Giáo trình cơ lý thuyết

cơ học là khoa học nghiên cứu chuyển động cơ học của vật chất. Trong đó, chuyển động cơ học là sự dời chỗ của vật chất từ vị trí này sang vị trí khác trong không gian, theo thời gian.

1

NHẬP MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT

I KHÁI QUÁT CHUNG VỀ MÔN HỌC

1 Khái niệm cơ học lý thuyết

Khái niệm: Cơ học là khoa học nghiên cứu các quy luật tổng quát về cân bằng và chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của lực và sự tương tác giữa chúng với nhau trong không gian theo thời gian

- Chuyển động cơ học được hiểu là sự đổi chỗ (bao gồm cả sự biến dạng) của các vật thể so với vật chuẩn gọi là hệ quy chiếu

- Vật thể trong cơ học lý thuyết được nghiên cứu dưới dạng mô hình chất điểm,

cơ hệ (hệ các chất điểm)

- Không gian có tính chất đồng nhất, đẳng hướng, không phụ thuộc vào thời gian và vật thể chuyển động trong đó, nó thoả mãn các tính chất của không gian Ơclít

- Thời gian cũng không phụ thuộc không gian và vật thể chuyển động Thời gian trôi đều từ quá khứ qua hiện tại, đến tương lai

Không gian và thời gian ở đây là không gian và thời gian lý tưởng hoá của

không gian và thời gian thực

2 Vị trí vai trò của môn học

Cơ học lý thuyết làm nền tảng và xuất phát điểm cho hàng loạt những môn kỹ thuật cơ sở và kỹ thuật chuyên ngành như: Sức bền vật liệu, Lý thuyết đàn hồi, Thuỷ khí động lực học, Nguyên lý máy, Động lực học máy, Động lực học công trình,

3 Phạm vi nghiên cứu

- Cơ học lý thuyết chỉ khảo sát đối với những vật có kích thước hữu hạn và chuyển động với vận tốc nhỏ hơn so với vận tốc ánh sáng

- Cơ học của những vật thể có kích thước vi mô được khảo sát trong cơ học lượng tử Còn cơ học của những vật thể chuyển động với vận tốc tương đương với vận tốc ánh sáng được khảo sát trong cơ học tương đối của Anhxtanh

2

4 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu cân bằng và chuyển động của vật rắn tuyệt đối, vật biến dạng là đối tượng nghiên cứu của các môn học như Sức bền vật liệu, Lý thuyết đàn hồi

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu theo phương pháp tiên đề

- Nắm vững các công cụ toán học

- Thực hành giải các bài toán

7 Tài liệu

- Cơ học: Tập 1, Tập 2 - Đỗ Sanh (chủ biên), NXB Giáo dục, 2000

- Bài tập cơ học: Tập 1, Tập 2 - Đỗ Sanh (chủ biên), NXB Giáo dục, 2000

- Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết - X.M Targ, NXB Matxcova, 1979

II LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN MÔN CƠ HỌC LÝ THUYẾT

Cơ học đã xuất hiện và phát triển cùng với sự phát triển của lực lượng sản xuất xã hội, có quan hệ chặt chẽ với trình độ sản xuất và khoa học kỹ thuật trong mỗi giai đoạn phát triển

- Ở thời cổ đại (287 - 212 TCN): Do nhu cầu xây dựng các công trình (Tháp Ai Cập) cho nên Acsimet là người đầu tiên đặt nền móng cho cơ học, đó là lý thuyết về các máy đơn giản như ròng rọc, đòn bẩy, mặt phẳng nghiêng…

- Trải qua một thời kỳ thăng trầm của lịch sử, những người theo trường phái Aristotle đa õcho rằng trạng thái tự nhiên của vật là đứng yên và nó chuyển động chỉ dưới tác dụng của một lực hoặc một xung lực và không một ai băn khoăn về điều này

3

- Vào thời kỳ phục hưng, cùng với sự phát của khoa học tự nhiên, trong lĩnh vực

cơ học nổi lên các tên tuổi như Lêôna đơ Vinxi (1452 - 1519) có nhiều khảo sát trong lĩnh vực cơ cấu, ma sát trong máy và chuyển động trên mặt phẳng nghiêng; Nicolai Copecnic (1473 - 1543) đã xây dựng lý thuyết về chuyển động của các hành tinh trong thái dương hệ; Keple (1571 - 1630) đã phát hiện ra ba định luật nổi tiếng của chuyển động các hành tinh

- Đặc biệt phải kể đến Galilê đã phát minh ra định luật vĩ đại nhất của con người là định luật quán tính; Niutơn đã xây dựng, thống nhất và phát triển hệ thống các định luật cơ học

- Khi toán học giải tích ra đời, cơ học được phát triển theo hướng giải tích hoá Hàng loạt các nguyên lý cơ học xuất hiện như Nguyên lý di chuyển khả dĩ, Nguyên lý Đalămbe

PHẦN I: TĨNH HỌC

BÀI SỐ: 01

1 Mục đích, yêu cầu:

- Để học viên nắm được khái quát chung về môn học Nắm vững được các khái niệm và nội dung cơ bản của hệ tiên đề làm cơ sở để nghiên cứu các vấn đề tiếp sau

- Hình thành nên kỹ năng làm việc hiệu quả

- RÌn luyện đức tính cẩn thận, nghiêm túc trong học tập và làm việc sau này

2 Nội dung chính:

- Chương I cung cấp cho người học những khái niệm cơ bản nhất của phần tĩnh học,

hệ tiên đề tĩnh học Đây là những nội dung đặt nền móng cho môn Cơ học lý thuyết

3 Hình thức học tập

- Học lý thuyết trên lớp

4 Nội dung chi tiết

4

Chương 1:CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

Tĩnh học là phần nghiên cứu trạng thái cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của lực Hai vấn đề chính được nghiên cứu trong tĩnh học là:

