Xóa nút bất kỳ trên cây nhị phân

file words

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài

Hiện nay, công nghệ thông tin với tốc độ phát triển rất nhanh Các nhà khoa học khẳng định rằng chưa có một ngành khoa học - công nghệ nào lại có nhiều ứng dụng như công nghệ thông tin Việc ứng dụng công nghệ thông tin vào trong giáo dục đã trở thành mối ưu tiên hàng đầu của nhiều quốc gia trong đó có Việt Nam

Trong quá trình học các giải thuật nói chung và môn cấu trúc dữ liệu nói riêng, chúng ta rút ra một nhận định chung là: nhiều giải thuật phức tạp trừu tượng, khó hiểu, khó hình dung vấn đề Do đó chúng

ta luôn mong muốn trong quá trình học giải thuật nên có những mô phỏng trực quan để chúng ta có thể tiếp thu giải thuật một cách dễ dàng hơn Tuy nhiên, việc học tốt giải thuật có rất nhiều thận lợi

dó là giúp cho quá trình tư duy giải thật tốt hơn, phát hiện vấn đề nhanh hơn, đặc biệt giúp cho việc học các môn học khác có tính logic cao được thuận lợi hơn Nhưng để học tốt giải thuật thì không dễ dàng với nhiều người Vậy để giúp người học tiếp thu một cách dễ dàng các giải thuật thì phải xây dựng các phần mền mô

phỏng thuật toán Cây AVL là loại cây nhị phân tự cân bằng, là một loại cấu trúc dữ liệu được ứng dụng rất nhiều trong công việc tìm kiếm Cây nhị phân tìm kiếm với ưu điểm thực hiện dễ dàng phép bổ sung và loại bỏ đã tỏ ra là khá thuận tiện trong việc xử lý các bảng biến động Tuy nhiên nếu cây phát triển tự nhiên thì khuynh hướng suy biến có thể xuất hiện và điều đó làm cho người dùng lo ngại Còn nếu muốn luôn đạt được chi phí tối thiểu thì đòi hỏi cây phải luôn được “cân đối” (Như cây nhị phân hoàn chỉnh và cây nhị phân gần đầy) Nhưng như ta đã biết, việc sửa lại cây cho cân đối nếu tiến hành thường xuyên sẽ gây tổn phí khá nhiều thời gian và công sức vậy cần phải đi tới một giải pháp dung hoà: Giảm bớt sự chặt chẽ

của tính “cân đối” để tránh được khả năng suy biến của cây Năm

1962 P.M Adelson – Velski – EM Landis đã mở đầu phương hướng giải quyết này bằng cách đưa ra một dạng cây cân đối mới mà sau này được mang tên họ, đó là cây nhị phân tìm kiếm cân đối AVL Tính ứng dụng của cây AVL là rất lớn, nhưng trong chương trình chúng ta chưa được học, nên em mong muốn làm mô phỏng giải thuật về cây AVL để người học có thể nắm được loại cấu trúc dữ liệu này và áp dụng nó trong việc giải quyết các bài toán của mình

TỪ BÀI TOÁN ĐẾN CHƯƠNG TRÌNH

Mô hình hóa bài toán thực tế:

-Để giải một bài toán trong thực tế bằng máy tính ta phải bắt đầu từ việc xác định bài toán Nhiều thời gian và công sức bỏ ra để xác định bài toán cần giải quyết, tức là phải trả lời rõ ràng câu hỏi "phải làm gì?" sau đó là "làm như thế nào?" Thông thường, khi khởi đầu, hầu hết các bài toán là không đơn giản, không rõ ràng Để giảm bớt

sự phức tạp của bài toán thực tế, ta phải hình thức hóa nó, nghĩa là phát biểu lại bài toán thực tế thành một bài toán hình thức (hay còn gọi là mô hình toán) Có thể có rất nhiều bài toán thực tế có cùng một

mô hình toán

MÔ PHỎNG THUẬT TOÁN XÓA NÚT BẤT KỲ

TRÊN CÂY NHỊ PHÂN

Cấu trúc cây

Định nghĩa:

Cây là một tập hợp T các phần tử (nút trên cây) trong đó có 1 nút đặc biệt T0 được gọi là gốc, các nút còn khác được chia thành

những tập rời nhau T1, T2 , , Tn theo quan hệ phân cấp trong đó

Ti cũng là một cây Giữa các nút có một quan hệ phân cấp gọi là quan

hệ cha con Một cây không có nút nào gọi là cây rỗng (Null tree)

Nút ở cấp i sẽ quản lý một số nút ở cấp i+1 Quan hệ này người ta còn gọi là quan hệ cha-con

Một số khái niệm cơ bản:

- Bậc của một nút: là số cây con của nút đó - Bậc của một cây: là bậc lớn nhất của các nút trong cây Cây có bậc n thì gọi là cây n-phân

- Nút gốc: nút không có nút cha

- Nút lá: nút có bậc bằng 0

- Nút nhánh: nút có bậc khác 0 và không phải là gốc

- Mức của một nút:

Mức (T0 ) = 1

Gọi T1, T2, T3, , Tn là các cây con của T0

Mức (T1) = Mức (T2) = = Mức (Tn) = Mức (T0) + 1

- Độ dài đường đi từ gốc đến nút x: là số nhánh cần đi qua kể từ gốc đến x

- Chiều cao h của cây: mức lớn nhất của các nút lá.

