Giáo trình Cơ lý thuyết

H ệ lực: là tập hợp nhiều lực tác dụng lên một vật rắn Hình 1.1.4:F1 ,F2 ,F,F4 Tuỳ thuộc đường tác dụng của các lực nằm trong cùng một mặt phẳng hay không cùng một mặt phẳng chúng ta

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH HÀ TĨNH

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ VIỆT -ĐỨC

GIÁO TRÌNH

H ệ cao đẳng nghề, nghề CTTBCK

(Lưu hành nội bộ)

M ỤC LỤC Chương1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

1 Các khái niệm cơ bản……… ……… 3

2 Các tiên đề tĩnh học……… ……… 6

3 Liên kết và phản lực liên kết……… ……… 7

Chương 2: HỆ LỰC PHẲNG 1 Hệ lực phẳng đồng quy……… 13

2 Hệ lực phẳng song song……… 16

Chương 3: MÔMEN - NGẪU LỰC 1 Mô men……… 20

2 Ngẫu lực……… ……… 22

3 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ… ……….…… ….25

4 Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song… ……….…… … 30

Chương 4: MA SÁT - TRỌNG TÂM - CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH 1 Ma sát……… .33

2 Trọng tâm……… ……… 37

3 Cân bằng ổn định……… ……… 42

Chương 5: HỆ LỰC KHÔNG GIAN 1 Chiếu một lực lên 3 trục - Mô men của một lực đối với một trục… … 46

2 Điều kiện cân bằng của một hệ lực không gian……… …… … 48

Chương 6: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM - ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 1 Động lực học chất điểm……… ……… 54

2 Động lực học vật rắn……… 63

Chương 7: CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC 1 Công của lực - Công suất……… ……… 73

2 Các định lý cơ bản của động lực học……… ……… 77

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

1.1 V ẬT RẮN TUYỆT ĐỐI

- Vật rắn tuyệt đối là một vật rắn vô hạn các chất điểm mà khoảng cách giữa hai

điểm bất kỳ luôn luôn không đổi Đây là mô hình đơn giản nhất của vật thể, nó được xem

xét khi biến dạng của nó có thể bỏ qua được do bé quá hoặc không đóng vai trò quan

trọng đối với mục tiêu khảo sát Vật rắn tuyệt đối được gọi tắt là vật rắn

- Trong trường hợp này chúng được coi như không bị biến dạng, nói cách khác là

rắn tuyệt đối Vậy: vật rắn tuyệt đối là một vật thể mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

thuộc vật luôn luôn không đổi Cơ học quan niệm vật tuyệt đối rắn là vật khi chịu lực tác

dụng của lực, có hình dạng và kích thước không đổi

1.2 L ỰC

1.2.1 Khái ni ệm Lực là tác động tương hỗ từ những vật hoặc từ môi trường chung

quanh lên vật đang xét, làm cho vật thay đổi vận tốc hoặc làm cho vật biến dạng Ví dụ:

Đầu búa tác động lên vật rèn là lực tác động từ vật này sang vật khác Trọng lực tác động

vào vật là lực hấp dẫn (còn gọi là lực hút) của trái đất lên vật đó (trọng lượng là một

thành phần của trọng lực, với sai số nhỏ trọng lượng của vật coi như trùng với trọng lực

của vật đó) Để xác định được một lực ta cần có ba yếu tố:

- Điểm đặt của lực là nơi mà tại đó vật nhận được tác dụng từ vật khác

- Hướng chỉ phương và chiều tác dụng của lực cũng là phương và chiều chuyển

động của chất điểm (vật thể có kích thước vô cùng bé) từ trạng thái yên nghỉ dưới tác

động cơ học

- Cường độ tác động hay còn gọi là trị số biểu thị độ mạnh hay yếu của lực

1.2.2 Đo lực Treo các vật có khối lượng khác nhau vào một lò xo thẳng đứng, độ giãn

của lò xo tỉ lệ với khối lượng của vật Mặt khác tại một địa điểm xác định, trọng lượng

của vật tỉ lệ với khối lượng của nó: Pmg (1.1.1)

P: trọng lượng; m: khối lượng; g: gia tốc trọng trường (g = 9,81 m/s2)

Như vậy có thể rút ra kết luận: độ giãn của lò xo tỉ lệ với trọng lượng của vật Căn

cứ vào kết luận này người ta chế tạo các dụng cụ đo trị số của lực đó gọi là lực kế (Hình

1.1.1) Dùng lực kế đo được trọng lượng, từ đó lại suy ra khối lượng của vật Như vậy

dùng lực kế ta cũng đo được khối lượng của vật một cách gián tiếp (công thức 1.1.1)

H ình 1.1.1 Đo lực Hình 1.1.2 Biểu diễn lực tác dụng lên vật thể

Đơn vị chính để đo trị số của lực là Niu tơn, kí hiệu: N Bội số của niutơn là kilô

niutơn: kN (1kN = 103N), mêga niutơn: MN (1MN = 106N)

1.2.3 Bi ểu diễn lực Đối chiếu với các khái niệm toán học đã biết ta thấy về mặt hình

học có thể biểu diễn lực dưới dạng một véctơ trong đó:

- Gốc của véctơ là điểm đặt lực

- Phương và chiều của véctơ là phương và chiều của lực Giá mang véctơ lực được

+ Độ dài của AB biểu diễn trị số của lực AB theo một tỷ lệ xích nào đó, chẳng

hạn trị số của lực AB là 200N, nếu biểu diễn lực đó theo tỉ lệ 10N trên một độ dài 1mm

1.3.1 Hai l ực trực đối: là hai lực có cùng trị số, cùng đường tác dụng nhưng ngược

chiều nhau (Hình 1.1.3a, b)

H ình 1.1.3 Hai lực trao đổi Hình 1.1.4 Hệ lực tác dụng lên vật thể

1.3.2 H ệ lực: là tập hợp nhiều lực tác dụng lên một vật rắn (Hình 1.1.4):F1 ,F2 ,F,F4

Tuỳ thuộc đường tác dụng của các lực nằm trong cùng một mặt phẳng hay không

cùng một mặt phẳng chúng ta có hệ lực mặt phẳng hay hệ lực không gian Cũng tuỳ

thuộc đường tác dụng gặp nhau hoặc song song với nhau ta có hệ lực đồng quy (hình

1.1.5), hệ lực song song (hình 1.1.6)

Hình 1.1.5 Hình 1.1.6

1.3.3 H ệ lực tương đương: Hai hệ lực được gọi là tương đương khi chúng gây cho cùng

một vật rắn các trạng thái chuyển động cơ học như nhau (hình 1.1.7)

Kí hiệu: F1,F2, ,F N  1,2, ,k, dấu ≡ đọc là tương đương

Hình 1.1.7 Hình 1.1.8

1.3.4 H ợp lực: Hợp lực của hệ là một lực duy nhất tương đương với hệ lực Gọi R là

hợp lực của hệ lực F1,F2, ,F N thì RF1,F2, ,F N (hình 1.1.8)