1 Thu gọn hệ lực: Tức là biến đổi hệ lực đã cho thành một hệ lực tương đương với nó, nhưng đơn giản hơn

2 Thiết lập các điều kiện cân bằng đối với hệ lực mà dưới tác dụng của nó vật rắn cân bằng, được gọi tắt là điều kiện cân bằng của hệ lực

Để giải quyết hai vấn đề trên ta dựa vào các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong tĩnh học có ba khái niệm cơ bản sau đây:

1.1.1 Vật rắn tuyệt đối

Khái niệm: Vật rắn tuyệt đối là tập hợp vô hạn các chất điểm mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kỳ luôn không đổi

- Nó là mô hình của vật thể khi các biến dạng của nó có thể bỏ qua được do quá bé hoặc không đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát

- Trong trường hợp ta coi vật rắn là vật rắn tuyệt đối mà bài toán không giải được, lúc đó ta cần phải kể đến biến dạng của vật Bài toán này sẽ được nghiên cứu trong giáo trình Sức bền vật liệu

- Ta có thể gọi tắt vật rắn tuyệt đối là vật rắn

1.1.2 Cân bằng

Khái niệm: Vật rắn được gọi là cân bằng khi vị trí của nó không thay đổi so với

vị của một vật nào đó được chọn làm chuẩn gọi là hệ quy chiếu

- Trong kỹ thuật hệ quy chiếu được chọn làm vật chuẩn thường là hệ trục toạ độ gắn với trái đất

- Cân bằng trong hệ quy chiếu quán tính là cân bằng tuyệt đối

1.1.3 Lực

+ Phương, chiều của lực

+ Cường độ của lực

Vì thế, người ta biểu diễn lực dưới dạng véc tơ, ký hiệu Fr, đơn vị lực là Niutơn (N)

- Ngoài ra lực chính là nguyên nhân gây ra biến đổi trạng thái chuyển động của vật (ta sẽ nghiên cứu ở phần ĐLH)

1.2 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC

Trên cơ sở thực nghiệm và nhận xét thực tế, người ta đã đi đến phát biểu thành những mệnh đề có tính chất hiển nhiên không cần chứng minh làm cơ sở cho môn học gọi là tiên đề

1.2.1 Tiên đề 1: Tiên đề về hai lực cân bằng

Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn cân bằng là chúng có cùng đường tác dụng, ngược chiều nhau và có cùng cường độ

Ký hiệu: (F1,F2) O

rrr

=

- Tiên đề 1 đưa ra một tiêu chuẩn về cân

bằng, tức là muốn biết hệ lực đã cho cân bằng hay

không ta phải chứng minh hệ lực ấy tương đương

với hai lực cân bằng Rõ ràng vật rắn dưới tác dụng

của một lực thì không thể cân bằng được

Hai tiên đề tiếp theo cho chúng ta hai phép biến đổi tương đương

1.2.2 Tiên đề 2: Tiên đề về thêm bướt hai lực cân bằng

Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn không thay đổi nếu ta thêm hoặc bớt hai lực cân bằng

Giả sử cho hệ lực (F1 F2 ,Fn)

rrr

và cho hai lực cân bằng (F1 F2)

rr

6

)F ,FF

rrr

≡ (F F ,F F F')

n 2 1

rrrrr

Từ hai tiên đề trên ta có hệ quả:

* Hệ quả: Tác dụng của một lực lên vật rắn sẽ không thay đổi khi trượt lực trên đường tác dụng của nó

Chứng minh: Giả sử lực FA

r tác dụng lên vật rắn tại A Trên đường tác dụng của FA

r

ta lấy điểm B và đặt vào đó hai lực (F F')

B B

rr

cân bằng nhau, ta có:

rrr

≡ FB

r

(vì FA

r =- ' B

F

rnên theo tiên đề 1 FA

r, ' B

F

r cân bằng)

Điều đó chứng tỏ FA

r đã trượt từ A đến B mà tác dụng của lực không thay đổi

1.2.3 Tiên đề 3: Tiên đề hình bình hành lực

Hai lực có đường tác dụng đồng quy tại một điểm tương đương với một lực đặt tại điểm chung đó và có véc tơ lực bằng véc tơ chéo hình bình hành mà hai cạnh là hai véc tơ biểu diễn hai lực thành phần

- Tiên đề này cho phép biến đổi tương đương về hợp hai lực đồng quy và phân tích một lực thành hai lực theo quy tắc hình bình hành

Từ tiên đề này ta có:

* Hệ quả: Một hệ lực đồng quy tác dụng lên vật rắn có hợp lực đặt tại điểm đồng quy và véc tơ lực bằng tổng hình học véc tơ các lực thành phần

Giả sử ta có hệ lực đặt tại O Áp dụng tiên đề 3, ta có hợp lực Rr (gọi là véc chính của hệ lực(F1 F2 ,Fn)

rrr

):

∑

=+++

=F1 F2 Fn Fk

R

rr

rrr

Nhận xét: Về hợp lực Rr :

+ Đặt tại điểm đồng quy

+ Là véc tơ khép kín của đa giác lực OABCD Từ một điểm O1 bất kỳ ta cũng vẽ được đa giác lực

' B

7

+ Trị số chiếu biểu thức trên lên hệ trục toạ độ Oxyz:

∑

=+++

trong đó: α, β, γ: góc hợp bởi véc tơ Rr với các trục toạ độ

1.2.4 Tiên đề 4: Tiên đề tác dụng và phản tác dụng

Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai vật: có cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều nhau và có cùng cường độ

Nhận xét:

- Chúng không phải là hai lực cân bằng vì chúng không tác dụng lên cùng một vật rắn

- Cho phép ta mở rộng các kết quả khảo sát đối với một vật sang hệ vật

1.2.5 Tiên đề 5: Tiên đề hoá rắn

Một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một lực thì khi hoá rắn lại nó vẫn cân bằng

