Stokes 1

Để rút ra hệ quả về sự không phụ thuộc của tích phân đường trong không gian

vào đường lấy tích phân ta gọi miền V ⊆ R3 là miền đơn liên mặt nếu với mọi đường cong kín, trơn từng khúc C ⊆ V tìm được mặt cong trơn từng mảnh nhận C

làm biên Khối hình xuyến là một thí dụ của miền không đơn liên mặt

Hệ quả Giả thiết V là một miền đơn liên mặt và các hàm f, g, h liên tục cùng với các đạo hàm riêng f , f

Chứng minh Sự tương đương của (iv) với (i) hoặc (ii) suy ngay từ định lý Stokes

Sự tương đương của (iv) và (iii) được chứng minh tương tự như hệ quả của định lý Green trong mặt phẳng

7.3 Lý thuyết trường

7.3.1 Khái niệm về trường

1 Trường

Giả sử U là một miền trong không gian R3 và mỗi điểm p U∈ được gán một

đại lượng vô hướng ( )f p ∈ R (hoặc một đại lượng vectơ ( ) F p ∈R3 ) Khi ấy ta nói

trong U có trường vô hướng f (tương ứng, trường vectơ F) Như vậy, trường vô

hướng là một hàm số và trường vectơ là một hàm vectơ xác định trên miền đã cho

Nếu U là một miền trong mặt phẳng R2 thì trường vô hướng và trường vectơ

(phẳng) trong U được định nghĩa tương tự

Thí dụ

1) Trong một vùng không gian V, ký hiệu ( , ) T p t là nhiệt độ và ( , ) W p t là vectơ

tốc độ gió đo được tại điểm p V ∈ và tại thời điểm t Khi ấy, với mỗi t cố định,

trường nhiệt độ ( , )T p t là một trường vô hướng, còn trường gió ( , ) W p t là một

trường vectơ trong V

2) Giả sử hạt vật chất khối lượng m0 đặt ở gốc tọa độ Khi ấy theo định luật

Newton, lực hút tác động lên hạt vật chất khối lượng m đặt tại ( , , ) p x y z được cho

bởi công thức

0 3

F x y z = − r

trong đó g là hằng số hấp dẫn, r là vectơ định vị của p với các tọa độ x,y,z Đây là

một trường vectơ và được gọi là trường lực hấp dẫn

3) Giả sử điện tích q đặt ở gốc tọa độ Khi ấy xung quanh nó có trường điện thế

f x y z =

r

Đây là một trường vô hướng

2 Các khái niệm liên quan

Giả sử f là một trường vô hướng trong miền U ⊆ R3 Chúng ta giả thiết rằng

f khả vi và đạo hàm khác không trên miền U Khi ấy với mỗi hằng số c, phương

trình

( , , )

f x y z = c