Viết phương trình đường thẳng k đi qua điểm A và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2 đvdt.. Tìm điểm M trên đoạn OA, điểm N trên đoạn AB, điểm E và F trên đoạn OB sa[r]
Trang 1SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN KHỐI 10 TRƯỜNG THPT HẢI AN Năm học: 2015 -2016 Thời gian làm bài: 150’
Bài 1(2 điểm)
1 Tìm a và b để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 1
2 Tìm tập xác định của hàm số y =
1
1 2 x x 4 1 x
Bài 2(3 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
2 2
2 Tìm các giá trị của m để bất phương trình
2 2
1
nghiệm đúng với x R.
3 Tìm các giá trị của m để phương trình (2 x 3)2 2 x 3 m 14 0 có
nghiệm thuộc [0;1].
Bài 3(3 điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 4) và B(6; 0)
1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và tạo với đường thẳng
(d): x - 3y + 2 = 0 một góc 450
2 Viết phương trình đường thẳng k đi qua điểm A và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2 (đvdt).
3 Tìm điểm M trên đoạn OA, điểm N trên đoạn AB, điểm E và F trên đoạn
OB sao cho tứ giác MNEF là một hình vuông.
Bài 4(2 điểm): Trong mặt phẳng cho ABC với BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi ha, hb, hc là các đường cao lần lượt qua các đỉnh A, B, C của ABC CMR: a b c2 2 2 8 R h h h3 a b c
Bài 5(2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = x2 x 1 x2 x 1
-Hết -Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Số báo danh: Giám thị số 1:
Trang 2Họ và tên HS: Giám thị số 2:
1
1
+)TH1 a = 0: Hàm số có dạng y = bx - 3 nên không thoả mãn bài toán ->
+)TH2 a 0: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 4 khi x = 1
0 1 2 (1) 4
a b a y
->
Giải hệ ta tìm được a = 1 và b = - 2 => yx2 2x 3 ->
0,25đ
2
+)Hàm số xác định
1
2
x
x
2
1
2
1
0 (1 2 )(1 ) (2 1)
2
x
x x x
x
+)Kết hợp với điều kiện (1) ta được tập xá định của hàm số là: D = [- 4;0) ->
2
1
+)Ta thấy: x = y = 0 thoả mãn hệ đã cho
Hệ không có nghiệm dạng (a; 0) hoặc (0; a) với a 0 ->
+)Với
0 0
x y
thì HPT đã cho
2 ( ) 5 ( 4 ) (2)
x x y y
x x y y x y
Ta có: (2) <=>
Từ đây ta tìm được
2 4
x y
->
+)Mặt khác từ (1) => x và y cùng dấu =>
2
<=> x = 2y Thế x = 2y vào (1), ta được: y = 2/ 2
KL: hệ đã cho có nghiệm là (0;0) hoặc ( 2;
2
2 ) hoặc (- 2
;-2
2 ) ->
2
+)Ta có:
m x m x m x x
m x mx m m x mx m
->
+)Ta thấy: 2x23x 4 0 với x R
=>BPT đã cho nghiệm đúng với x R <=>(m1)x2 2mx3m0 với x
R >
2
m
KL: BPT đã cho nghiệm đúng với x R
3 2
m
->
3
+)Đặt t =2x 3 khi đó phương trình (2) có dạng: t2 + t -14 = m (*)
Ta có: 0 x 1 3 t 5
=>PT đã cho có nghiệm x[0;1] <=>PT (*) có nghiệm t[3;5] ->
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
Trang 3+)Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) = t2 + t -14 trên [3;5]
Ta được các giá tri của m thoả mãn bài toán là -2m16 ->
3
1
+)Gọi n
= (a;b) là VTPT của (ĐK: a2b2 0) Theo giả thiết ta có: cos(,d) = cos450 <=> 2 2 2 2
2
a b
a b
->
+) 2 a 3b 10 a2b2 2a23ab 2b2 0 (*)
Nếu b = 0 thì a = 0 mâu thuẫn với ĐK: a2b2 0
=> (*)
2
1
2
V
->
+)Với
a
b= -2 ta chọn a = 2 và b = -1 => Phương trình : 2x - y = 0 ->
+)Với
1 2
a
b ta chọn a = 1 và b = 2 => Phương trình : x + 2 y - 10 = 0 ->
2
+)Gọi giao điểm của đthẳng (k) với hai trục toạ độ là: E(a;0) và F(0;b) ĐK: ab0
Phương trình (k): 1
x y
a b
Do (k) đi qua điểm A nên ta có:
2 4
1
a b (*) Mặt khác, ta có: SOEF= 2 <=>
1
2 a b ab ->
+)Với ab = 4 <=>
4
a
b thế vào (*) ta được
2 2
a vô nghiệm >
+) Với ab = - 4 <=>
4
a
b thế vào (*) ta được
2
2
a
a a
=> Phương trình của đường thẳng (k) là: 1 4 1
x y
hoặc 2 2 1
x y
->
3
+)Gọi H là hình chiếu của A trên OB
Ta thấy: 2 điểm E, F cùng thuộc trục Ox
=>MN// Ox và MF// NE// AH
=>
12 1
MF MF
MF
->
+)Mặt khác: M, N có toạ độ dương và đường thẳng OA có phương trình y = 2x
=> Điểm M có tung độ y =
12
5 => Hoành độ của điểm M là x =
6
5 ->
+)Vậy: M(
6
5 ;
12
5 ), F(
6
5 ;0), E(
18
5 ;0), N(
18
5 ;
12
5 ) ->
4 +)
S ah bh ch ah bh ch S ah bh ch
->
+)Mà theo BĐT Cosi, ta có: ah abh bch c33 abch h h a b c
=>
3 3 3
3
3
3
abch h h abch h h a b c R h h h
x y
A
E
4
2
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
Trang 45 Chọn
) 2
3
; 2
1
a
3
; 2
1
b
Ta có: a b ab nên y2 Dấu đẳng thức xảy ra khi a; bcùng chiều khi đó x=0
Vậy GTNN của y là 2 khi x=0
1đ