Nhờ tiên đề này khi một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực đã cho, ta có thể xem vật đó như vật rắn để khảo sát điều kiện cân bằng

1.2.6 Tiên đề 6: Tiên đề giải phóng liên kết

1 Một số khái niệm

- Vật rắn tự do là vật không bị ràng buộc với các vật khác và có thể di chuyển tự do trong không gian

- Vật rắn không tự do là vật bị ràng buộc với các vật khác và không thể di chuyển tự do được

- Vật không tự do gọi là vật bị liên kết, còn các vật ràng buộc nó gọi là vật gây liên kết

2 Một số liên kết thường gặp

a Liên kết tựa

b Liên kết dây mềm

c Liên kết bản lề trụ (gối tựa cố định)

d Liên kết bản lề cầu

e Liên kết thanh

f Liên kết ngàm (phẳng và không gian)

3 Tiên đề 6: Tiên đề giải phóng liên kết

Một vật rắn không tự do cân bằng có thể xem là vật rắn tự do cân bằng nếu ta giải phóng các liên kết và thay vào đó các phản lực liên kết tương ứng

Y

r

M A

x y

9

Tiên đề này giúp chúng ta mở rộng khảo sát bài toán cân bằng đối với các vật không tự do

1.3 LÝ THUYẾT VỀ MÔ MEN

1.3.1 Mô men của một lực đối với một điểm

1 Khái niệm: Mômen của lực Fr đối với điểm O, là véc tơ đặt tại O, ký hiệu

 = F.d

trong đó: d: Khoảng cách từ O đến Fr

Mômen đại số: Khi các lực Fr đều nằm trong mặt phẳng đi qua điểm O, ta có:

)F(

mo

rr =± F.d

2 Ý nghĩa của mômen

a Ý nghĩa cơ học: Mômen của một lực đối với một điểm đặc trưng cho tác dụng quay của lực quanh điểm đó Tác dụng quay này phụ thuộc vào ba yếu tố:

- Vị trí của mặt phẳng chứa lực và điểm lấy mômen

- Chiều quay trong mặt phẳng này

- Cường độ và cánh tay đòn của lực đối với điểm đó

b Ý nghĩa hình học:

1.3.2 Mômen của một lực đối với một trục

1 Khái niệm:Mômen của lực Fr đối với trục ∆, ký hiệu m (F)

rr

∆ là mômen đại số của lực '

mo

rr

Hình 1.6

10

)F(m

r

∆ = m (F')

ortrong đó: '

F

r là hình chiếu của lực Fr lên mặt phẳng π vuông góc với trục ∆, còn

O là giao điểm giữa trục ∆ và mp(π)

2 Ý nghĩa của mômen

∆ = O : Lực Fr song song với trục ∆

Đường tác dụng của lực Fr cắt trục ∆ 1.3.3 Định lý liên hệ giữa mômen của một lực đối với một điểm và mômen của một lực đối với một trục

1 Định lý: Mômen của một lực đối với một trục bằng hình chiếu lên trục

ấy của véc tơ mômen của lực đối với một điểm bất kỳ trên trục

2 Chứng minh: Cho lực Fr và trục z trùng với trục ∆ Vẽ mặt phẳng xy vuông góc với trục z và cắt trục z tại O

S2cosS

2

cos)F(m

z '

o

B OA OAB

o

'

rr

rr

=

=

=α

1.4.1 Định nghĩa và các yếu tố của ngẫu lực

1 Định nghĩa: Ngẫu lực là một hệ gồm có hai lực song song, ngược chiều nhau và cùng cường độ

Nhận xét:

- Ngẫu lực là một hệ lực không cân bằng

- Ngẫu lực không có hợp lực

11

2 Các yếu tố của ngẫu lực

- Mặt phẳng chứa hai lực của ngẫu lực gọi là mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực

- Khoảng cách d giữa các đường tác dụng của hai lực gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực

Dưới tác dụng của ngẫu lực vật rắn sẽ chuyển động quay quanh một trục nào đó Để xác định hoàn toàn chuyển động quay này ta có khái niệm về véc tơ mômen ngẫu lực

Định nghĩa: Véc tơ mômen của ngẫu lực là một véc tơ tự do mr có:

+ Phương: Vuông góc với mặt phẳng tác

dụng của ngẫu lực

+ Chiều: Sao cho nhìn từ đầu mút của nó nhìn thấy ngẫu lực có hướng quay ngược chiều kim đồng hồ

+ TrÞ số: F.d

1.4.2 Tính chất tương đương của ngẫu lực

1 Định lý 1: Hai ngẫu lực có cùng mặt phẳng tác dụng, cùng chiều quay và cùng trị số mômen thì tương đương nhau

Hệ quả của định lý:

+ Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi ta thay đổi vị trí của ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nó

+ Tác dụng của ngẫu lực sẽ không thay đổi tuỳ ý cường độ của lực cánh tay đòn nhưng vẫn giữ nguyên mômen

2 Định lý 2: Tác dụng của ngẫu lực lên vật rắn sẽ không thay đổi khi ta dời ngẫu lực đến mặt phẳng song song với mặt phẳng tác dụng của nó

1.4.3 Hợp hệ ngẫu lực

- Phương pháp đánh giá: Kiểm tra tư cách

- Câu hỏi ôn tập

1 Phát biểu các tiên đề tĩnh học

2 Nêu và biểu diễn các liên kết thường gặp

6 Tài liệu tham khảo:

- Giáo trình, bài giảng

- Tài liệu tham khảo:

+ Cơ học - Tập 1 - Đỗ Sanh (chủ biên), NXB Giáo dục, 2000

+ Bài tập Cơ học - Tập 1 - Đỗ Sanh, NXB Giáo dục, 2000

+ Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết - X.M.Targ - NXB Matxcova -