1.3.5 H ệ lực cân bằng: là hệ lực khi tác dụng vào vật rắn sẽ không làm thay đổi trạng

thái động học của vật rắn (nếu vật đang đứng yên thì đứng yên, nếu vật đang chuyển

động thì chuyển động tịnh tiến thẳng đều) Nói cách khác, hệ lực cân bằng tương đương

với 0: F1,F2, ,F N 0

+ Vật chịu tác dụng bởi hệ lực cân bằng được gọi là vật ở trạng thái cân bằng;

+ Vật ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng yên hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng

đều

Tiên đề là những mệnh đề đơn giản, cơ bản và được rút ra từ thực tiễn (không

chứng minh) Chúng ta nghiên cứu hệ tiên đề tĩnh học làm cơ sở cho việc nghiên cứu về

sự cân bằng của vật rắn

2.1 T IÊN ĐỀ 1: (tiên đề về hai lực cân bằng) Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng

lên một vật rắn được cân bằng là chúng phải trực đối nhau (hình 1.2.1)

Hình 1.2.1

2.2 T IÊN ĐỀ 2: (tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng) Tác dụng của một hệ lực lên một

vật rắn không thay đổi khi thêm vào hoặc bớt đi hai lực cân bằng

Như vậy nếu:  F, F '

là hai lực cân bằng thì (hình 1.2.2a):

H ệ quả: (định lý trượt lực): Tác dụng của lực lên vật rắn không thay đổi khi trượt lực

trên đường tác dụng của nó (hình 1.2.3)

Hình 1.2.3 Hình 1.2.

Thực vậy, khi thêm hai lực cân bằng (FB,F'B

) tại B có cùng cường độ với lực FA

ta có (hình 1.2.4):  FA F B,F'B,F A Hai lực F'B,F A là hai lực cân bằng nên dựa vào

định luật 2 có thể bớt hai lực này Vậy: FB

 FANhư vậy trong trường hợp vật rắn (chỉ đối với vật rắn) điểm đặt của lực không cần

chú ý Chỉ có đường tác dụng của lực là quan trọng Lực trong tĩnh học vật rắn có tính

chất của véctơ trượt

2.3 TI ÊN ĐỀ 3 (tiên đề về quy tắc hình bình hành lực): Hai lực tác dụng lên vật rắn tại

một điểm tương đương với một lực tác dụng tại cùng điểm đó và có véctơ lực bằng véctơ

chéo của hình bình hành có hai cạnh là hai véc tơ lực của các lực đã cho (hình 1.2.5)

H ình 1.2.5 Hình 1.2.6

Nhờ tiên đề này cho phép sử dụng phép tính cộng véc tơ để cộng lực Do hệ quả

trượt lực, điều kiện hai lực đặt tại một điểm có thể mở rộng thành điều kiện hai đường tác

dụng của hai lực gặp nhau

2.4 T IÊN ĐỀ 4 (tiên đề tác dụng và phản tác dụng): Lực tác dụng và lực phản tác dụng

giữa hai vật có cùng cường độ, cùng đường tác dụng và hướng ngược chiều nhau (Hình

1.2.6)

Chú ý rằng lực tác dụng và phản tác dụng không phải là hai lực cân bằng vì chúng

không tác dụng lên cùng một vật rắn Tiên đề phản tác dụng đúng cho mọi hệ quy chiếu

(quán tính và không quán tính) và làm cơ sở cho việc mở rộng các kết quả đã khảo sát đối

với một vật cho vật khác trong bài toán hệ vật

3.1 KHÁI NI ỆM

Vật tự do và vật chịu liên kết

+ Vật tự do là vật không có liên quan gì đến các vật khác và có thể thực hiện được

mọi di chuyển trong không gian tại thời điểm đang xét

+ Một vật trong không gian ba chiều có thể có 6 di chuyển khác nhau gọi là 6 bậc

tự do (dọc theo ba trục và quay quanh ba trục) Mọi chuyển động của vật trên thực tế đều

có thể quy về sự tổng hợp của một trong các chuyển động đó Liên kết là những điều kiện

ràng buộc di chuyển của vật Trong tĩnh học các điều kiên ràng buộc được thực hiện bằng

sự tiếp xúc hoặc nối (bản lề, dây hình 1.3.1a, b) trực tiếp giữa các vật

Hình 1.3.1

+ Vật chịu liên kết là vật có một hay nhiều phương di chuyển bị hạn chế hay cản

trở bởi những vật khác Các vật chịu liên kết được gọi là những vật không tự do Lực tác

dụng tương hỗ giữa các vật liên kết với nhau được gọi là lực liên kết Các lực không phải

là lực liên kết được gọi là lực đặt vào (lực hoạt động)

+ Vật gây liên kết: Tất cả những đối tượng có tác dụng khống chế dịch chuyển của

vật đang khảo sát được gọi là các liên kết

3.2 PH ẢN LỰC LIÊN KẾT.

3.2.1 Định nghĩa Những lực mà các vật khác tác dụng lên vật đang khảo sát làm hạn

chế hay cản trở chuyển động của nó gọi là các phản lực liên kết (lực phản tác dụng do các

liên kết gây ra) Đối với một vật thì lực do các vật khác tác dụng lên nó được gọi là các

phản lực liên kết, còn các lực do nó tác dụng lên vật liên kết với nó (thường là liên kết

tựa) được gọi là áp lực (hình 1.3.2 a, b)

3.2.2 Nguyên t ắc xác định phản lực liên kết

- Phản lực liên kết bao giờ cũng đặt vào vật thể khảo sát tại điểm tiếp xúc giữa nó

và vật gây liên kết

- Phản lực liên kết cùng phương nhưng ngược chiều với chuyển động bị cản trở

Nói cách khác nó vuông góc với phương của chuyển động

- Trị số của phản lực liên kết phụ thuộc vào các lực chủ động tác dụng lên vật

Hình 1.3.2

3.2.3 Gi ải phóng liên kết Vật không tự do cân bằng có thể được xem là vật tự do cân

bằng, bằng cách giải phóng tất cả các liên kết và thay thế tác dụng các liên kết được giải

phóng bằng các phản lực liên kết thích hợp (Hình 1.3.3)

H ình 1.3.3

Chú ý rằng các phản lực liên kết sinh ra để ứng phó với các lực đặt vào Chúng là

các ẩn trong bài toán tĩnh học Trong một số trường hợp dựa vào kết cấu của các liên kết

có thể đoán nhận được phương và chiều của các phản lực liên kết, còn trong mọi trường

hợp trị số của chúng là chưa biết

3.2.4 Các lo ại liên kết Một số quy tắc xác định các đặc trưng (phương và chiều) của

phản lực liên kết đối với một số liên kết thường gặp.

a Liên k ết tựa (không ma sát): hai vật trưc tiếp tựa lên nhau, tiếp xúc theo bề mặt hoặc

đường hoặc điểm: phản lực tựa có phương vuông góc với mặt tựa (hoặc đường tựa), có

chiều cản trở (theo phương pháp tuyến) di chuyển của vật ký hiệu là N (hình 1.3.4a, b, c)

b Liên k ết dây mềm, thẳng và không giản Phản lực của dây tác dụng lên vật khảo sát

đặt vào điểm buộc dây và hướng vào dây Phản lực của vật rắn tác dụng lên dây được gọi

là sức căng dây, ký hiệu là T Sức căng dây hướng dọc dây và hướng ra đối với mặt cắt

dây, làm dây luôn ở trạng thái căng (hình 1.3.5)

Hình 1.3.4

Hình 1.3.5

c Liên k ết bản lề: Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung, có thể quay

đối với nhau Trong trường hợp này hai vật tựa vào nhau theo đường nhưng điểm tựa

chưa được xác định Phản lực liên kết R đi qua tâm của trục và có phương, chiều chưa

được xác định Phản lực được phân thành hai thành phần vuông góc với nhau Rx Ry

 , nằm trong mặt phẳng thẳng góc với đường trục tâm của bản lề (hình 1.3.6)

Hình 1.3.6

d Liên k ết gối: dùng để đỡ các dàn, khung, Có loại gối cố định và gối con lăn Phản lực

liên kết của gối cố định được xác định như liên kết bản lề, còn phản lực liên kết của gối

con lăn được tìm theo quy tắc của phản lực liên kết tựa (hình 1.3.7)

Hình 1.3.7

e Liên kết gối cầu: Được thực hiện nhờ một quả cầu gắn vào đầu một vật gây liên kết

Phản lực gối đầu đi qua tâm O của vỏ cầu, còn phương và chiều chưa được xác định

Thường phản lực gối cầu được phân thành ba thành phần vuông góc ((Rx,Ry,Rz)

(hình 1.3.8)

Hình 1.3.8 Hình 1.3.9

Trường hợp liên kết cối (ổ chặn) tương tự như liên kết gối cầu đã trình bày trên,

nghĩa là chỉ biết điểm đặt của phản lực liên kết, còn phương chiều của nó chưa được xác

định Do vậy phản lực được chia thành ba thành phần vuông góc với nhau, trong đó có

một thành phần hướng theo phương bị chặn, còn hai thành phần khác nằm trong mặt

phẳng vuông góc với các phương bị chặn (hình 1.3.9)

g Liên kết ngàm: là liên kết khi vật được nối cứng vào một vật khác (ví dụ trường hợp

hai vật được hàn cứng với nhau) Trong trưòng hợp ngàm phẳng (hệ lực khảo sát là hệ

lực phẳng), phản lực liên kết gồm hai lực thẳng góc với nhau và một ngẫu lực nằm trong

mặt phẳng chứa hai thành phần lực và cũng là mặt phẳng tác dụng của hệ lực (hình

1.3.10)

Hình 1.3.10 Hình 1.3.11

Đối với ngàm không gian (hệ lực khảo sát là hệ lực không gian) phản lực liên kết

gồm ba thành phần lực vuông góc với nhau (dọc 3 trục toạ độ) và ba thành phần ngẫu

lực trong 3 mặt phẳng toạ độ (hình 1.3.11)

h Liên k ết thanh Liên kết thanh được thực hiện nhờ các thanh thoả mãn các điều kiện

sau: chỉ có lực tác dụng ở hai đầu, còn dọc thanh không có lực nào tác dụng và trọng

lượng thanh được bỏ qua (ví dụ các thanh không trọng lượng, liên kết bằng liên kết trụ

hoặc cầu) Phản lực có phương qua hai điểm chịu lực (hình 1.3.12)

Nói chung liên kết có thể có kết cấu đa dạng, xác định phương chiều của phản lực

liên kết trong trường hợp chung theo quy tắc sau: tương ứng với hướng di chuyển thẳng

bị ngăn trở có phản lực ngược chiều, tương ứng với hướng di chuyển quay bị ngăn trở có

ngẫu lực ngược chiều

Hình 1.3.12 Hình 1.3.13

3.2.5 X ác định hệ lực tác dụng lên vật khảo sát

- Khi khảo sát một vật rắn, ta phải tách vật rắn khỏi các liên kết và xác định hệ lực

tác dụng lên vật rắn đó Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm các tải trọng và các

phản lực Tải trọng trực tiếp tác động lên vật khảo sát Việc đặt các tải trọng lên vật khảo

sát thường ít khó khăn, vấn đề quan trọng là các phản lực cho đúng và đầy đủ Muốn thế

chúng ta lần lượt thay các liên kết bằng các phản lực tương ứng, công việc đó được gọi là

giải phóng liên kết

- Sau khi giải phóng liên kết, vật khảo sát được coi như một vật tự do cân bằng

dưới tác dụng của hệ lực bao gồm các tải trọng và các phản lực

Ví dụ 1.3.1: Cần trục có trọng lượng P đặt ở điểm C, mang vật nặng Q

, ,

_

Cơ lý thuyờ́t 13

Chương 2: HỆ LỰC PHẲNG

1.1 CHI ẾU Mệ̃T LỰC LấN HAI TRỤC TỌA Đệ̃

1.1.1 Định nghĩa.

* Định nghĩa: Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực gồm các

lực có đ-ờng tác dụng cùng nằm trong một mặt phẳng và

cắt nhau tại một điểm

1.1.2 Chi ếu mụ̣t lực lờn hệ tọa đụ̣

lên trục nào là độ dài

đại số của đoạn thẳng

giới hạn bởi hình

chiếu của gốc và mút lực lên trục đó

Hình chiếu của lực F lên trục Ox và Oy đ-ợc ký hiệu

1.2 THU G ỌN HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY

1.2.1 H ợp lực của hai lực đồng quy

Quy tắc hình bình hành lực Giả sử có hai lực F1 và F2 đồng quy tại O (Hình 2.1.5)

H ình 2.1.5

Theo tiên đề hình bình hành lực, chúng ta có hợp lực R đặt tại O, phương chiều và

trị số được biểu diễn bằng đường chéo của hình bình hành lực

F F F F R

Vì: cos180   cos

Nên: 2 2 1 2cos

2 2 1 2

F F F F

R

Vì sin(180-α) = sinα nên:

1, 2 xác định phương chiều của R

1.2.2 H ợp lực của một hệ lực phẳng đồng quy

a Phương pháp hình học

F yi = 0 Công thức (3.1) là điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng

đồng quy

Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng quy cân

bằng là tổng hình chiếu các lực lên hai trục toạ độ đều

phải bằng không

VD1:

P = 25KN,  = 140 Xác định N, S?

Giải:

Pistông cân bằng d-ới tác dụng

của lực đã cho P , phản lực của

25

= 25,8KN

thay S vào (1)  N = S.sin = 25,8.sin140 =

6,2KN

Vậy áp lực của pistông lên thành xilanh có trị số 6,2KN

cùng ph-ơng, ng-ợc chiều với N , còn lực tác dụng lên

định phẳn lực của thanh AB, AC (SAB,SAC?) Bỏ qua ma sát

ở ròng rọc, trọng l-ợng của các thanh và dây

2.1 Khỏi ni ệm Hệ lực phẳng song song là một trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng

(cú cỏc đường tỏc dụng song song và nằm trong một mặt phẳng)

2.2 Thu gọn hai lực song song

Hai lực song song cùng chiều

Giả sử có hai lực song song

CB CA

Nh- vậy: Hai lực song song cùng chiều có hợp lực, hợp

lực đó song song cùng chiều với các lực đã cho, có trị

số bằng tổng trị số các lực, còn điểm đặt chia trong

đ-ờng nối điểm đặt hai lực thành hai đoạn thẳng tỷ lệ

nghịch với trị số của hai lực ấy

= 4,5m

Thu gän hai lùc song song ng-îc chiÒu

Gi¶ sö cã hai lùc F1 , F2 song song ng-îc chiÒu vµ

CA CB

Nh- vậy: hai lực song song ng-ợc chiều không cùng trị

số có hợp lực Hợp lực song song cùng chiều với lực có

trị số lớn, có trị số bằng hiệu trị số hai lực và điểm

đặt chia ngoài điểm đặt nối hai lực đã cho thành hai

đoạn thẳng tỷ lệ nghịch với trị số hai lực ấy

Chương 3: Mễ MEN - NGẪU LỰC

1.1 M ễ MEN CỦA Mệ̃T LỰC ĐỐI VỚI Mệ̃T ĐIấ̉M

H ình 3.1.1

Thực tế chứng tỏ rằng một lực tác dụng lên vật rắn

vừa có khả năng làm cho vật rắn di chuyển vừa có khả

năng làm cho vật rắn quay Xét về mômen của một lực đối

với một điểm là xét khả năng của lực làm vật quay quanh

điểm đó

Giả sử vật rắn có thể quay quanh điểm O cố định

Tác dụng quay mà F gây ra cho

vật phụ thuộc vào trị số cua lực

(F) và khoảng cách a từ O đến đ-ờng

tác dụng của lực Còn chiều quay mà

lực gây ra cho vật có thể là thuận

hay ng-ợc chiều kim đồng hồ Đại

l-ợng đặc tr-ng cho cả tác dụng

quay và chiều quay đó đ-ợc gọi là

mômen của một lực đối với một điểm

Định nghĩa: Mômen của một lực đối với một điểm là một

đại l-ợng đại số có giá trị tuyệt đối bằng tích số giữa

trị số của lực với cánh tay đòn và có dấu (+) hay (-)

tùy thuộc vào chiều quay của lực F quanh tâm O là

ng-ợc hay thuận chiều kim đồng hồ

F: trị số của lực

a: cánh tay đòn

hoặc ký hiệu: mo(F ) = F.a

* Cách xác định mômen của một lực đối với một điểm:

- Từ điểm lấy mômenhạ đ-ờng vuông góc đến đ-ờng tác

dụng của lực để tìm cánh tay đòn a

- Tính mô men theo công thức (3.1), khi xác định

chiều quay để lấy dấu cần đứng ở điểm lấy mômen

và vòng theo chiều của lực quanh điểm đó

Cánh tay đòn của lực F 1

: a1 = OA = 0,4m Cánh tay đòn của lực F 2

: a2 = OH = OAsin30o = 0,4.0,5 = 0,2m

Mô men của lực F 1

đối với điểm O là: mo(F 1

) = -F1.a1 = -320.0,4 = -128 Nm

Mô men của lực F 2

đối với điểm O là: mo(F2

) = F2.a2 = 320.0,2 = 64 Nm Hình 3.1.2 là sơ đồ của một tay quay, qua ví dụ trên cho thấy: Lực tác dụng vuông

góc với trục quay sẽ cho tác dụng quay lớn nhất

1.2 ĐỊNH LÝ VARINHÔNG

Mô men của hợp lực của một hệ lực phẳng đối với một điểm nào đó nằm trên mặt

phẳng bằng tổng đại số mô men của các lực thành phần đối với điểm đó:

) ( )

(R m F

m o   o (3.1.3) Thật vậy, giả sử hệ lực là hai lực đồng qui F1 và F2 đặt tại O có hợp lực là R

(Hình 3.1.3), O là một điểm bất kì nằm trên mặt phẳng của hệ lực đó

Ta phải chứng minh: mo(R) = mo(F1) + mo (F2) Nối OA, từ O kẻ đường thẳng

Ox vuông góc với OA Từ mút các lực F1, F2 và R hạ các đường Bb, Cc, Dd vuông góc

với Ox Ta có: mo(F1) = 2SOAB = OA.Ob

mo(F2) = 2SOAC = OA.Oc

mo(R) = 2SOAD = OA.Od Theo hình vẽ Od = Ob Vì thế: Mo(R) = OA.(Ob + Oc) = OA.Ob + OA.Oc

Suy ra: mo(R) = mo(F1) + mo(F2)

Tổng quát: Nếu R là hợp lực của hệ lực phẳng F1,F2, F nthì:

mo(R) = mo(F1) + mo(F2) + … + mo(F n) =  mo(F )

2.1 KHÁI NI ỆM NGẪU LỰC

2.1 1 Định nghĩa

a Các ví d ụ: Hình 3.2.1 là các ví dụ thực tế về ngẫu lực, hình a cắt ren nhờ tác dụng

quay của ngẫu lực đặt vào tay quay tarô, hình b và c là vặn vít nhờ tác dụng quay của

ngẫu lực đặt vào tuanơvít

b Định nghĩa: Hệ lực gồm hai lực song song, ngược chiều có trị số bằng nhau nhưng

không cùng đường tác dụng gọi là ngẫu lực, ký hiệu (F ,F ) Khoảng cách d giữa hai

đường tác dụng của hai lực gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực (Hình 3.2.2)

Mômen của ngẫu lực bằng mômen của một lực thành phần đối với điểm nằm trên

đường tác dụng của lực kia, tức là: m Fd m0 F m0' F' (3.2.1)

O nằm trên đường tác dụng của  F '

, còn O' nằm trên đường tác dụng của lực F

H ình 3.2.1 Hình 3.2.2 Hình 3.2.3

- Mômen của ngẫu lực  F F '

đối với một điểm O (tức tổng mômen của các lực F

và F '

đối với điểm O) chính bằng mômen của ngẫu lực (hình 3.2.3)

Ngẫu lực có tác dụng làm quay vật Ta trượt các lực để cho đoạn nối điểm của hai

lực là cánh tay đòn, từ đây ta quy ước biểu diễn ngẫu lực như vậy

2.1.2 Các y ếu tố của ngẫu lực Một ngẫu lực đặc trưng bởi các yếu tố sau:

a Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực là mặt phẳng chứa 2 lực thành phần của ngẫu lực, gọi

tắt là mặt phẳng ngẫu lực

b Chiều quay của ngẫu lực trong mặt phẳng ngẫu lực: hoặc thuận với chiều kim đồng hồ

hoặc ngược lại

c Cường độ tác dụng của ngẫu lực: được đặc trưng bởi tích số F.d được gọi là trị số

mômen của ngẫu lực, trong đó F là trị số của các lực thành phần, d là khoảng cách giữa

hai lực thành phần, được gọi là tay đòn ngẫu lực Đơn vị ngẫu lực là Niutơnmét, kí hiệu:

Nm và các bội số của nó như: Kilôniutơnmét (kNm), Mêganiutơnmét (MNm)

Trong hệ lực không gian ngẫu lực được biểu diễn bằng véctơ mômen ngẫu lực, ký

hiệu là m, nó được xác định (hình 3.2.4):

Hình 3.2.4 Hình 3.2.5

- Phương: vuông góc với mặt phẳng ngẫu lực

- Chiều: nhìn từ ngọn xuống gốc vectơ thấy chiều quay của ngẫu lực ngược chiều

quay của kim đồng hồ

- Môđun của véctơ mômen ngẫu lực bằng trị số mômen ngẫu lực tức bằng F.d

Quy ước gốc của véctơ m nằm trên mặt phẳng ngẫu lực

Trong trường hợp các ngẫu lực tác dụng trong cùng một mặt phẳng hoặc trong các

mặt phẳng song song với nhau, ngẫu lực được biểu diễn qua mômen đại số ngẫu lực, ký

hiệu: m F.d, lấy dấu + khi chiều quay ngẫu lực ngược chiều kim đồng hồ và lấy dấu -

trong trường hợp ngược lại Thí dụ (hình 3.2.5):

;

2.1.3 Tính ch ất của ngẫu lực trên một mặt phẳng

a Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta di chuyển vị trí trong mặt phẳng tác

dụng của nó

b Có thể biến đổi lực và cánh tay đòn của ngẫu lực tùy ý, miễn là bảo đảm trị số và chiều

quay của nó Đặc biệt có thể biến đổi hệ ngẫu lực phẳng về chung một cách tay đòn

H ình 3.2.6 Hình 3.2.7

Từ các tính chất trên có thể rút ra: tác dụng của ngẫu lực trên một mặt phẳng hoàn

toàn được đặc trưng bằng chiều quay và trị số mômen của nó Điều này cho phép chúng

ta biểu diễn một ngẫu lực bằng chiều quay và trị số mô men của nó như hình 3.2.6b

2.2 THU G ỌN HỆ NGẪU LỰC

Giả sử cho hệ ngẫu lực phẳng lần lượt có mômen là m1, m2,…mn (Hình 3.2.7)

Chúng ta biến đổi hệ ngẫu lực này thành hệ ngẫu lực (F1, F1), ( F2, F2), … ( F n , F n )

có cùng cánh tay đòn a

Hợp lực R của các lực ( F1, F2 F n ) đặt tại A và B là hai lực song song, ngược

chiều, có cùng trị số R = RA = RB = F1 - F2 +…+ Fn tạo thành ngẫu lực (R,R)

Ngẫu lực (R,R)gọi là ngẫu lực tổng hợp có mô men:

M = Ra = F1a - F2a +…+ Fna = m1 + m2+…+ mn

Tổng quát: M = m (3.2.2)

Hợp một hệ ngẫu lực phẳng cho ta một ngẫu lực tổng hợp có mô men bằng tổng

đại số mô men các ngẫu lực thuộc hệ

V í dụ 3.2.1: Hệ ngẫu lực phẳng gồm các ngẫu lực lần lượt có mô men m1 = 60Nm, m2 =

120Nm, m3 = - 30Nm Hãy xác định:

- Mô men của ngẫu lực tổng hợp?

- Ngẫu lực tổng hợp có cánh tay đòn là 0,5m thì trị số của R bằng bao nhiêu?

2.3 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ NGẪU LỰC

Muốn hệ ngẫu lực phẳng cân bằng thì ngẫu lực tổng hợp của nó phải cân bằng, khi

đó M = 0 Nhưng M = m, nên điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng là:

m = 0 (3.2.3) Điều kiện cần và đủ để một hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng đại số mô men của

các ngẫu lực thuộc hệ bằng 0

V í dụ 3.2.2: Bánh răng quay được quanh trục O, có bán kính OA = r = 10 cm, chịu tác

dụng của một ngẫu lực có M = 20Ncm và được giữ cân bằng nhờ con cóc AB có trọng

lượng không đáng kể Góc giữa hai đoạn thẳng AB và OA bằng 45 Bỏ qua ma sát ở ổ

trục quay O và trọng lượng của bánh răng Tìm phản lực của con cóc và của trục quay O

(Hình 3.2.8)

H ình 3.2.8

Bài giải

Khảo sát sự cân bằng của bánh răng O Bánh răng chịu tác dụng một ngẫu lực

phẳng gồm: ngẫu lực có mô men quay M, ngẫu lực phản lực R của trục và phản lực S

của con cóc (đường truyền lực qua con cóc là đường AB, do đó đường truyền lực qua ổ

trục O phải là đường song song với AB để sao cho hai lực thành phần S và R hình

thành một ngẫu lực cân bằng với ngẫu lực có mô men quay M), có cánh tay đòn là r.sin

45 sin

 = 2,84N, R = S = 2,84N

3.1 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG TỔNG QUÁT

3.1.1 H ệ lực phẳng bất kỳ Hệ lực phẳng bất kỳ là hệ lực gồm các lực có đường tác

dụng nằm bất kỳ trong cùng một mặt phẳng (Hình 3.3.1)

Hình 3.3.1 Hình 3.3.2

Hệ lực phẳng bất kì là trường hợp tổng quát của hệ lực phẳng

3.1.2 Véctơ chính của hệ lực phẳng Cho hệ lực phẳng F1,F2, ,F N

a Định nghĩa: Véctơ chính của hệ lực phẳng kí hiệu R '

là véctơ tổng của các véctơ lực của hệ lực: 

F F

F R

1 2

1

'



(3.3.1)

b Xác định véctơ chính: Có thể sử dụng phương pháp vẽ đa giác lực (hình 3.3.2)

Trong trường hợp này đa giác lực là đa giác phẳng Cũng có thể xác định véctơ

chính qua các hình chiếu của nó trên hai trục toạ độ vuông góc:

x x

R

1 2

y y

R

1 2

; '

' ) ' , cos(

; ' ' 2 ' 2

R

R R Oy R

R R Ox R

a Mômen c ủa một lực đối với một điểm: Mômen của một lực đối với điểm O, ký hiệu:

Trong đó: F là trị số của lực, d là khoảng cách thẳng góc từ O đến đường tác dụng

của lực được gọi là tay đòn mômen, lấy dấu "+" khi lực có chiều quay quanh O ngược

với chiều kim đồng hồ và lấy dấu "-" trong trường hợp ngược lại

Mômen của lực đối với điểm bằng không khi lực đi qua điểm lấy mômen (d = 0)

Về trị số mômen của lực đối với điểm bằng hai lần diện tích của tam giác có đỉnh là điểm

lấy mômen, có cạnh đáy là véctơ lực: m o F  2dtOAB

Chú ý:

- Mômen của ngẫu lực bằng mômen của một lực thành phần đối với điểm nằm

trên đường tác dụng của lực thành phần kia, tức là (hình 3.3.4): O nằm trên đường tác

Fd

m     (3.3.5)

- Mômen của ngẫu lực  F.F '

đối với một điểm O (tức tổng mômen của các lực F

và F '

đối với điểm O) chính bằng mômen của ngẫu lực (hình 3.3.5):

   F m F m

oh F OH F OH F OH F OH OH F Fd

'

) '





b Mômen chính của hệ lực phẳng đối với điểm O là đại lượng đại số, ký hiệu m o, bằng

tổng mômen của các lực của hệ lực đối với điểm O:

m

1 0 0

2 0 1

0 (3.3.6)

Nhận xét:

- Véctơ chính là véctơ tự do, còn mômen chính phụ thuộc vào điểm lấy mômen,

nghĩa là mômen chính đối với hai điểm khác nhau sẽ khác nhau:

 ' ' 0 '

R m m

m O O (3.3.7)

Trong đó: m Ovà '

O

m là mômen chính của hệ lực đối với điểm O và O' tương ứng, còn m0 ' R' 0 là mômen đối với điểm O' của véctơ chính đặt tại O

- Đối với hệ lực đồng quy thì mômen chính của hệ lực đối với điểm đồng quy

bằng 0 Đối với hệ ngẫu lực thì véctơ chính của hệ ngẫu lực luôn luôn bằng 0, còn

mômen chính của hệ ngẫu lực đối với điểm bất kỳ nào cũng bằng mômen của ngẫu lực

tổng cộng, tức bằng tổng mômen các ngẫu lực thành phần của hệ ngẫu lực

3.1.4 Điều kiện cân bằng

Định lý 3.3.1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là véctơ chính và mômen

chính của hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt tiêu

0 , ,

,

1 0

1 2

k

k O

N

k k

N

F m m

F R

F F

F (3.3.8)

Ch ứng minh: Điều kiện cần được chứng minh dựa vào các dạng chuẩn của hệ lực vì nếu

điều kiện (3.3.8) không thoả mãn thì hệ lực phẳng hoặc tương đương với một lực hoặc

một ngẫu lực, chứng đều thoả mãn định luật 1 Điều kiện đủ là hiển nhiên vì khi véctơ

chính bằng 0, hệ lực thu gọn về tâm 0 sẽ được một ngẫu lực, tức thu gọn về hai lực Do

ngẫu lực bằng 0 thì hai lực đó là hai lực cân bằng

3.2 CÁC D ẠNG PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG Điều kiện (3.3.8) có thể được viết

dưới dạng các phương trình được gọi là các phương trình cân bằng Có ba dạng phương

trình cân bằng:

D ạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực cân bằng là tổng hình chiếu các lực trên hai trục

toạ độ vuông góc và tổng mômen các lực đối với một điểm bất kỳ đồng thời triệt tiêu

(hình 3.3.6): 0 ; 0 ;   0

1 0 1

k ky N

Hai phương trình đầu tương đương với ' 0







k N

k

F m

m (3.3.10)

D ạng 2: Điều kiện cần biết và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các lực

trên một trục và tổng mômen các lực đối với hai điểm A và B tuỳ ý triệt tiêu với điều

kiện AB không vuông góc với trục chiếu (hình 3.3.7)

; 0

1 1

k k N

k N

k

F (3.3.11)

Chứng minh: Điều kiện cần được chứng minh dựa vào dạng chuẩn: nếu một trong ba

điều kiện trên không được thoả mãn thì hệ lực đã cho tương đương với một lực hoặc một

ngẫu lực, tức không thoả mãn định luật 1 Vậy hệ lực không thể cân bằng Để chứng

minh điều kiện đủ ta nhận xét rằng nếu cả ba điều kiện trên được thoả mãn thì hệ lực

không có hợp lực, cũng không thể tương đương với ngẫu lực (R 0 )thì dựa vào hai điều

kiện cuối và dựa và định lý Varinhông:

Hệ lực cũng không thể tương đương với một ngẫu lực mo nào khác 0 vì trong

trường hợp này do véctơ chính triệt tiêu và do công thức biến thiên mômen chính (công

A

F m m

m

Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các hệ lực đối

với ba điểm A, B, C không thẳng hàng triệt tiêu (hình 3.3.8)

Hình 3.3.8 Hình 3.3.9

Ch ứng minh: Điều kiện cần là hiển nhiên vì nếu một trong ba điều kiên trên thoả mãn thì

hệ lực tương đương với ngẫu lực khác 0, sẽ không thoả mãn định luật 1 Để chứng minh

điều kiện đủ tuơng tự cách chứng minh cho dạng 2, nếu ba điều kiện được thoả mãn thì

hệ lực không thể có hợp lực vì dựa vào định lý Varinhông, nếu ba điều kiện trên thoả

mãn thì hợp lực phải đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng Điều này vô lý, vậy

0



R tức R'  0 Hệ lực cũng không thể tương đương với một ngẫu lực 0

m nào khác 0, vì khi R'  0 ta có (dựa vào định lý biến thiên mômen chính 3.3.11):

F m M

Ví dụ 3.3.1: Một cột đồng chất, có trọng lượng P chiều dài 2a được chôn thẳng đứng

(ngàm) Cột chịu tác dụng lực nằm ngang F đặt tại A và ngẫu lực m (hình 3.3.9), tìm:

- Phản lực tại ngàm O

- Trạng thái lực mặt cắt ngang cách chân trụ khoảng cách x

Bài giải

Để xác định phản lực tại O ta giải phóng cột khỏi ngàm O và xem cột là vật tự do

(không còn bị ngàm nữa) dưới tác dụng của các lực đặt vào (lực hoạt động) gồm: trọng

lượng P, lực F , ngẫu lực m và các phản lực liên kết ngàm gồm hai lực thành phần

vuông góc, X0, Y0 và ngẫu lực phản lực 0

m Cột sẽ cân bằng dưới tác dụng của hệ lực:

0 ) , , ,

Xo = -F, Yo = P, mo = m + 2aF

4 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC PHẲNG SONG SONG: Thời gian: 1h

Hệ lực phẳng song song là một trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng (có các

đường tác dụng song song và nằm trong một mặt phẳng) nên từ điều kiện cân bằng của

hệ lực phẳng có thể suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song

Giả sử hệ lực phẳng song song (F 1, F 2, … ,F n) (Hình 3.4.1) Chọn hệ trục Oxy

có trục Oy song song với các lực, lúc đó hiển nhiên Fx = 0 nên các dạng phương trình

cân bằng của hệ lực song song là:

H ình 3.4.1

4.1 D ẠNG 1 Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng hình

chiếu của các lực lên trục song song với chúng và tổng đại số mô men của các lực đối với

một điểm bất kì trên mặt phẳng tác dụng của các lực đều bằng không

0)(

F

o

y

(3.4.1)

(Dạng này được suy ra từ dạng 1 của hệ lực phẳng bất kì)

4.2 D ẠNG 2 Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng đại

số mô men của các lực đối với hai điểm bất kì trên mặt phẳng tác dụng của các lực đều

bằng không (đường thẳng đi qua 2 điểm bất kì không song song với phương các lực)

0)(

0)(

F m

B

A (3.4.2)

Phương AB không song song với các lực

(Dạng này được suy ra từ dạng 2 của hệ lực phẳng bất kì)

Ví dụ 3.4.1: Cần trục trọng lượng P = 40 kN, vật nặng Q = 10 kN (Hình 3.4.2) Xác định

phản lực từ đường ray tác dung lên hai bánh xe Biết a= 1m, b= 4m

Bài giải

Khảo sát sự cân bằng của cần trục Nó chịu

tác dụng của hệ lực phẳng song song:

- Các tải trọng P, Q

- Các phản lực NA , NB

Vì cần trục cân bằng, nên ta có lực phẳng song song cân bằng (P, Q, NA , NB) ~ 0

Chọn trục Ay song song với các lực và lập hệ phương trình cân bằng (dạng 1)

a Khi không chở hàng trục trước chịu lực tác dụng của lực có trị số 1,5 kN, trục sau -

1kN Xác định khoảng cách x từ trọng tâm ôtô tới trục trước

b Muốn thay bánh sau người ta đặt kích ở cuối bánh ôtô Tìm trị số lực F nhỏ nhất mà

kích tác dụng vào ôtô (coi như ôtô vẫn nằm ngang)

Bài gi ải

a Ô tô cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng song song (P, N A, N B ) (Hình 3.4.3a)

Trong đó: P trọng lượng ô tô khi không chở hàng: NA = 1,5 kN, NB = 1 kN

Chọn trục Ay song song với các lực và lập hệ phương trình cân bằng dạng 1

Fy = NA - NB - P = 0 (1) mo (F ) = 4NB - xP = 0 (2)

5,24

= 1,6m

b Ôtô khi thay bánh sau cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng song song (P

, NA, F) (Hình 3.4.3b) Để tìm trị số của lực F

ta chỉ cần lập một phương trình cân bằng:

mA (F ) = 5.F - 1,6P = 0

F - 5

6 ,

1 P

= 5

5 , 2 6 , 1

= 0,8 kN

Chương 4: MA SÁT - TRỌNG TÂM - CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH

1.1 MA SÁT TRƯỢT

1.1.1 Định nghĩa Ma sát trượt là sự cản xuất hiện khi một vật trượt hoặc có khuynh

hướng trượt tương đối trên mặt một vật khác Nguyên nhân chính của sự ma sát trượt là

do mặt tiếp xúc không tuyệt đối nhẵn

Ma sát trượt thường gặp ở phanh hãm, ổ trượt v.v

1.1.2 C ác định luật ma sát trượt

a Thí nghiệm cu lông Trên mặt bàn nằm ngang không nhẵn đặt vật D có trọng lược P

Vật được buộc vào dây và luồn qua ròng rọc C, đầu E của dây treo đĩa cân (hình 4.1.1)

H ình 4.1.1 Hình 4.1.2

Khi chưa đặt kết quả cân, vật D cân bằng dưới tác dụng của hai lực: trọng lượng

bản thân P và phản lực N Cho trọng lượng Q khá nhỏ vào đĩa cân, vật vẫn nằm trên;

chứng tỏ phản lực ngoài thành phần pháp tuyến N còn xuất hiện thêm thành phần tiếp

tuyến phản lại sự trượt, ta gọi là phản lực ma sát trượt, kí hiệu F ms Tăng dần Q, vật vẫn

chưa trượt, chứng tỏ lực ma sát có trị số tăng dần để luôn cân bằng với Q: Fms = Q

Tăng Q đến trị số Qmax vật bắt đầu trượt chứng tỏ lực ma sát tăng đến trị số giới

hạn và gọi là lực ma sát lớn nhất, kí hiệu Fmax Tóm lại, khi một vật trượt hoặc có khuynh

hướng trượt tương đối trên mặt một vật khác, ngoài phản lực pháp tuyến N còn có phản

lực ma sát trượt F ms

b C ác định luật ma sát trượt Từ kết quả thí nghiệm Cu lông, ta rút ra các định luật ma

sát trượt

- Lực ma sát trượt tiếp tuyến với mặt tiếp xúc, ngược chiều với khuynh hướng làm

trượt vật và có trị số nằm trong giới hạn từ 0 đến Fmax: 0 < Fms  Fmax (4.1.1)

- Trị số của lực ma sát trượt lớn nhất tỉ lệ với phản lực pháp tuyến

Fmax = fN (4.1.2)

Hệ số tỷ lệ f gọi là hệ số ma sát trượt Hệ số ma sát trượt phụ thuộc vào vật liệu

(thép, gỗ, đồng ), trạng thái bề mặt (trơn, nhám, khô ) nhưng không phụ thuộc vào diện

tích của mặt tiếp xúc và được xác định bằng thực nghiệm, dưới đây là hệ số ma sát của

một vài loại vật liệu thường gặp

V ật liệu Hệ số f

Thép với thép Thép với gang Gỗ dán với gỗ dán Đai truyền da với gỗ

Đai truyền da với gang

0,17 0,17 0,2 - 0,4 0,4 0,28

- Lực ma sát tĩnh lớn hơn lực ma sát động

c G óc ma sát Khi có ma sát, phản lực gồm hai thành phần: phản lực pháp tuyến N và

phản lực ma sát F ms Hợp lực R của N và F ms gọi là phản lực toàn phần Khi F ms đạt

đến F max thì R đạt đến Rmax Góc giữa phản lực toàn phần R max với phản lực pháp

tuyến N được gọi là góc ma sát, kí hiệu φ (Hình 4.1.2)

Ta có: Fmax = Ntgφ Mặt khác: Fmax = fN (theo 4.1.2) Nên: fN = Ntgφ

Do đó: f = tgφ (4.1.3)

