Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng a để diện tích POM đạt giá trị nhỏ nhất.. -HếtĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN.[r]
Trang 1phòng gd - đt đức thọ
đề thi olympic huyện năm học 2010 - 2011
Môn toán lớp 9; Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: Cho biểu thức: P=15√x −11
x+2√x − 3+
3√x −2
1 −√x −
2√x+3
√x +3
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của P
Bài 2: Giải các phơng trình sau: a) √7− x=x − 5 b) x2+3 x +1=(x+3)√x2+1
Bài 3: Cho phơng trình: x2−2(m+1)x +2 m+3=0 (Trong đó m là tham số )
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn x1− x2¿2=4
¿
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt, hãy tìm một hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với tham số m
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O) và I là điểm chính giữa cung AB
(Cung AB không chứa C, D) Dây ID, IC cắt AB lần lợt tại M và N
a) Chứng minh tứ giác DMNC nội tiếp
b) Đờng thẳng IC và AD cắt nhau tại E ; đờng thẳng ID và BC cắt nhau tại F Chứng minh rằng FE song song với AB
Bài 5: Cho x , y
0 thoả mãn: x2+y2=4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=(x+1
y)2+(y +1
x)2
L
u ý : Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào
Hết
-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mụn: Toỏn Thời gian làm bài: 150 phỳt
(khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu 1: (5điểm) Rỳt gọn biểu thức:
a
a+1¿2
¿
¿
1+1
a2+
1
¿
A=√¿
với a > 0
b Tớnh giỏ trị của tổng B=√1+1
12+ 1
22+√1+ 1
22+ 1
32+√1+1
32+ 1
42+ .+√1+ 1
992+ 1
1002
Cõu 2: (4điểm) Cho (x +√x2
+√2005)(y +√y2
+√2005)=√2005
a Chứng minh y +√y2
+√2005=−(x −√x2
+√2005) ; (2điểm)
b Tớnh S = x + y (2điểm)
Cõu 3: (3điểm) Giải phương trỡnh 3+√2 x −3=x
Cõu 4: (3,5điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của
A= a
2
a − 1+
b2
b −1 với a > 1, b > 1.
Cõu 5: (4,5điểm)
Cho đường trũn tõm O, điểm K nằm bờn ngoài đường trũn Kẻ cỏc tiếp tuyến KA, KB với đường trũn (A, B là cỏc tiếp điểm) Kẻ đường kớnh AOC Tiếp tuyến của đường trũn (O) tại C cắt AB ở E Chứng minh rằng: Cỏc tam giỏc KBC và OBE đồng dạng
Trang 2kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện
đề thi môn toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Cõu 1: (4 điểm)
a Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 là số chớnh phương
b Tỡm cỏc số nguyờn x để x3 - 2x2 +9x - 9 chia hết cho x2 + 5
Cõu 2: (4 điểm)
a Tớnh giỏ trị của biểu thức A =
3 11
1
1 4
x
x x
b Cho ba số thực dương a, b, c thoả món:
2
Chứng minh rằng:
2
a b c Cõu 3: ( 3 điểm)
Giải phương trỡnh: 2x25x12 2x23x2 x 5
Cõu 4: (7 điểm)
Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là cỏc tiếp điểm Gọi H là chõn đường vuụng gúc hạ từ A đến đường kớnh BC của đường trũn
a Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH
b Tớnh AH theo R và PO = d
c Đường thẳng a đi qua P sao cho khoảng cỏch từ O đến đường thẳng a bằng R 2, đường thẳng vuụng gúc với PO tại O cắt tia PB tại M Xỏc định vị trớ của điểm P trờn đường thẳng a để diện tớch POM đạt giỏ trị nhỏ nhất
Cõu 5: (2 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thoả món abc = 1 Chứng minh rằng:
2
1a 1b 1c
-Hết-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Mụn thi: Toỏn Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
(Đề thi này gồm 01 trang)
Đề chính thức
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Trang 3Câu 1: (3 điểm) Cho A =
2
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A > 0
c) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu 2: (6 điểm)
a) Giải phương trình: 2x2 8x 3 x2 4x 8 18
b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + 2
c) Giải hệ phương trình:
¿
(x+ y)(x2− y2)=45 (x − y)(x2+y2)=85
¿{
¿
Câu 3 : (4 điểm)
a) Cho a b c 0, tính giá trị của biểu thức:
P
b) Tìm số tự nhiên n sao cho A n 2 n 6 là số chính phương
Câu 4 : (5 điểm)
a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N (O;R)) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C Cho A cố định và AO = a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN Tính giá trị không đổi ấy theo a và R
b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích) Trên cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm
D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I Tính diện tích tam giác BID
Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1+x2y2
¿2
Q=1
2(x y102+
y10
x2 )+1
4(x
16
+y16
)−¿
Hết
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4 điểm):
Chứng minh:
2
1
x x x
với x > 0
Từ đó, cho biết biểu thức
1 1
x x có giá trị lớn nhất là bao nhiêu? Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?
Bài 2 (3 điểm):
Một người đi bộ từ nhà đến sân ga Trong 12 phút đầu, người đó đi được 700m và thấy rằng như vậy sẽ đến
sân ga chậm 40 phút, vì thế trên quãng đường còn lại, người ấy đi với vận tốc 5km/h nên đến sân ga sớm 5 phút Hãy tính quãng đường từ nhà đến sân ga
Bài 3 (4 điểm):
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 4a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + n + 1 không chia hết cho 9.
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 +2012x2+2011x +2012
Bài 4 (2 điểm):
Giải phương trình: 1x23 4x3 1 3x4
Bài 5 (4 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài lần lượt là
BH = 4cm và HC = 9cm Gọi T và E là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC
a) Tính độ dài TE
b) Các đường thẳng vuông góc với TE tại T và E cắt BC theo thứ tự tại M và N Chứng minh M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH
c) Tính diện tích tứ giác TENM
Bài 6 (3 điểm):
Cho hình bình hành ABCD có A = 1200 , AB = a, BC = b Các đường phân giác của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ Tính diện tích tứ giác MNPQ?
HẾT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán
Lớp: 9
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian phát đề)
ĐỀ BÀI
Bài 1: (3,0 điểm)
Cho a,b,c > 0 Chứng minh :
a b
b a
b)
Bài 2: (3,0 điểm)
Cho biểu thức A=
:
a) Rút gọn A
b) Tìm x sao cho A < 1
Bài 3: (4,0 điểm)
Giải phương trình
a) x 6 x9 2
b)
Bài 4: (2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n để n 18 và n 41 là hai số chính phương
Bài 5: (1,5 điểm) Chứng minh đa thức sau.
A = n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6, với mọi số nguyên n
Bài 6: (6,0 điểm)
Trang 5Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại đỉnh A, đường cao AH Đường trũn đường kớnh BH cắt cạnh AB tại điểm D và đường trũn đường kớnh CH cắt cạnh AC tại điểm E Gọi I,J theo thứ tự là cỏc trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, CH
a,Chứng minh bốn điểm A,D,H,E nằm trờn một đường trũn Xỏc định hỡnh dạng tứ giỏc ADHE
b,Chứng minh DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường trũn
c,Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm Tớnh độ dài đoạn thẳng DE?
đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
Môn : Toán lớp 9 Năm học 2010-2011
( Thời gian làm bài 150 phút )
Câu 1: ( 2,5 điểm )
1 So sánh : 2008
√2009+
2009
√2008 và √2008+√2009
2 Cho biểu thức B= 1
√1+
1
√2+
1
√3+ +
1
√2010 Chứng minh rằng B>86
Câu 2: (1,0 điểm )
Chứng minh biểu thức : x3− 4 x − 1¿2010
P=¿ có giá trị là một số tự nhiên với
x=
3
√10+6√3 (√3 −1)
√6+2√5 −√5
Câu 3: ( 2,5 điểm )
1 Giải phơng trình sau: √2 x −1+2=x
2 Tìm các số nguyên x, y thoả mãn y=√x2
+4 x +5
Câu 4: (3,0 điểm )
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đờng thẳng CD tại
K Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I
1 Chứng minh : 1
AM2+
1
AK2=
1
AB2
2 Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm Tính diện tích tam giác AMN
3 Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lợt vuông góc với IK, AK, AI ( P IK, Q AK, R AI) Xác định vị trí điểm O để OP2+OQ2+OR2 nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Câu 5: ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thoả mãn 0 ≤ a , b , c ≤ 2 và a+b +c=3 Chứng minh rằng:
a3+b3
+c3≤ 9 .
ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011-2012 MễN TOÁN – Thời gian làm bài 150 phỳt
Bài 1: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n ta cú:
A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19
Bài 2: ( 2,5 điểm)
Tỡm số tự nhiờn n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chớnh phương
Trang 6Bài 3: ( 3,0 điểm)
Cho a, b > 0 và a + b = 1
Chứng minh rằng :
12,5
Bài 4: ( 3,0 điểm)
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn : x2 + y2 = 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 5: ( 4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có D là trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trên trung tuyến AD Gọi I, K lần lượt là các trung điểm tương ứng của MB, MC và P, Q là các giao điểm tương ứng của các tia DI, DK với các cạnh AB, AC
Chứng minh: PQ // IK
Bài 6: ( 4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giác đó và khoảng cách
từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và z
z h
y h
x
ĐỀ CHÍNH
THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2009 - 2010
MÔN: TOÁN - LỚP 9 Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức
1 x
Với
1
4 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2
c) So sánh A với A.
Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng:
a) 2 a b 1 2 b c
b
Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện:
a = b + 1 = c + 2 ; c >0
b) Biểu thức
2 2
2
2008 2008
2009 2009
có giá trị là một số tự nhiên
Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình
a) x2 3x 2 x 3 x 2 x22x 3
Trang 7b)
x 3
5
Bài 4.(8,0 điểm)
Cho AB là đường kớnh của đường trũn (O;R) C là một điểm thay đổi trờn đường trũn (C khỏc A và B), kẻ
CH vuụng gúc với AB tại H Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường trũn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cựng thuộc một đường trũn
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R)
c) Chứng minh K là trung điểm của CH
d) Xỏc định vị trớ của C để chu vi tam giỏc ACB đạt giỏ trị lớn nhất? Tỡm giỏ trị lớn nhất đú theo R
Bài 5: (1,5 điểm) Cho
a) Chứng minh rằng M cú giỏ trị nguyờn
b) Tỡm chữ số tận cựng của M
Chỳ ý: Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh.
phòng giáo dục-đào tạo đức thọ
đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán9
Năm học: 2008-2009
Thời gian: 150 phút
Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình:
(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 2: 1/ Cho
1.2008 2.2007 k.(2008 k 1) 2008.1
So sánh S với
2008 2
2009 2/ Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008 Chứng minh rằng:
1
ab 2008a 2008 bc b 2008 ca c 1
Bài 3: Cho x = 1 323 4 Tính giá trị của P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009
Bài 4: Giải phơng trình: x 2009 x 2 2009x x
= 2009
Bài 5: Cho 00 < < 900 Chứng minh rằng: sin2008 cos2009 1
Bài 6: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
2a b 2a c 2b c 2b a 2c a 2c b
≥
1
ab bc ca
Bài 7: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + 1 với x R
Trang 8Bài 8: Cho ABC có ba cạnh là a, b, c, có chu vi là 2p và diện tích S; r là bán kính đờng tròn nội tiếp; ra là bán kinh
đờng tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác Chứng minh: p(p – a)
A tg
2 = S
Bài 9: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB M chuyển động trên nửa đờng tròn Xác định vị trí điểm M để MA
+ 3MB đạt giá trị lớn nhất
Bài 10: Cho dãy số an
đợc xác định theo công thức:
1
a 2
a 3a 2n 9n 9n 3; n = 2, 3,
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các tổng tơng ứng a1
+ a2 + ap – 1 đều chia hết cho p
Hết
-đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán
Năm học 2005-2006
Thời gian làm bài 90 phút
Câu I Tìm tập hợp số hữu tỷ x để √x2+4 là số hữu tỷ ?