1979

BÀI SỐ: 02

1 Mục đích, yêu cầu

- Nắm được phương pháp thu gọn hệ lực không gian về dạng chuẩn

- Nắm vững được lý thuyết về cân bằng của hệ lực không gian

- Biết vận dụng thực hành giải các bài toán

2 Nội dung chính:

Chương Hệ lực khơng gian trình bày khái niệm hệ lực khơng gian, các

phương pháp thu gọn hệ lực, các lý thuyết về sự cân bằng Các trường hợp đặc biệt

13

của hệ lực khơng gian cũng được trình bày ở đây Phần cuối của chương được trình bày làm phần vận dụng thực hành giải các bài tốn lực

3 Hình thức học tập

- Học lý thuyết trên lớp

4 Nội dung chi tiết

Chương 2 HỆ LỰC KHÔNG GIAN

Hệ lực không gian là hệ lực mà đường tác dụng của các lực nằm tuỳ ý trong không gian

Hai vấn đề chính được khảo sát trong hệ lực không gian:

+ Thu gọn hệ lực không gian về dạng chuẩn

+ Tìm điều kiện cân bằng của hệ lực không gian

2.1 THU GỌN HỆ LỰC KHÔNG GIAN

2.1.1 Thu gọn hệ lực không gian về tâm O

1 Định lý dời lực theo phương song song

a Định lý: Lực Fr đặt tại A tương đương với lực '

F

r

song song cùng chiều, cùng cường độ với lực Fr nhưng đặt tại O và một ngẫu lực có mômen bằng tổng mômen của lực Fr đối với điểm O

b Chứng minh:

- Giả sử có một lực Fr tác dụng lên

vật rắn đặt tại A

- Áp dụng Tiên đề 2, đặt tại O hai

F

r) ≡ '

F

r và (Fr, ''

F

r) Như vậy: '

F

r chính là Fr dời song song đến O, còn (Fr, ''

F

r) là ngẫu lực có véc tơ mômen m mo(Fk)

rrr

mo

rr

14

2 Thu gọn hệ lực không gian về một tâm

Giả sử có hệ lực không gian (F1

r, F2

r, , Fn

r) Để thu gọn hệ lực này về tâm

O ta áp dụng định lý dời lực song song lần lượt thu gọn từng lực về tâm O

Dời lực F1

r về O, ta được F1

r và ngẫu lực m1 mo(F1)

rrr

=

Dời lực F2

r về O, ta được F2

r và ngẫu lực m2 mo(F2)

rrr

=

Dời lực Fn

r về O, ta được Fn

r và ngẫu lực mn mo(Fn)

rrr

=

Vậy hệ lực đã cho (F1

r, F2

r, , Fn

r) tương đương với hệ lực đồng quy tại O ( '

) và hệ ngẫu lực (mr1,mr 2, ,mr n)

- Hợp lực của hệ lực đồng quy ( '

1

F

r, ' 2

F

r, , ' n

F

r):

' k '

k '

R

rrr

o(F ) Mm

M

rr

rr

=

=∑ gọi là mômen chính của hệ lực không gian Mômen chính phụ thuộc vào tâm thu gọn (định lý biến thiên mômen)

* Kết luận: Khi thu gọn hệ lực không gian về một tâm, ta được một véc tơ

chính đặt tại tâm thu gọn và một ngẫu lực thu gọn có véc tơ mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn

2.1.2 Xác định véc tơ chính và mômen chính của hệ lực

rr

⇒ =∑ kx '

R

=∑ ky '

R

= ∑ kz '

2 ' x '

RR

R

R

' y

R

R

RR

Mo =∑ [mo(Fk)]y = ∑my(Fk)

y

rr

r

Mo =∑ [mo(Fk)]z =∑mz(Fk)

z

rr

bằng phương pháp hình học

Dùng quy tắc đa giác lực

2.1.3 Các dạng chuẩn của hệ lực không gian

Để hiểu rõ hơn thực chất tác dụng của hệ lực không gian, ta xét các trường hợp có thể gặp về véc tơ chính và mômen chính

O mà đi qua O’

Véc tơ o

M

r biểu diễn ngẫu lực (R1,R2

rr

) cùng nằm trong mặt phẳng '

R

r sao cho R1

R

r Như vậy cánh tay đòn của ngẫu lực sẽ là: ' 'o

R

Md

Ta có: ( o '

R,M

rr

2

1,M ,RM

rrr

) ≡ (M2,R1

rr

) Đây là hệ xoắn có trục xoắn qua O’

* Định lý Varinhông: Trong trường hợp hệ lực không gian có hợp lực thì

mômen của hợp lực đối với một tâm bất kỳ bằng tổng mômen của các lực thành phần đối với tâm ấy

∑

= m (F ))

R(

2.1.4 Các dạng chuẩn của các hệ lực đặc biệt

1 Hệ lực đồng quy tại O

∑

'

FR

rr

O)F(m

Hệ ngẫu lực có dạng chuẩn: Hoặc cân bằng hoặc tương đương với một ngẫu lực

3 Hệ lực song song

∑

'

FR

rr

∑

= m (F )

rrr

' o

RM

rr

rr

rr

⊥

5 Hệ lực phân bố

a Cường độ phân bố đều

R = qo.l Điểm đặt: x = l/2

b Cường độ phân bố lực tuyến tính

R = q l2

1

oĐiểm đặt: x = 2/3

2.2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC KHÔNG GIAN

2.2.1 Điều kiện cân bằng và phương trình cân bằng của hệ lực không gian

1 Điều kiện cân bằng

Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian cân bằng là véc tơ chính và mômen chính của hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời triệt tiêu

OF

=

O)F(m

=

=∑

2 Phương trình cân bằng

Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian cân bằng là tổng hình chiếu của các lực trên ba trục toạ độ vuông góc và tổng mômen của các lực đối với ba trục ấy đều triệt tiêu

