Đáp án 1 số bài trg sbt chương 2

a Tìm bảng phân phối xác suất của số tiền lãi mà đại lý thu được do bán 3 thùng rượu đó.. Tỷ suất lợi nhuận trên vốn đầu tư của hai loại cổ phiếu A, B trên thị trường chứng khoán Việt N

BÀI TẬP CHƯƠNG II

Dạng 1 Tính các tham số đặc trưng khi biết bảng phân phối xác suất

Cho X có bảng phân phối xác suất:

 Phương sai tỉ lệ thuận với độ phân tán, độ rủi ro, độ biến động, …

 Phương sai tỉ lệ nghịch với độ đồng đều, độ chính xác, …

4 Chú ý:

 Đơn vị của phương sai bằng bình phương đơn vị của đại lượng ngẫu nhiên

 Công thức tính phương sai của tổng, hiệu:

IV Hệ số biến thiên

1 Công thức tính: 𝐶𝑉 𝑋 = 𝜎 𝑋

𝐸 𝑋 100% = 𝐷 𝑋

𝐸 𝑋 100%

2 Ý nghĩa:

 Khi so sánh độ phân tán (độ đồng đều, độ rủi ro, …) thì ta so sánh hệ số biến thiên

 Khi các đại lượng ngẫu nhiên có cùng quy mô, cùng đơn vị đo thì để so sánh độ phân tán (độ đồng đều, độ rủi ro, …) ta có thể so sánh phương sai hoặc độ lệch tiêu chuẩn

V Mốt

 Mốt của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu 𝑀𝑜𝑑 𝑋 là giá trị có khả năng xảy ra nhiều

nhất

 Mốt của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc là giá trị mà tại đó xác suất lớn nhất

Bài 2.46 Một đại lý rượu vang Pháp nhập về 12 thùng rượu vang để bán trong dịp Tết Trong

đó, có 8 thùng rượu loại hảo hạng và 4 thùng rượu loại bình dân Khi bán một thùng rượu loại

hảo hạng thì đại lý trên sẽ lãi 3 triệu đồng, còn nếu bán được một thùng rượu loại bình dân thì lãi 2 triệu đồng Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó ra 3 thùng rượu để đem bán

a) Tìm bảng phân phối xác suất của số tiền lãi mà đại lý thu được do bán 3 thùng rượu đó b) Tính vọng toán, phương sai và giá trị có khả năng nhất của số tiền lãi thu được do bán 3

thùng rượu đó

Giải

a) Gọi X là số thùng rượu loại hảo hạng trong 3 thùng rượu đem bán thì 𝑋: 0, 1, 2, 3

Gọi Y là số tiền lãi mà đại lý thu được do bán 3 thùng rượu đó (đơn vị: triệu đồng)

1255

2855

1455b) 𝐸 𝑌 = 6 1

Bài 2.49 Theo thống kê về tai nạn giao thông cho thấy tỉ lệ tai nạn xe máy (vụ/tổng số

xe/năm) tuỳ theo mức độ nhẹ, nặng tương ứng là 0,005 và 0,001 Một công ty bảo hiểm đề nghị

tất cả các chủ xe phải mua bảo hiểm với mức phí là 60000 đồng/1 xe và số tiền chi trả bảo hiểm cho 1 vụ tai nạn là 1 triệu đồng đối với trường hợp nhẹ và 9 triệu đồng đối với trường hợp

nặng Hỏi lợi nhuận trung bình hàng năm công ty thu được với mỗi hợp đồng bảo hiểm là bao nhiêu, biết rằng chi phí cho quản lý và các phụ phí khác chiếm 30% số tiền thu được

Giải

Gọi 𝑋 là lợi nhuận của một hợp đồng bảo hiểm (đơn vị: nghìn đồng)

Nếu người mua bảo hiểm gặp tai nạn ở mức độ nặng thì:

𝑋 = 60 − 0,3.60 − 9000 = −8958 Nếu người mua bảo hiểm gặp tai nạn ở mức độ nhẹ thì:

