Chuong 7 Bài Tập Kiem dinh

Khi đưa ra một giả thuyết gốc, người ta còn nghiên cứu một mệnh đề mâu thuẫn với nó gọi là giả thuyết đối hay đối thuyết và ký hiệu là ?1 để khi ?0 bị bác bỏ thì thừa nhận ?1.. Lúc đó t

Bài giảng

Xác suất thống kê

Nam Dinh,Februay, 2008

KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ

Giả thuyết đưa ra g ọi là biến ngẫu nhiên g ốc ký hiệu là 𝐻0 Khi đưa ra một giả thuyết gốc, người ta còn nghiên cứu một

mệnh đề mâu thuẫn với nó gọi là giả thuyết đối (hay đối thuyết)

và ký hiệu là 𝐻1 để khi 𝐻0 bị bác bỏ thì thừa nhận 𝐻1 Cặp 𝐻0 và

𝐻 gọi là cặp giả thuyết thống kê.

thống kê vì nó d ựa vào thông tin thực nghiệm của m ẫu để kết

luận

rút ra từ tổng thể tìm được một biến cố A nào đó sao cho xác su ất xảy ra của A bằng α bé đến mức có thể coi A không xảy ra trong một phép thử

Lúc đó trên một mẫu cụ thể thực hiện phép thử với biến cố

A, nếu A xảy ra thì chứng tỏ 𝐻0 sai và bác b ỏ nó, còn nếu A không xảy ra thì chưa có cơ sở để bác bỏ 𝐻0

thước n

𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)

Và chọn lập thống kê:

𝐺 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, 𝜃0) Với 𝜃0 là tham số liên quan đến giả thuyết cần kiểm định Điều kiện đặt ra đối với G là nếu 𝐻0 đúng thì quy luật phân phối xác suất của

tương ứng sao cho với điều kiện giả thuyết 𝐻0 đ úng thì xác suất G nhận g iá trị tại miền 𝑊𝛼 b ằng α Điều kiện này được viết như sau:

𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝛼

g iả thuyế t 𝐻0 Các g iá trị cò n lại của G thuộ c m iề n 𝑊𝛼 g ọ i là m iề n khô ng b ác b ỏ g iả thuyế t hay đ ô i khi cò n g ọ i là m iề n thừa nhận

g iả thuyế t Điểm g iới hạn p hân chia g iữa m iề n b ác b ỏ và m iề n thừa nhận g ọ i là g iá trị tới hạn

𝑤 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) và qua đó tính được giá trị cụ thể của tiêu chuẩn kiểm định G

𝐺𝑞𝑠 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑛𝑛, 𝜃0) Giá trị này gọi là giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định

1 Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∈ 𝑊𝛼 thì kết luận 𝐻0 sai, d o đ ó b ác b ỏ 𝐻0 và thừa nhận 𝐻1

2 Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼 thì kết luận chưa có cơ sở b ác b ỏ 𝐻0 (thực

tế là thừa nhận 𝐻0 )

lập tức b ác b ỏ 𝐻0 Như vậy ta có thể mắc phải sai lầm loại 1 với xác suất b ằng α

Sai lầm lo ại 2: Thừa nhận 𝐻0 tro ng khi 𝐻0 sai hay 𝐺𝑞𝑠 ∉ 𝑊𝛼tro ng khi 𝐻1 đ úng

Giả sử xác suất mắc sai lầm lo ại 2 là β 𝑃(𝐺 ∉ 𝑊𝛼 /𝐻1) = 𝛽

loại sai lầm cho trong b ảng:

β

Không bác b ỏ

𝐻0

Quyết định đúng xác suất bằng 1- α

Sai lầm loại 2 xác suất bằng β

sai lầm Do vậy trong thực tế thì với α cho trước người tasex tìm miền 𝑊𝛼 sao cho β là nhỏ nhất

Giả sử b iế n n g ẫ u n h iê n g ố c X t ro n g t ổ n g t h ể p h â n p h ố i ch u ẩ n 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) nhưng chưa b iế t μ Nế u có cơ sở đ ể g iả thuyế t rằng

g iá t rị củ a n ó b ằ n g 𝜇0 t a đ ưa ra g iả t h u yế t t h ố n g kê 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 Để kiể m đ ịn h g iả t h u yế t t rê n, t ừ t ổ n g t h ể t a lậ p m ẫ u:

𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛)

Để chọ n thống kê G ta xé t hai trường hợp

a, Đã biết phương sai 𝜎2

Chọn

𝐺 = 𝑋 − 𝜇0

𝜎 𝑛 Giả sử nếu 𝐻0 đúng tức là 𝜇 = 𝜇0 thì

𝐺 = 𝑈 = 𝑋 − 𝜇

𝜎 𝑛 ~ 𝑁(0,1) 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝛼

Trường hơp 1: 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 ; 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0

Với 𝛼 cho trước có thể tìm được cặp giá trị 𝛼1, 𝛼2 sao cho

𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 𝑢1−𝛼1, 𝑢𝛼2 thoả mãn:

𝑢1−𝛼1 = −𝑢𝛼1 < 0 , do vậy trường hợp 𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼1 = 0 suy ra

𝛼2 = 𝛼 Vậy

𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼 = 𝛼

Ta thu được miền bác bỏ bên phải là:

Trường hơp 2: 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 ; 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0

Với 𝛼 cho trước có thể tìm được cặp giá trị 𝛼1, 𝛼2 sao cho

𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 𝑢1−𝛼1, 𝑢𝛼2 thoả mãn:

𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼 = 𝑃 𝐺 < −𝑢𝛼 = 𝛼

Ta thu được miền bác bỏ bên trái là:

Trường hơp 3: 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 ; 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0

Với 𝛼 cho trước có thể tìm được cặp giá trị 𝛼1, 𝛼2 sao cho

𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị 𝑢1−𝛼1, 𝑢𝛼2 thoả mãn:

𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼1 = 𝛼1

𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼2 = 𝛼2

Lấy 𝛼1 = 𝛼2 =

2 nên 𝑢1−𝛼1 = −𝑢𝛼 /2, 𝑢𝛼2 = 𝑢𝛼/2 Vậy 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼 /2 = 𝛼

Ta có miền bác bỏ hai phía:

Từ một mẫu cụ thể 𝑤 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ta tính giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định:

Bác bỏ Thừa nhận

α Bác bỏ Thừa nhận

Bác bỏ Thừa nhận Bác bỏ

Ví dụ

Trong năm trước, trọng lượng trung bình trước khi xuất chuồng của bò ở một trại chăn nuôi là 380 kg Năm nay người ta áp dụng một chế độ chăn nuôi mới với hy vọng bò sẽ tăng trọng nhanh hơn Sau thời gian áp dụng thử, người ta áp dụng ngẫu nhiên 50 con bò trước khi xuất chuồng đem cân và tính được trọng lượng trung bình của chúng là

390kg Vậy với mức ý nghĩa α = 0,01 có thể cho rằng trọng lượng trung bình của bò đã tăng lên hay không? Giả thiết trọng lượng của bò là biến ngẫu nhiên chuẩn với độ lệch chuẩn là 35,2kg

EX = μ trọng lượng TB của bò sau khi áp dụng chế độ chăn nuôi mới

b, Chưa biết phương sai 𝜎2

Chọn

𝐺 = 𝑋 − 𝜇0

𝑠 𝑛 Giả sử nếu 𝐻0 đúng tức là 𝜇 = 𝜇0 thì

𝐺 = 𝑇 = 𝑋 − 𝜇

𝑠 𝑛 ~ 𝑇(𝑛 − 1) 𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝛼

Để tìm miền bác bỏ 𝑊𝛼 ta xét các trường hợp Thực hiện tương tự

ta có:

Từ một mẫu cụ thể 𝑤 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ta tính giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định:

phối chuẩn với trọng lượng trung bình theo tiêu chu ẩn là 50kg Nghi

ngờ bị đóng thiếu, người ta đem cân ng ẫu nhiên 25 bao và thu được kết quả sau:

Trọng lượng bao(Kg)