2.2.2 Điều kiện cân bằng và phương trình cân bằng của các hệ lực đặc biệt

1 Hệ lực đồng quy

Điều kiện cần và đủ để hệ lực đồng quy cân bằng véc tơ chính của hệ lực phải triệt tiêu

y

qo

18

OF

rr

3 Hệ lực song song

Điều kiện cần và đủ để hệ lực song song cân bằng là tổng hình chiếu của chúng trên trục z song song với các lực thành phần và tổng mômen của chúng đối với hai trục vuông góc với nhau x, y (và vuông góc với trục z) triệt tiêu

Phương trình cân bằng: ∑Fkz =0

0)F(

0)F(

Phương trình cân bằng: ∑Fkx =0

0

Fky =

∑

0)F(

Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các lực đối với hai điểm A, B và tổng các hình chiếu của các lực trên trục không vuông góc với đoạn AB bằng không

19

Phương trình cân bằng: ∑Fkx =0

0)F(

0)F(

0)F(

2.2.4 Điều kiện cân bằng của hệ vật rắn

(Học viên tự đọc trong giáo trình Cơ học tập 1 trang 60-61)

2.2.3 Bài toán về sự cân bằng của đòn và vật lật

1 Sự cân bằng của đòn

Khái niệm: Đòn là một vật rắn quay được quanh một trục cố định, chịu tác dụng của hệ lực phẳng vuông góc với trục quay

- Khảo sát hệ lực phẳng (F1,F2, ,Fn

rrr

) tác dụng lên vật

- Bài toán đặt ra: Tìm điều kiện đối với hệ lực để vật cân bằng

- Phương trình cân bằng của đòn:

(F1,F2, ,Fn,Xo,Yo

rrrrr

) = OrHay ∑Fx =∑Fkx +Xo =0 (1)

0YF

0)F(m)

F(

Từ (1), (2) và (3), ta có kết luận:

Điều kiện cần và đủ để đòn cân bằng

là tổng mômen của các lực hoạt động đối với

trục quay của nó phải triệt tiêu

2 Sự cân bằng của vật lật

o

Y

r1

F

r

r

20

- Khảo sát hệ lực phẳng (F1,F2, ,Fn

rrr

) tác dụng lên vật rắn

- Dưới tác dụng của hệ lực đã cho vật có

thể bị lật quanh A hoặc quanh B

- Tìm điều kiện của hệ lực để vật không bị

lật (giả sử không bị lật quanh A)

- Phân các lực tác dụng lên vật thành hai nhóm:

+ Nhóm 1: Gồm các lực gây lật có mômen đối với A theo chiều vật bị lật, tổng mômen của chúng được ký hiệu A

C A L B

A k

⇒ M MA mA(NB) 0

L A

C A

- Chọn hệ vật khảo sát

- Phân tích tất các lực tác dụng lên vật (hệ vật) dựa vào các liên kết đã học, nêu rõ các nội lực, ngoại lực, nếu chưa biết chiều thì ta giả thiết một chiều nào đó

- Lập điều kiện cân bằng của hệ vật

2 Bước 2: Lập các phương trình cân bằng cho vật (hệ vật) Nếu hệ gồm nhiều

vật thì ta có thể lập phương trình cân bằng cho toàn hệ (Phương pháp hoá rắn) hoặc ta có thể lập phương trình cân bằng cho từng vật (Phương pháp tách vật)

3 Bước 3: Giải các phương trình

21

4 Bửụực 4: Keỏt luaọn

5 ẹaựnh giaự, caõu hoỷi oõn taọp

- ẹaựnh giaự : Kieồm tra tử caựch ủũnh kyứ

- Caõu hoỷi oõn taọp:

1 Phaựt bieồu vaứ chửựng minh ủũnh lyự dụứi lửùc song song?

2 Trỡnh baứy caực daùng chuaồn cuỷa heọ lửùc khoõng gian?

6 Taứi lieọu tham khaỷo

- Cụ hoùc: Taọp 1, Taọp 2 - ẹoó Sanh (chuỷ bieõn), NXB Giaựo duùc, 2000

- Baứi taọp cụ hoùc: Taọp 1, Taọp 2 - ẹoó Sanh (chuỷ bieõn), NXB Giaựo duùc, 2000

- Giaựo trỡnh giaỷn yeỏu cụ hoùc lyự thuyeỏt - X.M Targ, NXB Matxcova, 1979

BàI 3

1 Mục đích, yêu cầu

- Để học viên nắm được cơ sở lý thuyết xác định trọng tâm của vật

- Biết vận dụng để xác định trọng tâm của các vật rắn

2.Nội dung chính:

Trọng tâm của vật rắn là một khái niệm rất quan trọng của cơ học lý thuyết Là

điểm đặt của trọng lực và cũng là điểm đặt của các lực tác dụng vào vật Chương này trình bày cơ sở lý thuyết xác định trọng tâm của vật Phần cuối của chương

trình bày bài toán vận dụng để xác định trọng tâm củavật rắn

3 Hình thức giảng dạy

- Học lý thuyết trên lớp

4 Nội dung chi tiết:

Chương 3 trọng tâm

Trong thực tế ta thường gặp hệ lực song song Mọi vật thể trong trường trọng lực được xem như chịu tác dụng của một hệ lực song song là lực hút của trái đất (vì

22

tâm trái đất ở rất xa) Trong chương này, ta tìm cách thu gọn hệ lực song song và ứng dụng nó để tìm trọng tâm của vật rắn

3.1 tâm của hệ lực song song

Để xác định tâm của hệ lực song song, trước tiên ta xét hệ hai lực

3.1.1 Thu gọn hai lực song song cùng chiều

1 Định lý: Thu gọn hai lực song song cùng chiều, ta được một hợp lực cũng

song song và cùng chiều, có cường độ bằng tổng cường độ của các lực và đặt tại

điểm chia trong của đoạn thẳng nối hai điểm thành đoạn tỷ lệ nghịch với cường độ các lực đó

2 Chứng minh:

Cho hai lực F1

r, F2

r song song, cùng chiều đặt tại A, B như hình vẽ

Cần chứng minh:

+ Hợp lực Rr (= F1

r + F2

r) ↑↑ F1

r

và F2

r + Điểm đặt: tại điểm chia trong đoạn thẳng thành đoạn

tỷ lệ nghịch với cường độ của hai lực đó

* Tại A, B đặt thêm hai lực T1

r, T2

r dọc theo AB và cân bằng nhau

Theo tiên đề 2, ta có:

(F1

r, F2

r) ≡ (F1

r, F2

r, T1

r, T2

r) ≡ (Q1

r, Q2

r) Trong đó: Q1

r = F1

r + T1

r , Q2

r = F2

r + T2

r

Ta nhận thấy: Q1

r, Q2

r đồng quy nên có hợp lực, do đó F1

r, F2

r cũng có hợp lực

* Cách tìm hợp lực:

Trượt Q1

r, Q2

r

về điểm đồng quy O và phân mỗi lực ra hai thành

phần như cũ, ta có hợp lực Rr đặt tại

O:

R

r = Q1

r + Q2

r

= '

2 '

1 FF

rr

2 '

T

rr

+

= '

2 '

1 FF

rr

+ = F1

r + F2

Q

r

' 2

F

r

' 2

F

r' 1

T

r

' 2

T

r

R

r

=

Vậy hợp lực Rr đặt tại C là điểm chia trong của đoạn thẳng AB thành hai

đoạn tỷ lệ nghịch với cường độ hai lực

Vị trí của C trên AB không phụ thuộc vào phương của F1

r, F2

r Nếu quay F1

r, 2

CA

=

nên:

1 2

B C

A C

F

FCB

CAx

x

xx

2 B 1 A C

FF

FxFxx

2 B 1 A C

FF

FyFyy

+

+

=

3.1.2 Thu gọn hai lực song song ngược chiều

3.1.3 Tâm của hệ lực song song

24

Cho hệ lực song song bất kỳ (F1

r, F2

r, , Fn

r) với Fk O

rr

≠

∑ đặt tại điểm M1,

M2, , Mn và rrk là véc tơ định vị của điểm Mk

Từ kết quả trên, chúng ta rút ra khái niệm sau:

Điểm hình học C gọi là tâm của hệ lực song song được xác định bởi công thức:

F

Frr

rr

Chiếu (3-1) lên các trục toạ độ Đề các:

F

Fx

F

Fy

F

Fzz

3.2 trọng tâm của vật rắn

3.2.1 Định nghĩa và công thức tổng quát xác định trọng tâm của vật rắn

Khảo sát vật rắn nằm gần quả đất Chia vật rắn thành nhiều phần tử nhỏ Mỗi phần tử chịu lực hút của quả đất, gọi là trọng lực hướng về tâm quả đất

Vì các phần tử nằm rất xa tâm của quả đất nên hệ các trọng lực được xem là

hệ lực song song cùng chiều

Gọi Mk là một điểm nào đó thuộc phần tử thứ k, nó có trọng lượng là ∆Pk và k

P

Prr

rr

Khi số phần tử được chia tăng lên vô cùng, còn kích thước của các phần tử là những đại lượng vô cùng bé, thì P = lim∑∆P được gọi là trọng lượng của vật rắn, kcòn điểm giới hạn C được gọi là trọng tâm G của vật rắn

Vậy công thức xác định trọng tâm của vật rắn:

P

Prlim

Trong toạ độ Đề các:

P

Pxlim

∆ρ

rr

=

V

Vrlim

r

= ( )

∫∫∫

V

dVrV

1 Định lý 1: Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng thì

trọng tâm của nó nằm tại tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng

Để xác định, giả sử rằng vật gồm m phần có các trọng tâm là G1, G2, , Gm và trọng lực là P1, P2, , Pm Toạ độ trọng tâm Gi(xi, yi, zi) (i = m1, )

Theo giả thiết: zi = 0

áp dụng công thức tính trọng tâm (3-3) cho phần thứ i, ta có:

(3-4)

(3-5)

(3-6)

zP

PP

zP

zPz

P

m 2

1

k k k

k k

k

=+

++

∆++

∆+

P

Px

P

Py

P

Pz

z

4 Định lý 4: (Công thức Guynđanh 1) Diện tích S sinh ra bởi đường cong

phẳng C khi quay quanh trục đồng phẳng ∆ nhưng không cắt nó, được xác định bởi công thức:

S = 2πLd Trong đó: L - Độ dài của đường cong C;

d - Khoảng cách từ trọng tâm G của đường cong đến trục ∆

5 Định lý 5: (Công thức Guynđanh 2) Thể tích V sinh ra bởi tấm phẳng khi

quay quanh trục đồng phẳng và không cắt nó, được xác đinh bởi công thức:

Trong đó: S - diện tích tấm phẳng;

d - Khoảng cách từ trọng tâm G của tấm phẳng đến trục ∆

3.2.4 Trọng tâm của một số vật thường gặp

Thời gian: (phút)

Phương pháp:

1 Trọng tâm của một thanh đồng chất là điểm giữa của thanh

2 Trọng tâm của các hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, khối hộp, khối hộp chữ nhật, khối lập phương đồng chất là tâm của chúng

3 Trọng tâm của tam giác đồng chất là giao điểm của các trung tuyến

4 Trọng tâm của tứ diện đồng chất

(3-9) (3-7)

(3-8)

2

1cosR3

2R

1

2 G

⇒

α

α

= Rsin3

2

xG

7 Trọng tâm của bán cầu đồng chất tâm O, bán kính R

R8

28

2 Công thức xác định trọng tâm của một số vật rắn thường gặp

6 TàI liệu tham khảo

- Tài liệu tham khảo:

+ Cơ học cơ sở tập 1 - Đỗ Sanh, Hà Nội, 2000

+ Bài tập cơ học cơ sở tập 1 - Đỗ Sanh, Hà Nội, 1995

+ Giáo trình giản yếu cơ học lý thuyết - M.X.Targ, Hà Nội, 1995

+ Cơ học cơ sở tập 1 - Nguyễn Trọng, NXB.KH và KT - 1999

Hướng dẫn giải bài tập

Chương 3: trọng tâm

1 Mục đích, yêu cầu

- Làm cho học viên hệ thống lại kiến thức cơ bản về cách xác định trọng tâm của vật rắn

,

P

Pylim

,

P

Pzlim

P

Px

P

Py

P

Pzz

3.3.3 Trọng tâm của một số vật thường gặp

1 Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến

2 Trọng tâm của cung tròn đồng chất AB, bán kính R và góc tại tâm là 2α

xG

4 Trọng tâm của bán cầu đồng chất tâm O, bán kính R

R8

3

5 Trọng tâm của hình chóp

SM4

- Nói chung bài tập phần này đơn giản, thông qua các bài toán hướng dẫn giúp học viên biết áp dụng các công thức để tính toán

B phương pháp

- Dùng hình thức kiểm tra bài cũ để hệ thống lại kiến thức

- Giải mẫu bài tập (chú ý phương pháp giải chung)

- Gọi học viên lên bảng giải bài tập, các học viên khác sẽ tham gia bình luận

để hoàn thiện bài

BàI 4

1 Mục đích, yêu cầu

- Để học viên nắm được cơ sở lý thuyết về các hiện tượng và quy luật ma sát

- Biết vận dụng để giải các bài toán cân bằng khi có ma sát

32

Trước kia khi xét các liên kết tựa ta xem các vật tiếp xúc với nhau tại một

điểm và các mặt tựa tiếp xúc là hoàn toàn nhẵn

Khi đó phản lực liên kết nằm theo phương pháp tuyến của mặt tựa

Nhưng thực tế sự tiếp xúc xảy ra trên một diện tích nhỏ và các mặt tựa của các vật tiếp xúc với nhau là không nhẵn

Do đó, ngoài phản lực nằm theo phương pháp tuyến nói trên còn xuất hiện những lực và ngẫu lực cản được gọi là lực và ngẫu lực ma sát

4.1 Định nghĩa và phân loại ma sát

4.1.1 Định nghĩa

Ma sát là hiện tượng xuất hiện những lực và ngẫu lực có tác dụng cản trở các chuyển động hoặc các xu hướng chuyển động tương đối của hai vật trên bề mặt của nhau

4.1.2 Phân loại ma sát

1 Ma sát tĩnh và ma sát động

Ma sát được gọi là tĩnh khi giữa hai vật mới chỉ có xu hướng chuyển động tương

đối nhưng vẫn ở trạng thái cân bằng tương đối

Ma sát được gọi là động nếu giữa chúng đ€ có sự chuyển động tương đối với nhau

Ma sát được gọi là khô khi hai vật tiếp xúc trực tiếp với nhau

Ma sát được gọi là nhớt khi chúng tiếp xúc với nhau qua một màng dầu

Nói chung trong thực tế kỹ thuật hiện tượng ma sát rất phức tạp và đa dạng, nhưng dưới đây chúng ta chỉ khảo sát ma sát trượt và ma sát lăn chỉ trong trường hợp tĩnh và khô

4.2 Ma sát trượt

4.2.1 Thí nghiệm

33

Xét một vật A trên một mặt phẳng nằm ngang chịu tác dụng của lực ép Qr(kể cả trọng lực) thẳng góc với bàn Đặt vào vật A một lực có trọng lượng Pr có thể tay đổi được độ lớn (hình 4.1) Ta thấy:

- Khi P nhỏ vật A vẫn nằm yên, chứng

tỏ đ€ có một lực nào đó cản trở chuyển động

của vật A

- Khi tăng dần P đến một giá trị P0 thì vật A bắt đầu chuyển động

Thực nghiệm cho thấy P0 = fgh.Q

4.2.2 Kết luận

- Ngoài lực Nr và Qr bằng nhau, còn có lực ngược chiều với Pr, cản trở chuyển động của vật A, người ta gọi lực đó là lực ma sát Ký hiệu Fms

r

- Lực ma sát có trị số thoả m€n:

0 ≤ Fms≤ P0 = fgh.Q = fgh.N = Fgh

- Khi vật còn cân bằng thì Fms ≤ fgh.N Hệ số ma sát fgh gọi là hệ số ma sát trượt tĩnh, khô

- Khi vật bắt đầu chuyển động thì P ≥ fgh.N, khi đó fđ << fgh

* Định luật: Lực ma sát trượt xuất hiện khi có xu hướng trượt tương đối, nằm

theo tiếp tuyến của mặt tựa tiếp xúc, ngược hướng trượt và có giá trị bị chặn trên:

Fms≤ f.N Trong đó: - f: Hằng số, hệ số ma sát trượt tĩnh, khô;

- N: Phản lực pháp tuyến

4.2.3 Phản lực liên kết - Góc ma sát

Trong một số trường hợp, dùng phương pháp hình học để giải quyết bài toán

ma sát sẽ tiện lợi hơn Vì vậy ta cần hiểu khái niệm về góc ma sát

Trên hình vẽ ta thấy:

- Khi không tính đến ma sát, phản lực vuông

rgh

34

- Khi tính đến ma sát, phản lực toàn phần

của liên kết tựa là:

NF

rrr

+

= sẽ nghiêng với pháp tuyến một góc nào đó

Khi Fms

r

thay đổi từ 0 đến Fgh

r thì Rr thay đổi từ

NfN

+ Điều kiện để vật cân bằng là phản lực toàn phần Rr của các liên kết tựa nằm trong nón ma sát

+ Không có lực hoạt động nào lập với phản lực pháp tuyến một góc bé hơn góc ϕ0 mà có thể làm cho vật chuyển động được Đây là hiện tượng tự h€m

4.2.4 Cân bằng khi có ma sát trượt

Vật rắn muốn cân bằng thì hệ lực tác dụng lên nó (kể cả lực ma sát trượt) phải thoả m€n điều kiện cân bằng như ở tĩnh học

Vậy, ngoài các phương trình cân bằng đ€ xét, ta phải có thêm:

0 ≤ Fms≤ fgh.N Như vậy, bài toán cân bằng khi có ma sát không phải chỉ có một giá trị cân bằng mà có cả một miền cân bằng

4.2.5 Thí dụ

Vật A nằm trên mặt phẳng ngang chịu tác dụng của lực ép Qr nghiêng so với phương thẳng đứng một góc α Hệ số ma sát trượt tĩnh giữa vật và mặt phẳnglà f Xác định α để vật cân bằng với mọi giá trị của Q

35

Q

r, Nr , Fms

r

Điều kiện cân bằng: ( Qr , Nr , Fms

r) = OrPhương trình cân bằng:

∑Fx =Fms ưQsinα = O

∑Fy = NưQcosα = O ms

F ≤ f.N Giải hệ phương trình trên ta được:

+ Ngẫu lực M (có M = P.R cùng chiều quay với Pr quanh I )

- Ta thấy '

P

r gây trượt và ngẫu lực M gây lăn

- Để bánh xe không lăn, không trượt thì

Fms = P ≤ fgh.N = f.Q

Ml≤ M0 = kgh.N (=R.P0) Trong đó: + fgh: Hệ số hằng số ma sát trượt tĩnh, khô;

4.3.4 Thí dụ

Trên mặt phẳng ngang có bánh xe đồng chất tâm O, bán kính R, trọng lượng

P chịu tác dụng của ngẫu lực M và lực Qr như hình vẽ Biết hệ số ma sát trượt tĩnh

là f, hệ số ma sát lăn là k Tìm giá trị của M và Q để bánh xe có thể lăn, không trượt

Giải:

Khảo sát bánh xe ở trạng thái chuẩn bị lăn dưới tác dụng của các lực:

Q

r, Pr, Nr , Fms

r, M , Ml

Điều kiện cân bằng:

( Qr , Pr, Nr , Fms

r, M , Ml) = O Phương trình cân bằng:

∑Fx =QưFms = O ∑Fy = NưP = O

∑mI(Fk)

rr

= Q.R - M - Ml = O

Điều kiện về ma sát để bánh xe có thể lăn, không trượt:

Ml = k.N ms

1 Mục đích, yêu cầu

- Làm cho học viên hệ thống lại kiến thức cơ bản về các quy luật của ma sát

và điều kiện cân bằng khi có ma sát

- Rèn luyện kỹ năng để giải bài toán cân bằng của vật khi có ma sát, vận dụng để giải các bài toán thường gặp

2 Thời gian: 2 (tiết)

3 Nội dung, phương pháp:

A Nội dung 4.4 Hướng dẫn và các thí dụ tính toán

38

4.4.1 phương pháp giải bài tập

- Thực chất của bài toán ma sát là ta đi xác định điều kiện cân bằng của vật rắn (hệ vật rắn) (có cả lực ma sát) như ở trong chương 2 và có tính đến các điều kiện về ma sát Vì vậy việc giải bài toán có thể thực hiện theo các bước sau:

* Bước 1: Chọn vật (hệ vật) để khảo sát ở trạng thái cân bằng giới hạn và phân tích các lực tác dụng lên nó

* Bước 2: Viết điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng

* Bước 3: Đưa ra các điều kiện về ma sát (tuỳ theo yêu cầu của bài toán)

Giải:

Khảo sát bánh xe ở trạng thái chuẩn bị lăn dưới tác dụng của các lực:

Q

r, Pr, Nr , Fms

r, M , Ml

Điều kiện cân bằng:

( Qr , Pr, Nr , Fms

r, M , Ml) = O Phương trình cân bằng:

∑Fx =QưFms = O ∑Fy = NưP = O

∑mI(Fk)

rr

= Q.R - M - Ml = O

Điều kiện về ma sát để bánh xe có thể lăn, không trượt:

Ml = k.N ms

1 Mục đích, yêu cầu:

- Làm cho học viên nắm được nội dung cơ bản trong chương trình phần II -

40

Động học là phần thứ hai của cơ học, nghiên cứu chuyển động của các vật thể nhưng chưa quan tâm đến khối lượng và các lực tác dụng, tức là chỉ nghiên cứu chuyển động về mặt hình học mà thôi Mặc dù có hạn chế về phạm vi nghiên cứu nhưng những kết quả nhận được là vô cùng quan trọng vì:

* Nó là cơ sở chính xác và cần thiết phục vụ cho các nghiên cứu hoàn chỉnh

về chuyển động trong phần động lực học

* Nó phục vụ cho các bài toán kỹ thuật và công nghệ khi chỉ cần thiết lập các mối quan hệ về động học thuần tuý mà thôi

Chuyển động là sự thay đổi vị trí trong không gian theo thời gian Không gian

và thời gian lại là hai khái niệm rất rộng và phong phú, do vậy trong phần này ta hạn chế quan niệm để hiểu các chuyển động cần khảo sát là:

Nghiên cứu chuyển động là xác định vị trí và các đặc trưng động học của điểm hay vật rắn so với một hệ chọn làm mốc gọi là hệ quy chiếu Trong các hệ quy chiếu thì hệ gắn với quả đất là quan trọng và thường được sử dụng

Nội dung chủ yếu trong phần động học là xác định các đặc trưng động học của điểm hay vật

Chương 1: động học điểm