Bài giảng điện tử môn Giải tích 2

Bài giảng điện tử môn Giải tích 2.Rất bổ ích cho sinh viên

Bài giảng giải tích II Giáo viên: Vũ Thị Thùy Khoa: Khoa học cơ bản

 Số đơn vị học trình: 3 (45 tiết)

 Gồm: 3 bài kiểm tra định kì

 Tài liệu bắt buộc:

[1] Giáo trình Giải tích 2_ NXB Trường ĐHSĐ,

năm 2010

Tài liệu tham khảo:

[2] Nguyễn Đình Trí , Toán học cao cấp 2, NXB

2.3 Phương trình vi phân c ấ p II

Chương

3.1 Chu ỗ i s ố

3.2 Chu ỗ i l ũ y th ừ a

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

ThS VŨ THỊ THÙY

x f

D

c

d

x f

f

b x

a

)(

1 x f

)(

2 x f

x f

dx dy

y x f I

) (

) (

2

1

) , (







) (

) (

2

1

) , (

y f

x f

b

a

dy y

x f dx

y

x O

d y

c

d

c

)(

1 y g

)(

2 y

) (

) (

2

1

) , (

y g

y g

d

c

dx y

x f dy

x

y D

2 :

x D

2

1

2 : 2

TÍCH PHÂN KÉP

Lúc này, miền D có thể được biểu diễn lại là

2

1 2 2

0 :

y

x D

x D

0

1

0 :1

x D

2 0

2

1 :2

y D

2

1

0 :

2 1

y

x y

dy y

( r  là tọa độ cực của M với

 cos

1 22

:

2 1

2 1

r D

x f

) (

) (

cos (

r f d

D

dxdy y

y

y

x D

; 0

4 :

2 2

y

r x

/

rdr r

d I

/

dr r

1 :

2 2

x

x y

y

x D

3

) sin 3 cos

x

x y

O

x y

x D

2

2

: Lúc này, ta có miền D

cos

d I

y y

sin

2 4

3

rdr d

sin 4

sin 2

x y

(

2 x y z

z 

+ mặt dưới là z  z1( x , y )

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉP

x z y

x z

4

2 2

z

z y

2 2

) 2 4

(

y x

dxdy y

0

) 2

( r rdr d

Việc tính tích phân đường loại 1 được đưa về quá trình

tính một tích phân xác định , theo biến số của pt đường cong lấy tích phân

Trường ĐH SAO ĐỎ

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

t x

x

; ) (

) (

Lưu ý : khi đưa tích phân đường về tích phân xác định thì

cận dưới của tích phân xác định luôn bé hơn cận trên

a/ Trường hợp (AB) có pt tham số

2 2 ( )

A với B ( 3 , 4 )

Trường ĐH SAO ĐỎ

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

A

B

Phương trình tham số của AB+ có VTCP AB  ( xB  xA, yB  yA)  ( 2 , 2 )+ qua A(1,2) là phương trình

t

x

2 2

2 1

có giới hạn tại 2 đầu mút A(1,2) và B(3,4)

2

2 1

4

2 1

x

2 2

( '

2 )

(

'

t y

t x

2 2 ( ) 0

2 2

( 2

1 0

3 2

3

2 2

3 2



x y

c

y x

x ( )

c/ Trường hợp (AB) có pt

2 ( )

Trường ĐH SAO ĐỎ

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

(AB)

P   xds

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

Ví dụ 10 Tính , với (AB) là parabol





) 5 , 2 ( );

1 , 0 (

12

B A

x y

) 1 , 0 (

A

) 5 , 2 (

17 



y

t y y

t x

x

; ) (

) (

) (

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

d/ Trường hợp (AB) có là đường cong trong không gian

Giả sử (AB) có pt tham số

z t

y t

x t

z t y t x

Trường ĐH SAO ĐỎ

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

2 2 ( )

z

t t

y

t t

( '

cos sin

) ( '

sin cos

) ( '

t z

t t

t t

y

t t

t t

x

t t

t t

t t t

z t

y t

x ' ( )) ( ' ( )) ( ' ( )) cos sin 2 cos sin



1 sin

cos 2

cos sin2 2 2







Trường ĐH SAO ĐỎ

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

2 2

2

2 ( ' ( )) ( ' ( )) 2 ))

( ' ( x t  y t  z t   t

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

Qdy Pdx

Qdy Pdx

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

Tính chất : như tích phân đường loại 1

Điểm khác biệt: phụ thuộc chiều lấy tích phân

Cách tính

) (

) , ( )

,

(

AB

dy y

x Q dx

y x P I

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

a/ Giả sử (AB) được xác định bởi pt

Gọi x1 là hoành độ điểm đầu của cung (AB)

( , ( [

x

x

dx x

y x y x Q x

y x P I

Lưu ý : lúc này có thể x 1 x2 hay x 1 x2 nhưng ta

không được đổi thứ tự giữa x1 và x2

(

t y y

t x x

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

)

( y

x

x 

b/ Giả sử (AB) được xác định bởi pt

Gọi y1 là tung độ điểm đầu của cung (AB)

( ' ) ), ( ( [

y

y

dy y

y x Q y

x y y x P I

c/ Giả sử (AB) được xác định bởi pt tham số

và t1 ứng với điểm đầu của cung (AB)

2

t ……… …cuối………

( ' )) ( ), ( (

t

t

dt t

y t

y t

x Q t

x t y t

x P I

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

; sin 2

cos

2

t t

y

t x

tdt

dx

cos 2

sin 2

Do đó

Trường ĐH SAO ĐỎ

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

Cho P(x,y) và Q(x,y) là những hàm có đạo hàm riêng cấp 1 l/tục

trên miền D có biên là đường cong kín (L), khi đó

P x

Q

(*)

trong đó

(*) lấy dấu “+” nếu chiều lấy tích phân trùng với

chiều dương quy ước

Trường ĐH SAO ĐỎ

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

D

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

ĐỊNH NGHĨA CHIỀU DƯƠNG QUY ƯỚC

Xét D là miền phẳng có biên là đường cong kín (L) Lúc này,chiều dương quy ước trên (L) là chiều mà đi theo đó , miền

Trường ĐH SAO ĐỎ

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

y

P x

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

(1) thỏa  ( x , y )  D  R2

(2) ( , ) ( , ) 0

) (

x Q dx

y x P

, với (L) là đường cong kín bất kỳ nằm trong D

(3) tồn tại hàm số u ( y x , ) xác định trên D sao cho

dy y

x Q dx

y x P y

x

du ( , )  ( , )  ( , )

) (

) , ( )

,

(

AB

dy y

x Q dx

y x P

không phụ thuộc vào đường cong nối A,B

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

Ví dụ 14 Tính , với A ( 1 , 1 ) và B ( 3 , 2 )

đồng thời (AB) không đi qua O

Trước hết, ta xét

2 2

) ,

(

y x

x y

2)

,

(

y x

y y

(

2

y x

xy y

(

2

y x

xy x

\ )

, ( x y  D  R2



TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

Vì vậy, tích phân đã cho không phụ thuộc vào đường cong nối (AB)

1

2 2

) 1 2

(

2 ) 1 2

(

y y

ydy dy

y I

2

13 ln 2

2 1

, với (L) là chu vi tam giác OAB, trong đó O(0,0), A(1,1) , B(0,2)

ngược chiều kim đồng hồ Cách 1: áp dụng định lý Green , ta xét

x Q

xy y

x

P

2

) , (

2 )

Trường ĐH SAO ĐỎ

Chương I – TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

x y

y dx

2

2 1

0

) (

Cách 2:

( )L (OA) (AB) (BO)

I           I1  I2  I3

OA

dy xy

dx xy



) (

2

AB

dy xy

dx xy

2 ( [ ]

2 )

2 (

2 2

y

y x

t

x

sin 2

4 ( )

sin 2

)(

sin 2

)(

cos 2

(



dt t t

dt t t

t I

y

y

2 2

BA

dy y

xydx I

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

0

2

1    

 I I I

Chương II – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

ThS VŨ THỊ THÙY

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

Giải tích 2

Giải phương trình sau x y

z z x

x

 

Phương trình (1.6) là phương trình nào? Cách giải ???

Trường ĐH SAO ĐỎ

Chương II – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI TUYẾN TÍNH

Bảng tóm tắt về nghiệm tổng quát của phương trình

Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính không

thuần nhất với hệ số không đổi

P,q là hằng số

y ’’ + py’ + qy = f(x) (2.2)

Cách giải:

2

2 Tìm nghiệm riêng của phương trình (2.2) là y*

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) là 1

đã cho rồi cân bằng các hệ số của các lũy thừa cùng bội của x.