Câu II x, y, z là các số thực dơng thoả mãn 1
x+
4
y+
9
z=1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + y + z
Câu III Giải phơng trình: 81x4 + 5 = 3 √3102 x3+12 x
Câu IV Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không v ợt quá a, kí hiệu: [a] Tìm x thoả mãn:
[5 x+68 ] = 15 x −7
5
Câu V Cho hình vuông ABCD, trên đờng chéo AC lấy điểm M; I, Q là trung điểm của AM và MC Qua M vẽ
đ-ờng thẳng song song với AD, đđ-ờng thẳng này cắt AB tại N, cắt CD tại K
Chứng minh: IB.AK = DQ.CN
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P = 2009 2 2008 2009 2 2008
Q =
2008 2014 2008 4016 3 2009
2005.2007.2010.2011
Bài 2: Biết
10a 3b ab 0
b a 0
2a b 5b a 9 3a b 3a b 5
Bài 3: Chứng minh rằng với < 450, ta có sin2 = 2sin cos
Bài 4: Cho tam giác ABC có ã 0
ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trớc) Hình chữ nhật MNPQ có
đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC
a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất
Tính diện tích lớn nhất đó
b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa
Trang 9Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
19b - a 19c - b 19a - c
ab + 5b cb + 5c ac + 5a - Hết
-đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9, Năm học 2007-2008
Thời gian làm bài 120 phút Câu 1 Tìm x, y N* sao cho:
a) xy - 3x + y = 20; b)
Câu 2 Cho các số dơng a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6abc.
a) Chứng minh 2 2 2
6
b) Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3
Câu 3 a) Tìm phần d R(x) khi chia đa thức P(x) = x2007 + x207 + x27 + x7 + x + 1 cho đa thức Q(x) = x3 - x
b) Tìm đa thức f(x) = 2x2 + ax + b biết x 1,1
thì f (x) 1
Câu 4 Giải phơng trình: 3x2 12x 16 4x2 16x 25 1 x 2 4x
Câu 5 Cho tam giác cân ABC (A à
> 900) B C à à
, H là trung điểm của BC Kẻ HD vuông góc với AC (D
AC) Đờng thẳng AI vuông góc với BD (I BD) cắt HD tại O Chứng minh:
a) Sin2 = 2 sin.cos
b) O là trung điểm của HD
Phòng gd-đt đức thọ
đề thi học sinh giỏi đợt i Năm học 2006-2007
môn toán lớp 9
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1 Rút gọn biểu thức:
1 −√y
1 − y ¿
2
(1 − y√y
1 −√y +√y )¿
Câu 2.Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: y2− 5=√17 − x2
Câu 3 Cho đa thức:
P(x) = x5 + a x4 + b x3 + c x2 + d x + e, biết:
P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4 ) = 16; P(5) = 25
a) Tìm P(6) ?
b) Tìm các hệ số a, b, c, d, e của đa thức P(x) ?
Câu 4 a) Chứng minh: (3 x+3 y )( 1
x+2 y+
1
2 x+ y)≥ 4 Trong đó x > 0 và y > 0.
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q =
a+b¿2
¿
a+b¿2
a2+¿
b2+¿
a2
¿
Trong đó a và b là các số thực khác không
Câu 5 Cho tam giác vuông ABC (góc A = 900), đờng cao AH, có cạnh AB = 2 cm, đoạn HC = 3 cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tam giác đều ABD
a) Tính diện tích tam giác ABC
Trang 10b) Chøng minh: CD = AC + BC