CÂY NHỊ PHÂN

Định nghĩa

Cây nhị phân là cây mà mỗi nút có tối đa 2 cây con

Cây nhị phân có thể ứng dụng trong nhiều bài toán thông dụng

Ví dụ dưới đây cho ta hình ảnh của một biểu thức toán học:

Một số tính chất của cây nhị phân:

- Số nút ở mức I ≤ 2I-1

- Số nút ở mức lá ≤ 2h-1, với h là chiều cao của cây

- Chiều cao của cây h ≥ log2N (N - số nút trên trong cây)

Biểu diễn cây nhị phân T

Cây nhị phân là một cấu trúc bao gồm các phần tử (nút) được kết nối với nhau theo quan hệ “cha-con” với mỗi cha có tối đa 2 con

Để biểu diễn cây nhị phân ta chọn phương pháp cấp phát liên kết Ứng với một nút, ta dùng một biến động lưu trữ các thông tin:

+ Thông tin lưu trữ tại nút

+ Địa chỉ nút gốc của cây con trái trong bộ nhớ

+ Địa chỉ nút gốc của cây con phải trong bộ nhớ

Khai báo như sau:

typedef struct tagTNODE

{

Data Key;//Data là kiểu dữ liệu ứng với thông tin lưu tại nút struct tagNODE *pLeft, *pRight;

}TNODE;

typedef TNODE *TREE;

Các thao tác trên cây nhị phân

Thăm các nút trên cây theo thứ tự trước (Node-Left-Right)

void NLR(TREE Root)

{

if (Root != NULL)

{

<Xử lý Root>; //Xử lý tương ứng theo nhu cầu

NLR(Root->pLeft);

NLR(Root->pRight);

}

}

Thăm các nút trên cây theo thứ tự giữa (Left- Node-Right)

void LNR(TREE Root)

{

if (Root != NULL)

{

LNR(Root->Left);

<Xử lý Root>; //Xử lý tương ứng theo nhu cầu LNR(Root->Right);

}

}

Thăm các nút trên cây theo thứ tự sau (Left-Right-Node)

void LRN(TREE Root)

{

if (Root != NULL)

{

LRN(Root->Left);

LRN(Root->Right);

<Xử lý Root>; //Xử lý tương ứng theo nhu cầu

}

}

Ứng dụng phương pháp này trong việc tính tổng kích thước của thư mục

Ứng dụng tính toán giá trị của biểu thức

(3 + 1)×3/(9 – 5 + 2) – (3×(7 – 4) + 6) = –13

Biểu diễn cây tổng quát bằng cây nhị phân

Nhược điểm của các cấu trúc cây tổng quát là bậc của các nút trên cây có thể rất khác nhau ⇒ việc biểu diễn gặp nhiều khó khăn

và lãng phí Hơn nữa, việc xây dựng các thao tác trên cây tổng quát phức tạp hơn trên cây nhị phân nhiều

Vì vậy, nếu không quá cần thiết phải sử dụng cây tổng quát, người ta sẽ biến đổi cây tổng quát thành cây nhị phân

Ta có thể biến đổi một cây bất kỳ thành một cây nhị phân theo qui tắc sau:

- Giữ nút con trái nhất làm con trái

- Các nút con còn lại biển đổi thành nút con phải

VD: Giả sử có cây tổng quát như hình sau:

Cây nhị phân tương ứng sẽ như sau:

Một cách biểu diễn cây nhị phân khác

Đôi khi, trên cây nhị phân, người ta quan tâm đến cả quan hệ chiều cha con Khi đó, cấu trúc cây nhị phân có thể định nghĩa lại như sau:

typedef struct tagTNode

{

DataType Key;

struct tagTNode* pParent;

struct tagTNode* pLeft;

struct tagTNode* pRight;

}TNODE;

typedef TNODE *TREE;

3 CÂY NHỊ PHÂN TÌM KIẾM

3.1 Định nghĩa:

Cây nhị phân tìm kiếm (CNPTK) là cây nhị phân trong đó tại mỗi nút, khóa của nút đang xét lớn hơn khóa của tất cả các nút thuộc cây con trái và nhỏ hơn khóa của tất cả các nút thuộc cây con phải Dưới đây là một ví dụ về cây nhị phân tìm kiếm:

Nhờ ràng buộc về khóa trên CNPTK, việc tìm kiếm trở nên có định hướng Hơn nữa, do cấu trúc cây việc tìm kiếm trở nên nhanh đáng kể Chi phí tìm kiếm trung bình chỉ khoảng log2N

TToán:

Dễ dàng thấy rằng số lần so sánh tối đa phải thực hiện để tìm phần tử X là bằng h, với h là chiều cao của cây

Ví dụ: Tìm phần tử 55

Thêm một phần tử x vào cây

Việc thêm một phần tử X vào cây phải bảo đảm điều kiện ràng buộc của CNPTK Ta có thể thêm vào nhiều vị trí khác nhau trên cây, nhưng nếu thêm vào một nút lá thì sẽ dễ nhất do ta có thể thực hiện quá trình tương tự thao tác tìm kiếm Khi chấm dứt quá trình tìm kiếm

ta sẽ tìm được vị trí cần thêm

Hàm insert trả về giá trị –1, 0, 1 khi không đủ bộ nhớ, gặp nút

cũ hay thành công:

int insertNode(TREE &T, Data X)

{

if(T)

{

if(T->Key == X) return 0; //đã có

if(T->Key > X)

return insertNode(T->pLeft, X);

else

return insertNode(T->pRight, X);

}

T = new TNode;

if(T == NULL) return -1; //thiếu bộ nhớ

T->Key = X;

T->pLeft =T->pRight = NULL;

return 1; //thêm vào thành công

}

Xóa một phần tử có khóa x

Việc xóa một phần tử X ra khỏi cây phải bảo đảm điều kiện ràng buộc của CNPTK

Có 3 trường hợp khi xóa nút X có thể xảy ra:

X - nút lá

X - chỉ có 1 cây con (trái hoặc phải)

X có đủ cả 2 cây con

Trường hợp thứ nhất: chỉ đơn giản xóa X vì nó không móc nối đến phần tử nào khác

Trường hợp thứ hai: trước khi xóa X ta móc nối cha của X với con duy nhất của nó

Trường hợp cuối cùng: ta không thể xóa trực tiếp do X có đủ 2 con ⇒ Ta sẽ xóa gián tiếp Thay vì xóa X, ta sẽ tìm một phần tử thế mạng Y Phần tử này có tối đa một con Thông tin lưu tại Y sẽ được chuyển lên lưu tại X Sau đó, nút bị xóa thật sự sẽ là Y giống như 2

Vấn đề là phải chọn Y sao cho khi lưu Y vào vị trí của X, cây vẫn là CNPTK

Có 2 phần tử thỏa mãn yêu cầu:

Phần tử nhỏ nhất (trái nhất) trên cây con phải

Phần tử lớn nhất (phải nhất) trên cây con trái

Việc chọn lựa phần tử nào là phần tử thế mạng hoàn toàn phụ thuộc vào ý thích của người lập trình Ở đây, cháng tôi sẽ chọn phần

tử (phải nhất trên cây con trái làm phân tử thế mạng

VD:

Cần xóa phần tử 18

Code PHP:

int del_node(nodeptr &root , int x)

{

nodeptr p , q , f;

p = root;

f = NULL;

while(p!=NULL)

{

if(p->data == x) break;

else

{

f = p;

if(x<p->data) p = p->left; else p = p->right;

}

}

if(p==NULL) return 0;

else

{

if(p->left !=NULL && p->right!=NULL) {

q = p->right;

f = p;

while(q->left!=NULL)

{

f = q;

q = q->left;

}

p->data = q->data;

p = q;

}

if(p->left!=NULL) q = p->left; else q = p->right;

if(p==root) root = q;

else

{

}

delete p;

return 1;

}

}

2.5 ĐÁNH GIÁ

Tất cả các thao tác Tìm kiếm, Thêm mới, Xóa trên CNPTK đều

có độ phức tạp trung bình O(h), với h là chiều cao của cây

Trong trong trường hợp tốt nhất, CNPTK có n nút sẽ có độ cao

h = log2(n) Chi phí tìm kiếm khi đó sẽ tương đương tìm kiếm nhị phân trên mảng có thứ tự

Tuy nhiên, trong trường hợp xấu nhất, cây có thể bị suy biến thành 1 DSLK Lúc đó các thao tác trên sẽ có độ phức tạp O(n) Vì vậy cần có cải tiến cấu trúc của CNPTK để đạt được chi phí cho các thao tác là log2(n)