Nghiệm riêng của phương trình (2.2) có dạng :

Ví dụ 4

 Giải các phương trình sau :

1 y’’ + y’ - 2y = 1 – x

2 y’’ - 4y’ +3y = ex( x+2 )

Vì α = 0 không là nghiệm phương trình đặc trưng vậy nghiệm riêng Y có dạng:

Y = e 0x.P1(x) = P1(x)  y = Ax + B ( A, B là hằng số )

Y’ = A , Y’’ = 0 Thay vào phương trình đã cho ta được :

Y’’ + Y’ – 2Y = A – 2(Ax + B) = -2Ax + A – 2B = 1 - x

Do đó : Y’ = ex.(Ax2 + Bx) + ex.(2Ax + B) = ex [Ax2 + (B + 2A)x + B]

Y’’ = ex [Ax2 + (B + 2A)x + B] + ex [2Ax2 + (B + 2A)]

= ex [Ax2 + (B + 4A)x + 2B + 2A]

Thế vào phương trình đã cho: ex [- 4Ax + 2A – 2B] = ex (x + 2)

Vậy :

Nghiệm tổng quát phải tìm là :

1 4 5 4

x x x x x

y C e C e     e

= ex [Ax3 + (B + 6A)x2 + 2(2B + 3A)x + 2B]

Thế vào ta đc phương trình : ex [6Ax + 2B] = ex x

Nghiệm tổng quát phải tìm là :

1 6 0

A B

f(x) = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx ,với Pm(x), Pn(x)

lần lượt là đa thức bậc m, n β là hằng số

y’’ + py’ + qy = Pm(x)cosβx + Pn(x)sinβx

± iβ không là nghiệm phương trình

đặc trưng (2.1) thì nghiệm riêng của

Y = x[Q1(x)cosβx + R1(x)sinβx]với Q1(x), R1(x)là những đa thức bậc

l = max(m,n)

 Giải các phương trình sau:

1 y’’ - 3y’ + 2y = 2sinx

2 y’’ + y = x.cosx

Ví dụ 5

Do ±iβ = ±i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng phương trình đã cho có dạng : Y = A.cosx + B.sinx

Y’ = - Asinx + Bcosx

Y’’= -Acosx - Bsinx

Thế vào phương trình ta được : (A – 3B)cosx + (3A + B)sinx = 2 sinx

Nghiệm của phương trình đã cho là :

3 5 1 5

A B

2 Giải phương trình sau :

y’’ + y = x.cosx

 Giải :

Phương trình đặc trưng : r2 + 1 = 0  r = ±i nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là : y = C1cosx + C2sinx

Vế phải của phương trình đã cho có dạng P1(x)cosβx , với P1(x) = x , β = 1

Vì : ±iβ = ±i là nghiệm của phương trình đặc trưng, ta tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng :

Y = x[(Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx] = [(Ax2 + Bx)cosx + (Cx2 + Dx)sinx]

Do đó :Y’ = [Cx2 + (D + 2A)x + B]cosx + [-Ax2 + (2C – B)x + D]sinx

Y’’ = [-Ax2 + (4C – B)x + 2D + A]cosx + [-Cx2 – (D + 4A)x + 2C

-2B]sinx

Thế vào phương trình đã cho ta được:

(4C + 2D + 2A)cosx + (-4Ax + 2C – 2B)sinx = xcosx

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là :

1 4 0

Chương III –

CHUỖI

ThS VŨ THỊ THÙY







b §L 2: Cho hai chuçi sè d ¬ng

Quy t¾c kh¶o s¸t tÝnh héi tô cña chuçi sè

1 Quy t¾c DAlembert

Cho

1

n n



* chuçi sè héi tô khi d < 1

* Chuỗi số phân kì khi d > 1

(d = 1 thì chưa kết luận gì về chuỗi số)

Cho d ương ng NÕu

* chuçi sè héi tô khic < 1

* chuçi sè ph©n k× khic > 1

(c = 1 th× ch a kÕt luËn g× vÒ chuçi sè)

1

n n

Ví dụ 1

Cho chuỗi số

1

2 5

1 Em hãy cho biết chuỗi số này có gì đặc biệt

2 Em dùng tiêu chuẩn gì để xét sự hội tụ của chuỗi này

Quy t¾c t×m b¸n kÝnh héi tô cña chuçi luü thõa

B íc 3: XÐt sù héi tô cña chuçi luü thõa t¹i x = R vµ x = - R

B íc 4: KÕt luËn miÒn héi tô cña Chuçi.

Ví dụ 3: Tìm khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa

x n

1

; 5

nghe của quý thầy cô!