Vậy: hệ số ma sát trượt bằng góc ma sát

Từ (4.1.2) và (4.1.3) ta suy ra điều kiện để một vật không trượt (còn gọi là điều

kiện tự hãm): Fms  Fmax hay Fms  fN (4.1.4)

Mặt khác nếu gọi hợp lực của các lực tác dụng vào vật có khuynh hướng trượt là

S, góc nhọn hợp bởi lực S với phương pháp tuyến là  Dưới tác dụng của S thành

phần làm vật trượt là Q = Ssin, thành phần pháp tuyến N = Scos Lực ma sát lớn nhất

Fmax = fN = fScos Điều kiện để vật không trượt là: Fms  Fmax Mà:

Fms = Q Nên: Ssin  fScos hay: sin  fcos 





cos sin  f, thay f = tg  tg  tg

1.2 M A SÁT LĂN

1.1.2 Ma sát lăn

a Định nghĩa Ma sát lăn là sự cản xuất hiện khi một vật lăn hoặc có khuynh hướng lăn

trên mặt một vật khác Nguyên nhân chính của ma sát lăn là do mặt tiếp xúc không tuyệt

đối cứng nên có biến dạng tạo thành mô rất nhỏ cản lại sự lăn

b Định luật về ma sát lăn

Xét con lăn trọng lượng P đặt trên mặt phẳng nằm ngang không tuyệt đối cứng

Tác dụng vào con lăn một lực nằm ngang Q cách mặt lăn một khoảng cách h

(hình 4.1.4) Con lăn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng ( P, Q, R ) trong đó R là

phản lực do mô cản lại sự lăn Phân tích lực R thành hai thành phần N và F

Từ (1) tìm được: F = Q, từ (2) tìm được: N = P

Các lực Qvà F lập thành ngẫu lực (Q,F ) có trị số mô men là Qh làm cho con lăn

có khuynh hướng lăn Các lực N và P lập thành ngẫu lực (N , P) có trí số mô men là

Nd cản lại sự lăn của con lăn Ngẫu lực (N , P) được gọi là ngẫu lực ma sát lăn

Mô men m = Nd của ngẫu lực ma sát lăn (N , P) được gọi là mô men ma sát lăn

Từ thực nghiệm ta có các định luật ma sát lăn:

- Ngẫu lực ma sát lăn có trị số mô men giới hạn từ 0 đến mmax

0 < m  mmax (4.1.6)

- Trị số ma sát lăn lớn nhất tỉ lệ với phản lực pháp tuyến

mmax = kN (4.1.7)

Hệ số tỉ lệ k gọi là hệ số ma sát lăn có thứ nguyên là chiều dài và được xác định

bằng thực nghiệm Dưới đây là hệ số ma sát lăn của một vài loại vật liệu thường gặp:

V ật liệu k(m)

Thép thường với thép thường

Thép tôi với thép tôi Gang với gang Gỗ với thép

Gỗ với gỗ

0,005 0,001 0,005 0,03-0,04 0,05-0,08

Khi con lăn sắp lăn: mmax = kN = Nd

hay: k = d (4.1.8)

Hệ số ma sát lăn bằng cánh tay đòn của ngẫu lực ma sát lăn lớn nhất

Từ các công thức (4.1.6) và (4.1.7) suy ra điều kiện để con lăn không lăn (tự hãm)

là trị số mô men ma sát lăn nhỏ hơn hoặc bằng trị số mô men ma sát lăn lớn nhất

m  kN (4.1.9)

và điều kiện để con lăn không lăn và không trượt là:

fN F

kN m





(4.1.10)

Ví dụ 4.1.1: Con lăn hình trụ đường kính d = 0,6m, trọng lượng P = 3kN lăn đều trên mặt

phẳng ngang nhờ tác dụng của lực S theo hướng của tay đẩy AO (Hình 4.1.5)

Cho biết AO dài 1,5m, độ cao của điểm A là h = 1,05 m Xác định lực S, biết hệ

số ma sát lăn k = 0,005 m

B ài giải

Dời lực Strên đường tác dụng của nó về O và phân tích thành hai lực thành phần Q

và T Ta có: Q = Scos, T = Ssin Mà sin =

5,1

3,005,11

 = 30 Con lăn chịu tác dụng của hệ hai ngẫu lực T và P gây ra phản lực N tạo thành

ngẫu lực ma sát lăn có mô men m = kN = k(T+P) = k(Ssin + P) Q và F tạo thành ngẫu

lực gây nên sự lăn của con lăn có mô men là Qr Khi lăn đều hệ hai ngẫu lực trên cân

bằng, tức là: k(Ssin + P) = Qr  kSsin + kP = rScos và rScos - kSsin = kP  S(rcos - ksin) = kP Thay số:

S =

5,0.005,0886,0.3,0

005,0.3000sin

2.2 T ỌA ĐỘ TRỌNG TÂM HÌNH PHẲNG

2.2.1 Kh ối tâm của cơ hệ: Xét một cơ hệ gồm N chất điểm M kk  1 , 2 , 3 N, có khối

lượng Mk, véctơ định vị r k Điểm hình học C được gọi là khối tâm cơ hệ nếu vị trí của nó

được xác định theo công thức sau (hình 4.2.1):

k

k k C

k

k k C

k

N

k k k C

m

z m z

m

y m y

m

x m x

m

r m

Hình 4.2.1 Hình 4.2.2

2.2.2 Kh ối tâm của vật rắn: Xét một vật rắn và chia nó thành nhiều phần tử nhỏ Mk (số

phần tử tiến đến vô tận), có khối lượng mk, véctơ định vị r k Điểm hình học C mà vị trí

của nó được xác định theo công thức:

k k N

N

k

k k N

M m

r m

limlim

M

1

lim là khối lượng vật rắn Từ đó ta nhận được các công thức xác định khối tâm của vật rắn:

M M

m x

M M

m y

M M

m z

lim

1

Trong trường hợp vật rắn nằm gần trái đất thì khối tâm trùng với trọng tâm (là

điểm đặt của hợp lực của hệ trọng lực do trái đất tác dụng lên vật rắn)

Nếu vật là một khối đồng chất có thể tích V và có khối lượng riêng (khối lượng

C V

C

V C

zdV V

z ydV V

y xdV V

x

dV r v r

1

;

1

; 1

1

) (

) (

(4.2.4)

Đặc biệt đối với một tấm phẳng đồng chất có tiết diện F thì:

F

S ydF F

y F

S xdF F

F C y

F

C  1   ;  1   (4.2.5)

trong đó:    

) ( )

(

;

F y F

S (4.2.6)

được gọi là mômen tĩnh của tiết diện F đối với trục x và y tương ứng (hình 4.2.3)

Dựa vào định nghĩa có thể suy ra tiếp các định lý sau: