de thi hsg 9

Lêi gi¶i: NguyÔn Ngäc Hïng – THCS Hoµng Xu©n H·n.[r]

phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 9 năm học 2012-2013 Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1: a) Giải phơng trình x 2 3 2x 5    x 2  2x 5 2 2

b) Với giá trị nào của tham số a thì phơng trình sau có nghiệm: a x2 22a 3 1 x   x 4 2 3 4

(*)

Lời giải: a) Ta có x 2 3 2x 5 12x 5 6 2x 5 9 1 2x 5 32 0

ĐKXĐ:

5

2

Phơng trình tơng đơng 2x 4 6 2x 5    2x 4 2 2x 5   4

Ta có 1 2x 5  1 2x 5 , do đó dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 2x 5  0 2x 5  1 2x 5 1   x3

Kết hợp với ĐKXĐ ta có nghiệm của phơng trình là

5

b) ĐKXĐ: x 4  0 x4

Phơng trình tơng đơng a x2 22a 3 1 x 4 2 3     x 4

a x 2a 3 1 x 4 2 3   a x 2a 3 1 x  3 1  ax 3 1 0

;

   Suy ra





Để phơng trình (*) có nghiệm thì phơng trình 2 2  

a x 2a 3 1 x 4 2 3   0

có nghiệm x = 4

4



Bài 2: a) Tìm GTNN của biểu thức P 1 4x 4x  2  4x212x 9

b) Tìm số thực a để phơng trình sau có nghiệm nguyên x2 ax a 2  0

P 1 4x 4x   4x  12x 9  2x 1  2x 3 2x 1  2x 3

GTNN của P là 4

b) Để phơng trình có nghiệm nguyên thì   0  a2 4a 8  0 a 2 212 a 2 2 3

 a 2 2 3 ; a 2 2 3 Khi đó gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình Theo hệ thức Viets ta có

       

1 2





 



x1 – 1 và x2 – 1 là ớc của 3 Giả sử x1  x2 thì x1 – 1  x2 – 1 Ta có 2 trờng hợp sau:





Đối chiếu điều kiện ta có a  2; 6

là giá trị cần tìm

Bài 3: a) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) có phơng trình m 3 x   m 2 y m 1 0    

(m là tham số) luôn đi qua một điểm cố định A Tìm tọa độ A

b) Giải hệ phơng trình sau:

(1) (2)

x y 3 x 2 4







Lời giải: a) Ta có m 3 x   m 2 y m 1 0      mx my m 3x 2y 1 0     

đúng với mọi m khi và chỉ khi



  Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định A(1; 2)

b) Từ phơng trình (2) suy ra

x y2 4 x y  4 9 x y 22 9 x y 2 3









Với x – y = 1 thay vào phơng trình (1) đợc

x 2 2

x = 4  y = 3; x = 0  y = -1

Với x – y = -5 thay vào phơng trình (1) đợc x 2 4 vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phơng trình là x;y 4;3 ; 0; 1    

Bài 4: Cho ABC đều cố định nội tiếp trong đờng tròn (O) Đờng thẳng d thay đổi luôn đi qua A và cắt cung nhỏ AB

tại điểm E (E  A) Đờng thẳng d cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đờng tròn (O) lần lợt tại M và N, MC cắt BN tại F Chứng minh rằng

a) CAN  BMA và MBC  BCN

b) Tứ giác BMEF nội tiếp đợc đờng tròn

c) Chứng minh rằng đờng thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi d thay đổi

Lời giải: a) Ta có

2

2

2

Xét CAN và BMA có

ACN MBA







A

N

M

O

E

F

K I

CA CN BC CN BC BM

Xét MBC và BCN có  

0









b) Xét MBC và BFC có



BMC CBF (vì MBC BCN) BCM chung









 (g – g)

     Mặt khác BCA AEB 180   0, BEM AEB 180   0 

BEMBCA60 Suy ra BEM BFM  600, tứ giác BMEF nội tiếp (E, F cùng nhìn MB dới 1 góc bằng nhau)

c) Đờng thẳng EF cắt đờng tròn (O) tại K Ta có BMF CBF (vì MBC  BFC); BMF BEF (góc nội tiếp cùng chắn BF); BMF BCK (góc nội tiếp cùng chắn BK)  CBF BCK  BF // CK (1)

Ta lại có

2

mà BFC 120  0  BK // FC (2)

Từ (1) và (2)  tứ giác BFCK là hình bình hành Do đó EF đi qua trung điểm I của BC cố định

Bài 5: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

a 3b b 3c c 3a a 2b c  b 2c a  c 2a b 

Lời giải: Với x, y > 0 ta có

xy x y Thật vậy

xy x y       với x, y Dấu

“=” xảy ra khi và chỉ khi x = y

áp dụng bài toán phụ trên ta có:

a 3b b 2c a  a 3b b 2c a    a 2b c 

b 3c c 2a b  b 3c c 2a b    b 2c a 

c 3a a 2b c  c 3a a 2b c    c 2a b 

Cộng theo vế 3 BĐT trên đợc

a 3b b 3c c 3a a 2b c  b 2c a  c 2a b 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi









Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn