De thi HSG Hai Phong 2015 2016

Chứng minh rằng trong 2017 đường thẳng trên có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy..[r]

UBND TP HẢI PHÒNG ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015 – 2016

––––––––– Môn thi: Toán – Lớp 9

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi: 12/04/2016

Bài 1 (2 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức : A x 3 6x 1976 với x 3 20 14 2 320 14 2

b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : x y z   xyz 4

Rút gọn biểu thức : B x4 y 4 z  y4 x 4 z  z4 x 4 y  xyz

Bài 2 (2 điểm)

a) Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 px 1 0 và x3, x4 là hai nghiệm

của phương trình x2qx 1 0

Chứng minh : x1  x3 x2  x3 x1 x4 x2 x4 q2 p2

b) Giải hệ phương trình :

2 2

2

3

x y xy







Bài 3 (2 điểm)

a) Tìm 3 số x, y, z nguyên dương thỏa mãn : 2016x y 2001  2015y z 2001

và x2y2z2 là số nguyên tố

b) Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn : x + y + z = 3 Chứng minh rằng :

1

x x yz  y y xz z z xy 

Bài 4 (3 điểm)

1 Cho tam giác ABC cân tại A (A 90o ), vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh AB,

AC lần lượt tại hai điểm B và C Trên cung nhỏ BC của (O) nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M (M B; C) Gọi I, H, K theo thứ tự là hình chiếu của điểm M trên BC, CA, AB và P là giao điểm của MB và IK, Q là giao điểm của MC với IH Gọi (O1) và (O2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp MPK và MQH Gọi D là trung điểm của đoạn BC, N là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) Chứng minh :

a) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2)

b) Ba điểm M, N, D thẳng hàng

2 Trên dây cung AB của (O) (AB không đi qua tâm O) lấy hai điểm P và Q sao cho AP =

PQ = QB Vẽ bán kính OK, OH thứ tự qua điểm P và điểm Q Chứng minh : AK KH

Bài 5 (1 điểm)

Cho 2017 đường thẳng phân biệt đều cắt hai cạnh đối của một hình vuông thành hai phần có

tỉ số diện tích là 1 : 2 Chứng minh rằng trong 2017 đường thẳng trên có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy