De thi vao 10 Tinh Ha Nam

2, Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay đổi.. NX để suy ra ĐPCM.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán (Chuyên Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức:

M





a) Tìm điều kiện của a b , để M xác định và rút gọn M.

b) Tính giá trị của M khi

22 2

3

Bài 2 (2,0 điểm)

Cho phương trình x 2 x2 3x2m 1 0

, m là tham số.

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt x x x1, ,2 3.

b) Tìm giá trị của m để x12  x22 x32  11

Bài 3 (4,0 điểm)

Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D Từ điểm M tùy ý trên d

kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của CD

a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp

b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H Chứng minh MHC= MDO 

c) Các đường thẳng MD và AB cắt nhau tại K Chứng minh

HC KC

=

HD KD d) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d

Bài 4 (1,5 điểm)

Cho 3 số thực x y z  , , 0 thoả mãn

1 2 3

6

x  y  z  và biểu thức P x y   2 z3 a) Chứng minh P x 2y3z 3

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 5 (0,5 điểm) Giải phương trình: 3 1x3 3 3 x  28x2  12x9

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .

Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014

Môn: TOÁN (Chuyên Tin)

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang)

Câu 1

(2,0đ)

a)

M

2 3





ĐK xác định của M:



0,25

2 2 2 2 3 2 3 3 2 2 M

2 3



b) Ta có

3

a

 

Với

22 2

1 3 2, 10

3

3 30 22 2

1 3 2

b a





 2

30 22 2 3 2 1 102 68 2

6 4 2 17

3 2 1

Vậy 3b 6 4 2 2 22 2 2

Câu2

(2,0đ)

a)    2 

2

2

3 2 1 0 (*)

x





      

   

Để pt (1) có 3 nghiệm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 0,25 Điều kiện là

m

m

b) Ta có 3 nghiệm của pt (1) là x1  2; ; x x2 3 trong đó x x2; 3 là 2 nghiệm của

2 2 2

1 2 3 11 4 2 3 2 2 3 11 2 3 2 2 3 7 (**)

x x x    x x  x x   x x  x x  0,25

Áp dụng định lý Vi-ét đối với pt (*) ta có

2 3

2 3

3







Vậy (**) 9 2 2  m1  7 m1 (thỏa mãn điều kiện)

0,5

Vậy m 1 là giá trị cần tìm.

Câu 3

(4,0đ)

a) MA, MB là các tiếp tuyến của (O)  MAO= MBO =90  0 0,25

I là trung điểm của CD  OI  CD  MIO =90 0 0,25  A, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO 0,25  Tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn đường kính MO 0,25 b) MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

OA = OB  MO là đường trung trực của AB  MO  AB

 MH.MO = MB2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)

0,25

MBC= MDB

2





MB MD

=

MC MB  MC.MD = MB2 (2)

0,25

Từ (1) và (2)  MH.MO = MC.MD



MC MO

=

MH MD  ΔMCHđồng dạng với ΔMOD (c.g.c)

 MHC= MDO 

0,5

A

M

D B

O H

Q d

c) MHC= MDO  (chứng minh trên)  tứ giác HCDO nội tiếp 0,25 Như vậy CHK =90 0  MHC=900  MDO=90 0  OCD (vì ΔCOD cân tại O)

= 900  OHD (vì tứ giác HCDO nội tiếp)= DHK

0,5  HK là đường phân giác của ΔCHD



HC KC

=

HD KD ( tính chất đường phân giác trong tam giác).

0,25 d) Gọi Q là giao điểm của AB và OI

Hai tam giác vuông MIO và QHO có IOH chung

 ΔMIOđồng dạng với ΔQHO

0,25



MO OQ

=

OI OH 

2 2

OH.OM OA R

OI OI OI (R là bán kính (O) không đổi) 0,25

O, I cố định  độ dài đoạn OI không đổi

 độ dài đoạn OQ không đổi và lại có Q thuộc tia OI cố định

 Q là điểm cố định  đpcm

0,5

Câu 4

(1,5đ)

a) Ta có

P x  y z  y z  y z  y  y z  z  0,25      

1 0; 1 0; 2 0

y  z  z  vì z 0theo giả thiết Vậy bđt (1) đúng

Ta có đpcm

0,5

b) Theo câu a) ta có

x y z

(vì

6

x y z  theo giả thiết), hay

0,25

Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta có :

(2) 0,25

Do đó P     2 4 6 9 3

Dấu “=” xảy ra khi các dấu “=” ở (1) và (2) xảy ra  x  y z 1

Vậy GTNN của P là 3, đạt được khi x  y z 1

0,25

Câu 5

(0,5đ)

Ta có 2

1 0

x

  





 Với điều kiện trên, bình phương 2 vế của phương trình ta được 9x 9 27 27 x18 3 1  x2 28x2 12x9

0,25

18 3 1  x2 28x26x 27 9 3 3  x2 18 3 3 x2  x2 6x0

Đặt t  3 3 x2 (t 0), pt trở thành

x t







Ta có pt (3) vô nghiệm vì VT(3)0do t 0 còn VP(3)0 do   1 x 1

Xét pt (2)

2

3 3 3

28

Kết luận: Pt đã cho có nghiệm duy nhất

27 28

x 

0,25

Lưu ý: Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương theo từng phần như hướng dẫn

chấm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014

Môn: Toán (Chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 3 (1,0 điểm) Cho số nguyên dương n và các số: 2

A 444 4

n

  

(A gồm 2n chữ số 4);

B 888 8

n

  

(B gồm n chữ số 8) Chứng minh rằng A+2B+4là số chính phương.

Bài 4 (4,0 điểm) Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D Từ điểm M

tùy ý trên d kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của

CD a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp

b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp ΔCOD.

c) Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d

d) Chứng minh

2 2

MD HA

=

Bài 5 (1,0 điểm) Cho 3 số thực a b c , , 0 thoả mãn a b c    2013.

Chứng minh

1

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .

Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN (Chuyên Toán)

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang)

Câu 3

(1,0đ)

2

444 4 444 4000 0 444 4 444 4 10n 1 888 8

A                    0,25

2 4.111 1.999 9 4.111 1.9.111 1 6.111 1

.888 8

     

 

Khi đó

1

3 888 8 2 3.222 2 2 666 68



             

             

Ta có điều phải chứng minh

0,25

Câu 5

(1,0đ)

2013a bc   a b c a bc a      ab ac bc a     bc a b c  

Theo bđt Cô-si cho 2 số dương ta có a2  bc  2 a bc Từ đó

a  bc a b c    a bc a b c    a b c   bc  a b  c

0,25

Vậy

(1) 2013

a a bc a a b c  a a b c  a b c

0,25

Chứng minh tương tự ta thu được

Cộng từng vế của (1),(2),(3) ta được

1

 

0,25

Dấu “=” xảy ra

2

2013

a bc

b ac

a b c

c ab

a b c







  













0,25

Lưu ý: Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương đương theo từng phần như hướng dẫn chấm/

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO 10 - THPT

TỈNH LÀO CAI NĂM HỌC: 2012 – 2013

MÔN: TOÁN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I: (2,5 điểm)

1 Thực hiện phép tính: a) 2 103   36 64 b)  2 3 2  3 2 5  3

2 Cho biểu thức: P =

2 3



a) Tìm điều kiện của a để P xác định b) Rút gọn biểu thức P

Câu II: (1,5 điểm)

1 Cho hai hàm số bậc nhất y = -x + 2 và y = (m+3)x + 4 Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho là:

a) Hai đường thẳng cắt nhau b) Hai đường thẳng song song

2 Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax2 (a  0) đi qua điểm M(-1; 2)

Câu III: (1,5 điểm) 1 Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0

2 Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện

1 2 1 2

x x  x x  6

Câu IV: (1,5 điểm)

1 Giải hệ phương trình

3x 2y 1

x 3y 2







2 Tìm m để hệ phương trình

2x y m 1 3x y 4m 1





 có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1

Câu V: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tiếp tuyến Ax cùng

phía với nửa đường tròn đối với AB Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm) AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B)

ĐỀ CHÍNH THỨC

a) Chứng minh AMOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn

c) Chứng mình ADE ACO   

- Hết

-Câu I: (2,5 điểm)

1 Thực hiện phép tính:

 2 3  3

2 Cho biểu thức: P =

2 3

1 a 1 a 1 a



a) Tìm điều kiện của a để P xác định: P xác định khi a 0 và a 1  

b) Rút gọn biểu thức P

P =

2

3



2

2

=   2 

2 2a

1 a a a 1



   = 2

2

a   a 1 Vậy với a 0 và a 1   thì P = 2

2

a   a 1

Câu II: (1,5 điểm) 1 Cho hai hàm số bậc nhất y = -x + 2 và y = (m+3)x + 4 Tìm các giá trị

của m để đồ thị của hàm số đã cho là:

a) Để hàm số y = (m+3)x + 4 là hàm số bậc nhất thì m + 3  0 suy ra m  -3

Đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau  a  a’

Vậy với m  -3 và m  -4 thì đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng cắt nhau

b) Đồ thị của hàm số đã cho là Hai đường thẳng song song

Vậy với m = -4 thì đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song

2 Tìm các giá trị của a để đồ thị hàm số y = ax2 (a  0) đi qua điểm M(-1; 2)

Vì đồ thị hàm số y = ax2 (a  0) đi qua điểm M(-1; 2) nên ta thay x = -1 và y = 2 vào hàm số ta

có phương trình 2 = a.(-1)2 suy ra a = 2 (thỏa mãn điều kiện a  0)

Vậy với a = 2 thì đồ thị hàm số y = ax2 (a  0) đi qua điểm M(-1; 2).

Câu III: (1,5 điểm) 1 Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0 có a – b + c = 1 + 7 – 8 = 0 suy ra x1= -1 và x2= 8

2 Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x x13 2  x x1 32  6

Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thì ’  0 ó 1 – m + 3  0 ó m  4

Theo viet ta có: x1+ x2 =2 (1) và x1 x2 = m – 3 (2)

Theo đầu bài: x x13 2  x x1 32  6  x x x1 2 1 x22  2x x1 2= 6 (3)

Thế (1) và (2) vào (3) ta có: (m - 3)(2)2 – 2(m-3)=6 ó 2m =12 ó m = 6 Không thỏa mãn điều kiện m  4 vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x x31 2  x x1 32  6

Câu IV: (1,5 điểm)

1 Giải hệ phương trình

3x 2y 1

x 3y 2







x 3y 2



2 Tìm m để hệ phương trình

2x y m 1 3x y 4m 1





 có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1

Mà x + y > 1 suy ra m + m + 1 > 1  2m > 0  m > 0

Vậy với m > 0 thì hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1

Câu V: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tiếp tuyến Ax cùng

phía với nửa đường tròn đối với AB Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm) AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B) a) Chứng minh AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn

c) Chứng mình ADE ACO   

Giải

a) MAO MCO 90     0 nên tứ giác AMCO nội tiếp

b) MEA MDA 90     0 Tứ giác AMDE có

D, E cùng nhìn AM dưới cùng một góc 900

D

O E

M

C

B A

Nên AMDE nội tiếp

c) Vì AMDE nội tiếp nên

ADE AME cùng chan cung AE

Vì AMCO nội tiếp nên ACO AME cùng chan cung AO   Suy ra ADE ACO   

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Ngày thi: 30/6/2012 (Thời gian: 120 phút – không kể thời gian phát đề)

(Đề thi có 01 trang)

Bài 1: (2 điểm) (Không dùng máy tính cầm tay)

1) Rút gọn biểu thức: A = 12 48 75

2) Giải hệ phương trình:

3x 2 8

y y

 





 



Bài 2: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho parapol (P) : y =

2

1

4x

1 Vẽ đồ thị (P)

2 Xác định các giá trị của tham số m để đường thẳng (d): y =

1

2x + m2 cắt parabol (P)

tại hai điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) sao cho y1 y2 x12 3x22 2

Bài 3: (2 điểm) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 1 giờ 3 phút bể đầy nước Nếu mở

riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?

Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường tròn (O) đường kính AB, (O) cắt

BC tại điểm thứ hai là D Gọi E là trung điểm của đoạn OB Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt AC tại F

1) Chứng minh tứ giác AFDE nội tiếp 2) Chứng minh BDE=AEF 

3) Chứng minh tanEBD = 3tan AEF 

4) Một đường thẳng (d) quay quanh điểm C cắt (O) tại hai điểm M, N Xác định vị trí của (d) để độ dài CM + CN đạt giá trị nhỏ nhất

_HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 2: (2.00điểm) 2) Giải:Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

1

4x =

1

2x + m2 

2

1

4x -

1

2x - m2 = 0  x2 – 2x – 4m2 = 0

’ = 1 + 4m2 > 0 với mọi m

Vật pt luôn có hai nghiệm x1, x2 phân biệt, theo hệ thức Viet, ta có:

x1 + x2 = 2 (1)

x1.x2= -4m2 (2)

Theo đề bài ta có:y1 y2  x12 3 x22  2 mà y =

2

1

4x



4x  4x x  x  

5 13

2

4x  4 x 

Ta có: x1 + x2 = 2 => x1= 2 – x2, ta được:

4  x  4 x 



2

8x 20x  28 0

Ta có: a + b + c = 8 + 20 -28 = 0

Vậy pt có hai nghiệm: x21= 1; x22 =

28 7



* Với x21= 1=> x11 = 1 Suy ra: -4m2 = 1 (vô nghiệm với mọi m)

* Với x22 =

7 2



=> x12 =

11

2 Suy ra: -4m2 =

77 4



=> m =

77 4



Vậy m =

77 4



thì đường thẳng (d): y =

1

2x + m2 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

A(x1;y1) và B(x2;y2) sao cho y1 y2 x12  3x22 2

Bài 3: (2.00điểm) HD: Gọi x, y lần lượt là thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1, 2 ( x, y >

21

20)

Ta có hpt:

1 1 20

21 2

x y



 





  

 Giải hpt ta có: (x;y) =

7 3

;

2 2

 

 

 

Vậy thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1 là :

7

2; vòi 2 là:

3

2 giờ

Bài 4 (4.00điểm)

c) Ta có: ABD vuông tại D: tan EBD =

D D

A B

AEF vuông tại A: tan AEF =

F

E 3

A  BE => 3tan AEF =

3 3

Mà: AFD  BEB (gg) =>

AF D

D

A

BE B

Suy ra: tan EBD= 3tan AEF

d) Ta có: CMA  CAN (gg) => CM.CN = CA2 (không đổi)

suy ra: CM + CN nhỏ nhất khi CM = CN  M trùng với N => d là tiếp tuyến của (O)

LÊ QUỐC DŨNG

(GV trường THCS Trần Hưng Đạo, Nha Trang, Khánh Hòa)

PHÒNG GD&ĐT

THÀNH PHỐ HẠ LONG

Đ

Ề CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

DỰ THI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2010 - 2011

MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2,0 điểm) Chứng minh rằng:

| x + y2 −√xy | + | x + y2 +√xy | = |x| + |y| (xy 0)

Bài 2: (5,5 điểm) Giải các phương trình sau:

a, 10 (x −2 x +1)2 + (x −1 x +2)2 - 11 (x x22− 4 − 1)=0

b, (√x+5 −√x +2)(1+√x2+7 x +10)=3

Bài 3:(2,5 điểm) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức: 2 y2x+ x+ y +1=x2+2 y2+xy

Bài 4: (2,0 điểm) Cho hệ tọa độ xOy và 3 điểm A(2,5) ;B(-1,-1),C(4,9)

CMR: 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Bài 5: (8,0 điểm) Cho hình vuông ABCD , M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng

với B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho:

∠ MAN = ∠ MAB + ∠ NAD

1, BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q Chứng minh rằng năm điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn

2, Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M

và N thay đổi

3, Kí hiệu diện tích của tam giác APQ là S ❑1 và diện tích tứ giác PQMN là S ❑2

.Chứng minh rằng tỉ số S S1

2 không đổi khi M và N thay đổi

Hết _

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9

Năm học 2010-2011 (Vòng 2)

Bài 1 Ta có: (| x + y

2 −√xy | + | x + y2 +√xy |) ❑2

= ( x + y2 −√xy ) ❑2 + ( x + y2 +√xy ) ❑2 + 2 | x + y2 −√xy |.|

x + y

2 +√xy |

= ( x+ y )2 Ta lại có: (|x| + |y|) ❑2 = x ❑2 + 2xy + y ❑2 = ( x+ y )2 (Vì

xy 0)

NX để suy ra ĐPCM

2,0đ

1,0đ

0,5đ 0,5đ

Bài 2

a

ĐK: x khác (1, -1) Đặt u = x −2 x+1 , v=¿ x+2

x −1 phương trình có dạng :

10 u2

+v2− 11uv=0 hay (u − v )(10 u − v )=0

Nếu v =10u thì từ x+2

x −1=

10(x −2)

x+1 ta tìm được x=3; x=2/3 Nếu v = u thì từ x −1 x+2=x −2

x +1 ta tìm được x = 0 So với ĐK và KL:

x ∈{0 ;2

3;3} Điều kiện căn thức có nghĩa là x ≥ −2

Ta có : x2+7 x +10=( x+5 )( x +2)

Nhân cả 2 vế phương trình với (√x+5+√x +2)>0 ta được :

6,0đ

0,25đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