𝑋 = 60 − 0,3.60 − 1000 = −958 Nếu người mua bảo hiểm không gặp tai nạn thì:

𝑋 = 60 − 0,3.60 = 42

Ta có bảng phân phối xác suất của 𝑋 là:

X - 8958 - 958 42

P 0,001 0,005 0,994 Suy ra: 𝐸 𝑋 = −8958.0,001 − 958.0,005 + 42.0,994 = 28

Vậy trung bình tiền lãi của một hợp đồng bảo hiểm là 28 nghìn đồng

Bài 2.60 Tỷ suất lợi nhuận trên vốn đầu tư (%) một năm khi đầu tư vào công ty A và B là

các đại lượng ngẫu nhiên X, Y độc lập nhau có bảng phân phối xác suất:

P 0,05 0,15 0,3 0,35 0,15

Y 4 3 8 10 12 16

P 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1

a) Hỏi đầu tư vào công ty nào thì rủi ro hơn?

b) Nếu muốn hạn chế rủi ro đến mức thấp nhất (đo bởi phương sai) thì nên đầu tư vào hai công ty trên theo tỷ lệ như thế nào?

Giải

a) 𝐸 𝑋 = 4.0,05 + 6.0,15 + 8.0,3 + 10.0,35 + 12.0,15 = 8,8

𝐷 𝑋 = 42 0,05 + 62 0,15 + 82 0,3 + 102 0,35 + 122 0,15 − 8,82 = 4,56

𝐶𝑉 𝑋 = 𝐷 𝑋

𝐸 𝑋 100% = 4,56

8,8 100% ≈ 24,27%

Tương tự (Nhớ trình bày ra): 𝐶𝑌 𝑌 ≈ 70,07%

Nhận thấy CV X CV Y   đầu tư vào công ty B rủi ro hơn

b) Giả sử, ta đầu tư vào hai công ty A và B theo tỉ lệ 𝛼 và 1 − 𝛼 𝛼 ∈ 0; 1

Tỉ suất sinh lời thu được là: 𝑍 = 𝛼𝑋 + 1 − 𝛼 𝑌

Bài 2.61 Tỷ suất lợi nhuận trên vốn đầu tư của hai loại cổ phiếu A, B trên thị trường chứng

khoán Việt Nam (đơn vị tính: %) tương ứng là là các đại lượng ngẫu nhiên ,X Y và có bảng

phân phối xác suất đồng thời như sau:

Lại có: 𝐸 𝑋𝑌 = 4 −2 0,05 + 4.5.0,25 + 4.10.0,15 + 6 −2 0,1 + 6.5.0,1 = 12,4Suy ra: cov 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 = 12,4 − 3,7.4,2 = −3,14

Giả sử, ta đầu tư vào hai cổ phiếu A và B theo tỉ lệ 𝛼 và 1 − 𝛼 𝛼 ∈ 0; 1

Tỉ suất lợi nhuận thu được là: 𝑍 = 𝛼𝑋 + 1 − 𝛼 𝑌

Ta có: 𝐷 𝑍 = 𝐷 𝛼𝑋 + 1 − 𝛼 𝑌 = 𝛼2 𝐷 𝑋 + 1 − 𝛼 2 𝐷 𝑌 + 2𝛼 1 − 𝛼 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 4,11𝛼2+ 17,96 1 − 𝛼 2− 2.3,14𝛼 1 − 𝛼 = 28,35𝛼2− 42,2𝛼 + 17,96

Ta có: 𝐷 𝑍 là hàm số bậc hai ẩn là 𝛼 có hệ số 𝑎 = 28,35 > 0 nên 𝐷 𝑍 đạt min tại

𝛼 = − 𝑏

2𝑎=

42,22.28,35 ≈ 0,7443 ∈ 0; 1 Vậy để rủi ro thấp nhất thì ta đầu tư vào 2 cổ phiếu A và B theo tỉ lệ 74,43% và 25,57%

Dạng 2: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

I Quy luật phân phối 0 – 1

1 Nhận xét:

 Nếu đại lượng ngẫu nhiên X chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 thì X có phân phối 0 – 1

 Tham số p trong quy luật phân phối 0 – 1 là xác suất để X nhận giá trị bằng 1

 Kí hiệu: 𝑋~𝐴(𝑝)

2 Tham số đặc trưng:

Cho 𝑋~𝐴(𝑝) Ta có 𝐸 𝑋 = 𝑝; 𝐷 𝑋 = 𝑝𝑞; 𝜎 𝑋 = 𝑝𝑞

Bài 2.29 Một người bắn 4 phát đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng đích của mỗi phát đạn

tương ứng lần lượt là 0,4; 0,5; 0,6; 0,7 Gọi X là số viên đạn trúng đích Tính E X , D X 

5 Định lý Poisson và Định lý Moivre – Laplace:

 Định lý Poisson: Cho 𝑋~𝐵 𝑛; 𝑝 Khi n khá lớn, p khá gần 0 (0 < 𝑝 < 0,005) thì ta

có:

𝑃 𝑋 = 𝑚 ≈𝑒

−𝜆𝜆𝑚𝑚!

Bài 2.30 Trong một hộp có 20 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen Tiến hành chọn n lần, mỗi lần

một quả (có hoàn lại) Tính số lần chọn tối thiểu để xác suất chọn được ít nhất 1 lần quả cầu đen sẽ không bé hơn 0,6

Giải

Gọi X là số lần chọn được quả cầu màu đen trong n lần chọn

+ Chọn có hoàn lại n lần là n phép thử độc lập nhau

+ Xác suất chọn được quả cầu màu đen trong mỗi lần chọn là 2

22 = 111

Bài 2.31 Một nghiên cứu cho thấy có 90% công chức cho rằng việc nghỉ làm hai ngày trong

một tuần sẽ nâng cao được hiệu suất làm việc Chọn 10 người trong một phòng bất kỳ để phỏng vấn Tính xác suất để có ít nhất 8 người cho rằng việc nghỉ làm hai ngày trong một tuần sẽ nâng cao được hiệu suất làm việc

Bài 2.34 Bắn liên tiếp 3 phát đạn vào một mục tiêu Xác suất trúng mục tiêu của mỗi phát

đều là 0,3 Nếu trúng ít nhất 2 phát thì mục tiêu bị diệt Nếu trúng 1 phát thì xác suất mục tiêu

bị diệt là 0,6 Tính xác suất để mục tiêu bị diệt

𝑃 𝐴1 = 𝑃 𝑋 = 1 = 𝐶31 0,31 0,72 = 0,441

𝑃 𝐴2 = 𝑃 𝑋 = 2 = 𝐶32 0,32 0,71 = 0,189

𝑃 𝐴3 = 𝑃 𝑋 = 3 = 𝐶33 0,33 0,70 = 0,027 Gọi B là biến cố "Mục tiêu bị tiêu diệt"

Bài 2.35 Hai cầu thủ bóng rổ, mỗi người ném bóng 3 lần Xác suất ném bóng trúng rổ trong

mỗi lần ném của người thứ nhất và thứ hai tương ứng là 0,6 và 0,7 Tính xác suất:

a) Hai cầu thủ có số lần ném trúng rổ bằng nhau

b) Hai cầu thủ có số lần ném trúng rổ khác nhau

c) Cầu thủ thứ nhất có số lần ném trúng rổ nhiều hơn số lần ném trúng rổ của cầu thủ thứ hai

Gọi 𝐴𝑖 là biến cố "Cầu thủ thứ 1 ném bóng trúng rổ i lần", 𝑖 = 0; 3

Gọi 𝐵𝑗 là biến cố "Cầu thủ thứ 2 ném bóng trúng rổ j lần", 𝑗 = 0; 3

a) Gọi C là biến cố "Hai cầu thủ có số lần ném bóng trúng rổ bằng nhau"

Bài 2.52 Sản phẩm được sản xuất tại một nhà máy được chia làm 3 loại: loại 1, loại 2 và loại

