Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.. - Câu 6 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm..[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11 - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
3
x
x
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân
biệt lập thành một cấp số nhân: x3 7x2(m6)x m 0.
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tổng 22 32 20162
S
Câu 4 (1,0 điểm) Người ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5
cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh , , , , , , , ,
A B C D E F G H I , mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự
các cuốn sách) Tính xác suất để hai học sinh A và B nhận được phần thưởng giống nhau
Câu 5 (1,0 điểm) Cho dãy số xn được xác định bởi: 2
1 2016, n 1 n n 1, 1,2,3,
x x x x n a) Chứng minh rằng dãy xn tăng và lim x n .
b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt 1 2
n
n
y
Tính lim yn
Câu 6 (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc
với mặt phẳng ABCD Biết AB a BC a , 3 và SD a 5.
a) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng CB CD lần lượt tại ,IJ Gọi,
H là hình chiếu vuông góc của A trên SC Hãy xác định các giao điểm , K L của , SB SD với
HIJ và chứng minh rằng AK SBC
b) Tính diện tích tứ giác AKHL.
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A, M là
trung điểm của AB Đường thẳng CM y và : 3 0
7 3;
3
K
là trọng tâm tam giác ACM
Đường thẳng AB đi qua điểm D1;4 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm M
có hoành độ dương và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng
2x y 4 0
Câu 8 (1,0 điểm) Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện xyz 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P xy yz zx x y z x y z
-Hết -ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015-2016
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11 - THPT
I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
- Câu 6 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm
II ĐÁP ÁN:
1 (2,0 điểm)
ĐKXĐ: cos cos2 0
x
Phương trình đã cho tương đương
2
cos cos sin sin
cos cos
2
x x
0,5
2
sin
cos
x
x
2
3 tan x 2 tanx 3 0 tanx 3
1
3
3
1
6 3
Kiểm tra ĐK thỏa mãn Vậy nghiệm của PT là x 3 k ;x 6 k , k .
2 (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương
2
2
1 ( 1)( 6 ) 0
6 0 (1)
x
0,25 Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt
khác 1, hay: 2
5
1 6.1 0
m m
Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm x x1, 2 và x 3 1, trong đó x x1, 2là nghiệm của (1)
Theo định lý Viet ta có
1 2
6
(2)
0,25
Xét các trường hợp sau:
*) Nếu x x1 3 x22 x1 x22 (3) Từ (2) và (3) ta có hệ:
0,25
(Đáp án có 04 trang)
Trang 32
6 0 6
*) Nếu x x1 2 x32 x x1 2 (4) Từ (2) và (4) ta có hệ: 1
1 2
1 6 1
m
x x
Vậy, có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m1,m8,m27
0,25
3 (1,0 điểm)
Ta có
2
2
, 2
k
k
k
Suy ra 2
1
k
Cho k 2,3, , 2016 ta được
Vậy
2016 2016
4 (1,0 điểm)
Gọi x y z x y z, , ( , , Î ¥) lần lượt là số học sinh được nhận các bộ giải thưởng (Toán-Lý);
(Toán-Hóa) và (Lý-Hóa) Ta có hệ:
ì + = ì =
ï + = Û ï =
ï + = ï =
0,25
Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 9 học sinh là: C C C94 .53 22=1260 0,25
Gọi T là biến cố “hai học sinh A và B có phần thưởng giống nhau”.
+) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Lý), có: C C C72 .53 22 =210 cách phát.
+) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Hóa) có: C C C17 .64 22=105cách phát.
+) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Lý- Hóa) có: C C74 33=35cách phát.
0,25
Vậy xác suất cầm tìm là
210 105 35 5
0,25
5
a (0,5 điểm)
x x x x x x x Do đó n x n tăng. 0,25
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng x n n 1, n 1 (1) Thật vậy, (1) đúng với
1
n Giả sử (1) đúng với n n ( 1) thì
x x x n n n n n Vậy (1) đúng với mọi n Từ x n tăng ngặt và x n suy ra limn 1, n 1 x n .
0,25
b (0,5 điểm)
Ta có x n+1- =1 x x n( n- 1) Suy ra 1 ( )
-0,25
Trang 4Từ đó 1
n
y
Từ
1
n
x
x
Vậy
2016
2015
n
y
0,25
6 a(1,0 điểm)
Trong (SBC) gọi K=SB IHÇ Þ K=SBÇ(HIJ)
Trong (SCD) gọi L=SD JHÇ Þ L=SDÇ(HIJ) 0,5
Ta có
ì ^
íï ^
ïî , mà AH ^SC Suy ra SC^(IJH) 0,25
Suy ra AK ^SC Mà BC^(SAB)Þ BC^AK Vậy AK^(SBC) 0,25
b(1,0 điểm)
Ta có SA= SD2- AD2 =a 2; 2 2
3
AH
6
AK
Do AK^(SBC)Þ AK^KH , do đó 2 2
2 6
a
Tương tự phần (a) thì AL^(SCD)Þ AL^HL Từ đó tính được
15
a
Suy ra
2
AKHL AKH ALH
a
7 (1,0 điểm).
Trang 5Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trước hết ta chứng minh MC^IK.
Thật vậy, gọi H N, lần lượt là trung điểm BC AC, ;G=AH CMÇ Suy ra G là trọng
tâm tam giác ABC Mặt khác . K là trọng tâm tam giác ACM nên KG HE|| Suy ra
||
KG AB Mà IM ^AB nên KG^IM .
Rõ ràng AH ^MK nên G là trực tâm tam giác MIK Suy ra MC^IK.
0,25
Đường thẳng KI qua K và vuông góc với CM nên có phương trình: x+ =3 0.
Tọa độ I thỏa mãn hệ
3; 2
I
ï - + = ï
Gọi M m( ;3)Î MC m, >0.Ta có DMuuuur=(m- -1; 1 ;) IMuuur=(m+3;5 )
2 ( )
é =-ê
ê = ë uuuur uuur
0,25
Suy ra M(2;3), DMuuuur= -(1; 1)
Từ đó suy ra AB x: + -y 5=0. Gọi C c( ;3)Î CM
Do
7 3;
3
K
là trọng tâm ACM nên A(- 11- c;1) Mà A ABÎ suy ra
11 c 1 5 0 c 15
- - + - = Û
=-0,25
Từ đó A(4;1 ,) (B 0;5 ,) (C - 15;3 ) Thử lại ta thấy AB ¹ AC Suy ra không tồn tại
, ,
8 (1,0 điểm).
Đặt az thì xya 1 và P xy ya ax 15 x2y2a2 7x y a 1
Xét hai trường hợp:
* Nếu cả 3 số x y a, , đều âm Áp dụng BĐT Côsi ta được
2 2 2 3
15 x +y +a - 7 x+ + ³y a 15 3 x y a +7.3 - xya=15 3 21 16+ >
Suy ra P>48 1 49.+ =
0,25
* Nếu trong 3 số x y a, , có một số âm, hai số dương Không mất tổng quát, giả sử
x< y> a> Đặt x1=- > Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta đượcx 0
3 x +y +a ³ 2y+2a+x .
0,25
Trang 6Do đó
1
1 1 1
³ çççè + + ÷ë÷ø + + - + - û+
2
÷
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y= =a 2x1> và 0 x ya1 = hay1
32
3 2 2
x
Vậy Pmin=49, chẳng hạn khi ( ) 3 3 3 2
2
÷
0,25