𝑋~𝑁 𝜇; 𝜎2 , 𝛼 = 0,01

𝐻0: 𝜇 = 50, 𝐻1: 𝜇 < 50 Miền bác bỏ:

biến ngẫu nhiên g ốc 𝑋~𝑁(𝜇1, 𝜎1 ), ở tổng thể thứ hai ta xét biến ngẫu nhiên g ốc 𝑌~𝑁(𝜇2, 𝜎22) Từ hai tổng thể nói trên rút ra hai mẫu ngẫu nhiên đ ộc lập có kích thước tương ứng 𝑛1 và 𝑛2:

𝑊𝑋 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛1)

𝑊𝑌 = (𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛2)

Nếu 𝜇1 và 𝜇2 chưa biết song có cơ sở đ ể giả thuyết rằng giá trị

của chúng b ằng nhau, người ta đưa ra giả thuyết thống kê:

𝑛: 𝐺 > 𝑢𝛼

2 = −∞; −𝑢𝛼

2 ∪ (𝑢𝛼

2; +∞)

giá trị q uan sát của tiêu chuẩn kiểm định:

loại chi tiết Để dánh giá xem chi phí trung bình về nguyên liệu tiêu hao theo hai phương án ấy có khác nhau hay không người ta sản xuất thử và thu được kết quả như sau:

Phương án 1 2,5 3,2 3,5 3,8 3,5 Phương án 2 2,0 2,7 2,5 2,9 2,3 2,6 Với mức ý nghĩa α = 0,05, hãy kết luận về vấn đề trên nếu biết rằng chi phí nguyên liệu theo cả hai phương án để là biến ngẫu nhiêu chuẩn với 𝜎12 =

𝜎22 = 0,16

Gọi 𝑋 là chi phí tiêu hao khi sx 1 sp theo phương án 1

𝐸𝑋 = 𝜇1 là chi phí tiêu hao TB khi sx 1 sp theo phương án 1

𝑋~𝑁(𝜇1, 𝜎12) Gọi 𝑌 là chi phí tiêu hao khi sx 1 sp theo phương án 2

𝐸𝑌 = 𝜇2 là chi phí tiêu hao TB khi sx 1 sp theo phương án 2

𝑌~𝑁(𝜇2, 𝜎22)

0,16 6

= 3,3 ∈ 𝑊𝛼

Bác bỏ 𝐻0, thừa nhận 𝐻1 tức là phương án sx 1 có mức tiêu hao nguyên liện

𝐺 = 𝑇 = 𝑋 − 𝑌

𝐴 ~𝑇(𝑛1 +𝑛2−2)

Thực hiện tương tự như phần 2.1b ta có:

Từ các mẫu cụ thể 𝑤𝑋 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , 𝑤𝑌 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) ta tính giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định:

Ví dụ Một nghiên cứu được thực hiện đối với 20 một phường và 19 người ở phường khác trong thành phố để xen thu nhập bình quân(tính bằng triệu đồng) của dân cư hai phường đó có thực sự khác nhau hay không Các số liệu mẫu như sau:

𝑛1 = 20, 𝑥 = 18,27, 𝑠𝑥2 = 8,74, 𝑛2 = 19, 𝑦 = 16,78, 𝑠𝑦2 = 6,58

Với mức ý nghĩa α = 0,05 có thể cho rằng thu nhập trung bình của dân cư hai phường đó có khác nhau hay không? Giả sử thu nhập hàng năm của dân cư

Giải

Gọi 𝑋 là thu nhập của một người dân ở phường 1

𝐸𝑋 = 𝜇1 là thu nhập TB của một người dân ở phường 1

𝑋~𝑁(𝜇1, 𝜎12) Gọi 𝑌 là thu nhập của một người dân ở phường 2

𝐸𝑌 = 𝜇2 là thu nhập TB của một người dân ở phường 2

𝑌~𝑁(𝜇2, 𝜎22)

𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2, 𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2

Nếu p chưa biết nhưng có cơ sở giả thuyết rằng giá trị của nó bằng 𝑝0 thì ta đưa ra giả thuyết:

𝐺 = 𝑓 − 𝑝0

𝑝0𝑞0 𝑛 Nếu 𝐻0 đúng thì:

𝐺 = 𝑈 = 𝑓 − 𝑝

𝑝𝑞 𝑛~𝑁(0,1)

𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼 = 𝛼

Ta thu được miền bác bỏ bên phải là:

𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 < 𝑢1−𝛼 = 𝑃 𝐺 < −𝑢𝛼 = 𝛼

Ta thu được miền bác bỏ bên trái là:

𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 𝐺 > 𝑢𝛼/2 = 𝛼

Ta có miền b ác b ỏ hai p hía:

𝑊𝛼 = 𝐺 = 𝑓 − 𝑝0

𝑝0𝑞0 𝑛: 𝐺 > 𝑢𝛼/2 = (−∞; −𝑢𝛼/2) ∪ (𝑢𝛼/2; +∞)

𝐺𝑞𝑠 = 𝑓 − 𝑝0

𝑝0𝑞0 𝑛

Và so sánh 𝐺𝑞𝑠 với 𝑊𝛼 để đ ưa ra kết luận:

- Nếu 𝐺𝑞𝑠 ∈ 𝑊𝛼 thì bác b ỏ 𝐻0 thừa nhận 𝐻1

A là 60% Sau m ột chiến dịch quảng cáo, người ta muốn đánh giá xem chiến dịch quảng cáo này liệu có thực sự mang lại hiệu quả hay không Để làm điều đó, người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 400 khách hàng thì thấy có 250 người dùng lo ại sản phẩm nói trên Với mức ý nghĩa 0,05 hãy kết luận về chiến dịch quảng cáo.

𝐻0: 𝑝 = 0,6; 𝐻1: 𝑝 > 0,6 Suy ra miền bác bỏ:

𝑊𝛼 = 𝑢0,05; +∞ = (1,65; +∞)

𝐺𝑞𝑠 =

250

400 − 0,6 0,6(1 − 0,6) 400 = 0,258 ∉ 𝑊𝛼

biến ngẫu nhiên g ốc 𝑋 tuân theo quy luật không-một với

𝑃 𝑋 = 1 = 𝑝1, 𝑃 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝1 = 𝑞1

ở tổng thể thứ hai ta xét biến ngẫu nhiên gốc 𝑌 tuân theo quy

luật không -một với

𝑃 𝑌 = 1 = 𝑝2, 𝑃 𝑋 = 0 = 1 − 𝑝2 = 𝑞2Với 𝑝1 và 𝑝2 chưa biết Nếu có cơ sở cho rằng chúng bằng nhau thì ta giả thuyết :

𝐻0: 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝

thước tương ứng 𝑛1 và 𝑛2:

𝑊𝑋 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛1)

𝑊𝑌 = (𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛2) với 𝑋 = 1

~𝑁(0,1)

máy sản suất thu được số liệu sau:

Nhà máy

Số sản phẩm đươch kiểm tra

Số phế phẩm

A 𝑛1 = 1000 𝑥1 = 20

B 𝑛2 = 900 𝑥2 = 30 Với mức ý nghĩa α = 0,05 có thể coi tỉ lệ phế phẩm của hai nhà máy

là như nhau được hay không?

𝐺 = 𝜒2 =

𝜎02 = 𝜎2 ~𝜒(𝑛−1)

Với 𝛼 cho trước có thể tìm được cặp giá trị 𝛼1, 𝛼2 sao cho

𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và từ đó tìm được hai giá trị tới hạn khi bình phương tương ứng là 𝜒1−𝛼

𝑃(𝐺 ∈ 𝑊𝛼 /𝐻0) = 𝑃 (𝐺 < 𝜒

1−𝛼2 ) + ( 𝐺 > 𝜒𝛼

2

) = 𝛼 Nên ta có miền bác bỏ :

Bác bỏ Thừa nhận

Bác bỏ Thừa nhận

α

Bác bỏ Thừa nhận

α/2

Bác bỏ

α/2

được 𝑠2 = 14,6 Với mức ý nghĩa α = 0,01 hãy kết luận máy móc

có hoạt động có bình thường không, biết rằng kích thước chi tiết

là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn có dung sai theo thiết kế là

𝜎02 = 12