3 Nếu sản xuất ra sản phẩm loại 1, loại 2 thì bán được và tiền lãi thu được tương ứng là 95

nghìn đồng/sản phẩm và 70 nghìn đồng/sản phẩm; còn nếu là sản phẩm loại 3 thì không bán

được và lỗ 12 nghìn đồng/sản phẩm Khả năng nhà máy sản xuất ra sản phẩm loại 1, loại 2,

loại 3 lần lượt là 65%, 28% và 7% Giả sử nhà máy sản xuất được 300 nghìn sản phẩm a) Tính số sản phẩm trung bình có thể bán được

b) Tính số tiền lãi bình quân thu được khi bán hết hàng

Vậy số sản phẩm trung bình có thể bán được là 279000 sản phẩm

b) Gọi 𝑌 là số tiền lãi thu được khi bán hết hàng (đơn vị: nghìn đồng)

Ta có: 𝑌 = 95𝑋1+ 70𝑋2− 12𝑋3

Suy ra: 𝐸 𝑌 = 𝐸 95𝑋1+ 70𝑋2− 12𝑋3 = 95𝐸 𝑋1 + 70𝐸 𝑋2 − 12𝐸 𝑋3

= 95.195000 + 70.84000 − 12.21000 = 24 153 000 Bài 2.53 Một trang trại nuôi 2700 con gà đẻ trứng Xác suất để mỗi con gà đẻ trứng trong

ngày đều là 0,75 Mỗi quả trứng được bán với giá 3000 đồng và chi phí cho mỗi con gà ăn

trong ngày là 1500 đồng Giả thiết mỗi con gà đẻ tối đa 01 quả trứng trong ngày

a) Tính số tiền lãi trung bình mà trang trại thu được trong ngày khi bán hết số trứng trên b) Tính số tiền lãi có khả năng nhất mà trang trại thu được trong ngày

Vậy số tiền lãi có khả năng nhất mà trang trại thu được trong ngày là 2025000 đồng

III Quy luật phân phối chuẩn

1 Kí hiệu và ý nghĩa các tham số:

𝑋 ∼ 𝑁 𝑎; 𝜎2 với 𝑎 là vọng toán (a đặc trưng cho giá trị trung bình của X), 𝜎 là độ lệch tiêu chuẩn của X

   

      

Chú ý 1: Nếu tại các dấu bất đẳng thức có thêm dấu " = " thì kết quả vẫn không thay đổi

Chú ý 2: Cần nắm được tính chất của hàm Φ 𝑥 và cách tra bảng (tra xuôi, tra ngược) giá trị

của hàm Φ 𝑥

Bài 2.39 Thời gian hoạt động của một loại sản phẩm do công ty A cung cấp xem như có quy

luật phân phối chuẩn với thời gian trung bình là 10000 giờ và độ lệch tiêu chuẩn là 500 giờ Sản phẩm được bảo hành nếu hỏng trước 9000 giờ

a) Tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành của công ty A

b) Muốn giảm tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành xuống còn 1% thì công ty A phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu giờ?

Chú ý: Ta có thể làm như sau:

𝑃 𝑋 < 9000 = 𝑃 −∞ < 𝑋 < 9000 = Φ 9000 − 10000

500 − Φ −∞

= Φ −2 − Φ −∞ = Φ +∞ − Φ 2 = 0,5 − 0,47725 = 0,02275

b) Giả sử công ty quy định thời gian bảo hành là t (giờ)

Khi đó, tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành là:

𝑝 = 𝑃 𝑋 < 𝑡 = 𝑃 0 < 𝑋 < 𝑡 = Φ 𝑡 − 10000

500 − Φ

0 − 10000

500 = Φ 𝑡 − 10000

Theo giả thiết, ta có:

Bài 2.40 Chiều dài của một loại chi tiết máy là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với

độ lệch tiêu chuẩn là 3 cm Biết rằng có 97,725% các chi tiết máy có độ dài không vượt quá

96 cm Tính xác suất để chi tiết máy có chiều dài từ 84 cm đến 93 cm

Bài 2.41 Tỷ suất lợi nhuận (đơn vị tính %) khi đầu tư vào một dự án là đại lượng ngẫu nhiên

có phân phối chuẩn Theo đánh giá của ban giám đốc công ty thì khả năng để tỷ suất lợi nhuận từ dự án này cao hơn 20% là 0,15866 và tỷ suất lợi nhuận cao hơn 25% là 0,02275 Tính xác suất để khi đầu tư vào dự án đó sẽ có lãi

Suy ra: 0,5 − Φ

20−𝑎

𝜎 = 0,158660,5 − Φ 25−𝑎

𝜎 = 2 ⟹ 𝑎 = 15

𝜎 = 5

Do đó: 𝑃 𝑋 > 0 = Φ +∞ − Φ 0−15

5 = 0,5 + Φ 3 = 0,5 + 0,49865 = 0,99865 Vậy xác suất để khi đầu tư vào dự án đó có lãi là 0,99865

Bài 2.55 Tuổi thọ của một loại sản phẩm do công ty Hưng Phát sản xuất ra là đại lượng ngẫu

nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là 8000 giờ và độ lệch tiêu chuẩn là 200 giờ Nếu thời gian sử dụng thực tế đạt dưới 7600 giờ thì công ty sẽ phải bảo

b) Gọi Y là lợi nhuận cho mỗi sản phẩm do công ty bán ra (đơn vị: nghìn đồng)

Y có bảng phân phối xác suất:

Y - 50 200

P 0,02275 0,97725

Ta có: 𝐸 𝑌 = −50.0,02275 + 200.0,97725 = 194,3125

Hỏi thêm: Tính lợi nhuận trung bình cho 1000 sản phẩm mà công ty bán ra

Gọi Z là lợi nhuận cho 1000 sản phẩm mà công ty bán ra

Gọi 𝑍1 là số sản phẩm phải bảo hành trong 1000 sản phẩm

+ Sản xuất 1000 sản phẩm là 1000 phép thử độc lập

+ Xác suất để mỗi sản phẩm phải bảo hành là 0,02275

Ta có: 𝑍1~𝐵 1000; 0,02275 ⟹ 𝐸 𝑍1 = 1000.0,02275 = 22,75

Lại có: 𝑍 = 200 1000 − 𝑍1 − 50𝑍1 = 200000 − 250𝑍1 Suy ra:

𝐸 𝑍 = 𝐸 200000 − 250𝑍1 = 200000 − 250𝐸 𝑍1 = 200000 − 250.22,75 = 194312,5

Bài 2.56 Một cửa hàng bán một loại linh kiện điện tử với tuổi thọ trung bình là 8,2 năm và

độ lệch tiêu chuẩn là 1,6 năm Cửa hàng quy định thời gian bảo hành cho loại linh kiện điện

tử đó là 5,5 năm Giả sử tuổi thọ của linh kiện điện tử đó có phân phối chuẩn

a) Tính tỷ lệ linh kiện điện tử phải bảo hành

b) Biết rằng khi bán một sản phẩm cửa hàng lãi 200 nghìn đồng, song nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì cửa hàng phải chi 800 nghìn đồng cho việc bảo hành Nếu muốn tiền lãi trung bình khi bán mỗi sản phẩm là 180 nghìn đồng thì cửa hàng cần quy định thời

gian bảo hành là bao nhiêu năm?

