de cuong tu hoc toan cuon 2

 Dạng 2: Bài toán về phương trình mặt phẳng và các vấn đề liên quan  Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định VTPT  Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách  Viết [r]

CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT

Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Quang Tuấn – GV trường THPT Hàn Thuyên

Có n1 cách chọn đối tượng A1 Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2

 Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2

k n

n A

n C

c) Quy tắc nhân xác suất

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:

, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số

khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3

Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả C52.C53.5! = 12000 số

Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là C C14 .4! 96053 

Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán

Ví dụ 3 Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10 Hỏi

có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh

Lời giải

Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là C126

Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là:C76

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là:C96

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là:C86

Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử Nhưng trên cạnh

CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:

1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010

2) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trênđường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n 2) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đãcho Tìm n

3) Cho tập A 0;1;2;3;4;5 , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khácnhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.hoctoancapba.com

2.2 Nhị thức Newton:

Ví dụ 1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức

12

n

x x

1(2 )

Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T9 = C12824 7920

Ví dụ 2 Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A n3 8C n2C1n 49

Nhận thấy: a x k k a k ( x)k do đó thay x  vào cả hai vế của (*) ta có:1

x x

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là  C164 1820

Gọi B là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màuvàng” Ta xét ba khả năng sau:

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: C C14 53

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: C C C14 52 71

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: C C C14 15 72hoctoancapba.com

Ví dụ 2 Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó

có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ 3 con K)

Lời giải

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là: C 552 2598960

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1

Ví dụ 3 Cho E là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số:

0,1,2,3,4,5,6,7 Lấy ngẫu nhiên một số trong E Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5

Lời giải

Giả sử abcde E  a 0 có 7 cách chon a;

Chọn bcde có A74 n E( ) 7 A 74 5880

4 3

5( ) 5880; và 5 có : A 6A 1560

Ví dụ 5 Trong một kì thi Thí sinh được phép thi 3 lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9.

Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7 Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượtqua kì thi ở lần thứ ba là 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu

P(A A ) P(A ).P(A / A ) 0,1.0,7

P(A A A ) P(A ).P(A / A ).P(A / A A ) 0,1.0,3.0,3

2) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học sinh trên Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A.

3) Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11 Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các sốtrên viên bi lại với nhau Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ

4) Một chiếc hộp đứng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu

đỏ Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu

CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2

1 Kiến thức liên quan

1.1 Công thức nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng

dx x C 

1, 11

1

tancos x dx x C

tan( )cos (ax b )dxa ax b C

( )( ) ( )

) (

ham nguyen

lay v

ham dao

lay dx

du dv

Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:

Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương.

ta được kết quả

21

ln 22

I 

 Tính

ln 2 2 0

6

11/ 1 sin cos 2 / 3 / sinx sin

 

2

3 0

1 cos 2 1sin

* Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu.

- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất

- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số

- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức

- Nếu tích phân chứa

dx

x thì đặt t lnx

- Nếu tích phân chứa e x thì đặt t e x.

- Nếu tích phân chứa



- Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t sinx

- Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t cosx

- Nếu tích phân chứa cos2





1) ln

e

b J x xdx

1 0

1 1

0

2 2

Vậy

3

3 ln2

1ln

Ví dụ 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

a) y x 2, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2

0 0

| 2 3 |

(e xx dx)



6

1 3 0

(x x x dx)



1(3sinx 2cosx )dx

 



12

2 2( 3)

2

dx x

14

x 



12

6 0

sin

xcos

x d x

ln(1 )



11 1(2 2)ln

CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2

1 Kiến thức liên quan

*) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là

*) Góc giữa hai mặt phẳng :

.) )

Vơ nghiệm d , d’ chéo nhau

*) Gĩc giữa 2 đường thẳng : Gọi  là gĩc giữa d và d’

/

/

(0 90 )

1.4 Một số dạng tốn thường gặp

 Dạng 1: Các bài tốn cơ bản( các yếu tố đã cho sẵn)

 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm, đi qua một điểm và song song với mặt phẳngcho trước

 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, song song với đường thẳng cho trước

 Chứng minh ABCD là một tứ diện, tính diện tích tam giác biết tọa độ ba điểm

 Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng, mặt phẳng

 Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính, đi qua 4 điểm đã cho

 Dạng 2: Bài tốn về phương trình mặt phẳng và các vấn đề liên quan

 Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định VTPT

 Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

 Viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn

 Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến gĩc

 Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

 Các dạng tốn khác về mặt phẳng

 Dạng 3: Bài tốn về phương trình đường thẳng và các vấn đề liên quan

 Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định VTCP

 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác

 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến gĩc

 Viết phương trình đường thẳng liên quan đến diên tích tam giác

 Dạng 4 Các bài tốn tổng hợp

1.5 Phương trình mặt cầu

1.5.1 Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R

  2  2  2 r2(S): x a y b z c (1)