Chú ý: 𝑃 𝑋 < 5,5 = 𝑃 −∞ < 𝑋 < 5,5 = Φ 5,5−8,2

1,6 − Φ −∞

= Φ +∞ − Φ 1,69 = 0,5 − 0,45449 = 0,04551

b) Gọi thời gian quy định bảo hành là t (năm)

Khi đó, tỉ lệ linh kiện phải bảo hành là:

𝑝 = 𝑃 𝑋 < 𝑡 = 𝑃 0 < 𝑋 < 𝑡 = Φ 𝑡 − 8,2

1,6 − Φ

0 − 8,21,6 = Φ 5,13 − Φ 8,2 − 𝑡

1,6 = 0,5 − Φ

8,2 − 𝑡1,6 Gọi 𝑌 là tiền lãi cho một sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng)

𝑌 có bảng phân phối xác suất là:

Y - 600 200

IV Kết hợp phân phối chuẩn với phân phối nhị thức

Bài 2.42 Chiều cao của nam thanh niên ở một vùng là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn với chiều cao trung bình là 164 cm và độ lệch tiêu chuẩn là 4 cm Kiểm tra ngẫu nhiên

5 nam thanh niên ở vùng này Tính xác suất để có ít nhất một người có chiều cao từ 165 cm

Gọi Y là số nam thanh niên trong 5 nam thanh niên có chiều cao từ 165 cm trở lên

+ Đo chiều cao 5 nam thanh niên là 5 phép thử độc lập nhau

+ Xác suất để mỗi nam thanh niên có chiều cao từ 165 cm trở lên là 0,40129

Suy ra 𝑌~𝐵 5; 0,40129

𝑃 𝑌 ≥ 1 = 1 − 𝑃 𝑌 = 0 = 1 − 𝐶50 0,401290 0,598715 ≈ 0,9231

Vậy xác suất để có ít nhất một người có chiều cao từ 165 cm trở lên là 0,9231

Bài 2.43 Thời gian đóng gói sản phẩm của công nhân tại một nhà máy là đại lượng ngẫu

nhiên có phân phối chuẩn với thời gian trung bình là 100 giây và độ lệch tiêu chuẩn là 8 giây

Công nhân của nhà máy này được cho là đạt tay nghề bậc I nếu đóng gói mỗi sản phẩm

không vượt quá 96 giây Hỏi trong 10 công nhân được kiểm tra có trung bình bao nhiêu công

Gọi Y là số công nhân bậc I trong 10 công nhân

+ Kiểm tra 10 công nhân là 10 phép thử độc lập

+ Xác suất để mỗi công nhân là công nhân bậc I là 0,30854

Suy ra 𝑌~𝐵(10; 0,30854)

Do đó 𝐸 𝑌 = 10.0,30854 = 3,0854

Vậy trong 10 công nhân thì trung bình có 3,0854 công nhân có tay nghề bậc I

Bài 2.57 Tỷ giá USD với VND trong ngày ở một giai đoạn là đại lượng ngẫu nhiên có phân

phối chuẩn với trung bình là 22,1 nghìn đồng và độ lệch tiêu chuẩn là 800 đồng

a) Tính xác suất để trong một ngày nào đó của giai đoạn này tỷ giá USD với VND là trên

b) Gọi Y là số ngày có tỷ giá giữa USD và VNĐ trên 21 nghìn đồng và dưới 23 nghìn đồng

trong 1 tuần của giai đoạn đó

+ Quan sát tỷ giá trong 1 tuần là 7 phép thử độc lập

+ Xác suất để tỷ giá giữa USD và VNĐ trên 21 nghìn đồng và dưới 23 nghìn đồng là:

Dạng 3: Véc tơ ngẫu nhiên 2 chiều

I Lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần

Biết cách lập bảng phân phối xác suất của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần khi biết bảng phân phối xác suất của véc tơ ngẫu nhiên hai chiều (tính tổng xác suất trên các hàng, các cột)

II Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện và tính vọng toán có điều kiện

Cho véc tơ ngẫu nhiên hai chiều rời rạc (X;Y) có bảng phân phối xác suất:

1

1 1

1

/

/

21 1

p

1 1

m p c

III Hiệp phương sai (mô men tương quan)

1 Công thức tính: Cov X Y ; E XY E X E Y    với   m n i j

i 1 j 1

 

 ij

2 Tính chất: Nếu X, Y độc lập nhau thì cov 𝑋, 𝑌 = 0

IV Hệ số tương quan

1 Công thức tính: X Y,  Cov X Y     ; 

 