+/(S) : x2y2z2 2ax 2by 2cz d 0    (2) ( với a2b2c2 d 0 )

+/Ta cĩ: Tâm I(a ; b ; c) và r  a2 b2c2 d

1.5.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho (S) : x a  2y b 2z c 2 r2và ( ) : Ax + By + Cz + D = 0

Gọi d = d(I,()) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp()

 d > r : (S)  () = 

 d = r : () tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (): tiếp diện)

*Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp( ) )

+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp() : ta có a d  n( ) 

*Tìm bán kính R và tâm H của đường tròn giao tuyến:

+ Bán kính R r2 d2( ,( ))I 

+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp() )

1.5.3 Các dạng toán cơ bản về mặt cầu

 Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính

 Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định hệ số của phương trình tổng quát

 Bài toán khác liên quan đến mặt cầu

 Suy ra phương trình (R) là: -4x-30y+16z+D=0

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2;0;1)

1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC

 Phương trình mặt phẳng(ABC) : x+2y-4z+6=0

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC

Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3) B(2;2;2) C(1;2;0) Viết phương trình mặt

phẳng đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng đó bằng 3.

 Suy ra a=b=c=1 hoặc a=c=1, b=-1

 Phương trình mp(P) là x+y+z-6=0 hoặc x-y+z-2=0

Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;b;0), C( 0;0;c), trong đó b,c

dương và mặt phẳng (P): y-z+1=0 Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt

phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng

13

1 ; 1 3 ;1 2

2 ;1 2 ;3; 2 3 2; 2 1

Ví dụ7 : Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1) Viết phương trình tham số

của đường thẳng d biết:

a) d qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC

b) d qua C và vuông góc với mp(ABC)

Lời giải

a) I là trung điểm BC nên

1 31; ;

b) Thực hiện tương tự: d và 2 cắt nhau.

c) Thực hiện tương tự: d và 3 chéo nhau

Ví dụ 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x-2y-3z+5=0 Viết phương

trình mặt phẳng vuông góc với (P) đồng thời chứa Oy

t t

a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A.

b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC.

c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P).

I  

 , bán kính r =

69

2 có phương trình:

2 3 2 2 69( 1) ( ) ( 2)

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S)

b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1)

 Tìm tọa độ hình chiếu của

A lên d, điểm đx của A qua d

Bài 3 Trong không gian Oxyz, cho (P): x+y+z-1=0 và

Xét vị trí của hai đường thẳng Viết ptmp chứa 2 đường thẳng trên.

Bài 5 Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng

Xét vị trí của 2 đường thẳng Viết ptmp đi qua chứa đường thẳngd1 đồng thời //d2

Bài 6 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0),

D(0 ; 0 ; 3)

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ra ABCD là một tứ diện

b) Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực của đọan AA’

Bài 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; 1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5)

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB

b) Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) tại A

c) Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho tam giác MOA vuông tại O

Bài 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4)

a) Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

AB

b) Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B Tìm điểm đối xứng của B qua điểmA

Bài 9 Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)

a) Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)

b) Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0

c) Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0

d) Viết ptmp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0

e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz

f) Viết pt mp(P) qua các điểm là hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục tọa độ

Bài 10 Cho hai đường thẳng (d):

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng

c) Tính góc giữa (d1) và (d2)

Bài 11 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1)

a) Viết phương trình đường thẳng BC

b) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD

Bài 12 Cho   : 2x5y z 17 0 và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng

3x – y + 4z – 27 = 0 và 6x + 3y – z + 7 = 0

a) Tìm giao điểm A của (d) và  

b) Viết phương trình đường thẳng   đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng

 

Bài 13 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình

x + 2y + z –1= 0

a) Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P)

b) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P)

Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; 2 ) và đường thẳng

a) Viết phương trình mp(P) qua điểm M và chứa đường thẳng (d)

b) Viết phương trình mp (Q), biết mp(Q) qua M và vuông góc đường thẳng (d)

c) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (d)

Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng

(P) :x y 2z 1 0 và mặt cầu (S) : x2 y2z2 2x4y 6z 8 0

a) Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)