Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD.. Gọi [r]
Trang 1MỘT SỐ CÂU HÌNH TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016
GV : PHẠM VĂN BÌNH – THPT HẬU LỘC 2
ĐỀ BÀI
Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi I là trung điểm
AB, H là giao điểm của BD với IC Các mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đáy Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 0
60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và IC
Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD, có ABD là tam giác đều cạnh
a, BCD là tam giác cân tại C có 0
120
BCD= , SA=a và SA⊥(ABCD).Tính thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD)
Câu3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2 , ADa =a 3 Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Biết đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 450
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD
Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD= 2a 3và góc tạo bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 0
30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
Câu 5 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, 3
2
a
SD= Hình chiếu vuông
góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB Gọi K là trung điểm của đoạn AD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD. và khoảng cách giữa hai đường thẳng HKvà SD
Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết SA⊥( ABCD), SC hợp với mặt phẳng( ABCD) một góc α với
5
4 tan α = , AB= 3a và BC= 4a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Câu 7 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy, cạnh bên cùng bằng a Gọi M là
trung điểm của SC Tính thể tích của hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến mp(ABM) theo a
Câu 8 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a,
góc ACB bằng 0
30 Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) là trung điểm H của AB ; góc giữa cạnh bên BB’ và mặt đáy bằng 0
60 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường AA’ và BC theo a
Câu 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a,
Trang 2cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600 Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA và SB Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (DMN)
Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MC = 2MB Biết
120
BAC = , tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SM và AC theo a
Câu11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, các mặt bên (SAB), (SAD)
cùng vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 600 Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của đoạn AD và CD, MN =
2
2
a TínhV S.BMN và khoảng cách
giữa hai đường thẳng BM, SN theo a
Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 0
60
=
∧
ABC Cạnh bên
SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 0
60 Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên SI.Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a
Câu 13 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi tâm Ivà có cạnh bằng a,
gócBADbằng 0
60 Gọi H là trung điểm của IB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 0
45 Tính thể tích của khối chóp S AHCD. và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác
vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD Gọi M là trung điểm của AB Biết rằng SA= 2a 3 và đường thẳng SC tạo với đáy một góc 30 0 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC)
Câu 15 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a hình chiếu vuông góc
của A’ trên (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 0
60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’)
Câu 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA=a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết tam giác SAB cân và góc giữa SD với mặt đáy bằng 300
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.Tính khoảng cách giữa hai đg thẳng BD và SC
Câu 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I Cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a 3 Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật
Trang 3ABCD bằng 3
3
a
, góc ∠ACB= 30o Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB
Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a, AD=a Hình
chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc bằng 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A tới (SCD)
Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD là
hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC)
HƯỚNG DẪN
Câu 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi I là trung điểm AB, H
là giao điểm của BD với IC Các mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đáy Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 0
60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và IC
Ta có VS.ABCD 1SH.SABCD
3
ABCD
S = a
Do (SIC),(SBD) cùng vuông với đáy suy ra SH ⊥ (ABCD)
Dựng HE ⊥ AB ⇒(SHE)⊥ AB, suy ra SEH là góc giữa (SAB) và (ABCD) 0
SEH 60
SH = HE tan 60 = 3HE HE HI 1 HE a SH a 3
CB = IC = 3 ⇒ = 3 ⇒ = 3 Suy ra
3 2
S.ABCD ABCD
Gọi P là trung điểm của CD, suy ra AP song song vớiCI
( ) ( ( ) ) ( ( ) )
d SA, CI d CI, SAP d H, SAP
Dựng HK ⊥ AP, suy ra (SHK) (⊥ SAP)
Dựng HF ⊥ SK ⇒ HF ⊥(SPA)⇒ d H, SPA( ( ) )= HFDo ∆ SHK vuông tại H 12 1 2 12
HF HK HS
Dựng DM ⊥ AP, ta thấy DM = HK 12 1 2 12 1 2
HK DM DP DA
Thay vào (1) ta có 12 12 12 12 42 12 32 82
HF DP DA HS a a a a
2 2
⇒ =
Trang 4Vậy ( ) a
d SA, CI
2 2
Câu 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD, có ABD là tam giác đều cạnh
a, BCD là tam giác cân tại C có 0
120
BCD= , SA=a và SA⊥(ABCD).Tính thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD)
HD G ọi I là trung đ i ể m c ủa BD Vì tam giác ABD đều vàtam giác BCD cân tại C nên AI BD
CI BD
⊥
⊥
Suy ra A, I, C thẳ ng hàng, AC⊥BD Tam giác ABD đề u c ạnh a, suy ra
a
BD=a BI = a AI =
Tam giác BCD cân tại C và BCD=1200nên BCI =600
; tan 60 2 3 sin 60 3
AC= AI +IC= + =
T ứ giác ABCD có hai đườ ng chéo vuông góc nên có di ệ n tích:
2
ABCD
a
S = AC BD= Suy ra th ể tích kh ố i chóp S ABCD là: 1 3 3
3 ABCD 9
V = SA S = a ( đ vtt)
Tính kho ả ng cách
G ọi K là hình chiế u c ủa A trên đườ ng th ẳng SI, suy ra AK ⊥SI M ặ t khác
BD AC
AK BD
BD SA
⊥
⊥
nên AK ⊥(SBD) V ậ y d A SBD( ;( ) )= AK
Tam giác SAI vuông tại A và có đường cao AK nên:
1 2 12 12 72 21
a AK
AK = AS + AI = a ⇒ =
Ta có đườ ng th ẳng AC cắ t m ặ t ph ẳng SBD tại I và 3 2 1
IC a
IA = a = Suy ra: ( ( ) ) 1 ( ( ) ) 1 21
a
d C SBD = d A SBD = AK =
M
F
K
P
E
I H
S
D
C
B
A
K
I
C
D
B
A S
Trang 5C H
A
B
D S
I K
Câu 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD= 2a 3và góc tạo
bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 0
30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
Gọi H là trung điểm của AB Suy ra SH ⊥ (ABCD)
30
SCH =
Ta có: ∆SHC= ∆SHD⇒SC=SD= 2a 3 Xét tam giác SHC vuông tại H ta có:
0 0
.sin sin 30 3 cos cos 30 3
SH SC SCH SC a
Vì tam giác SAB đều mà SH =a 3 nên AB= 2a Suy ra
2 2
4 2
ABCD
S = AB BC= a Vậy,
3
.
S ABCD ABCD
a
Câu3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB= a =a Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Biết đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 450 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD
Gọi hình chiếu của S trên AB là H
Ta có SH ⊥ AB SAB, ( ) ∩ (ABCD) =AB SAB, ( ) ⊥ (ABCD) ⇒SH ⊥ (ABCD)
SH ⊥ ABCD , suy ra góc giữa SD và (ABCD) là = 0
45
Khi đó tam giác SHD vuông cân tại H, suy ra SH =HD=2a ,
Khi đó thể tích lăng trụ là
3
.
a
V = SH S = (đvtt)
Kẻ Ax//BD nên BD//(SAx) mà SA⊂ (SAx)
(BD,SA) (BD, (SAx)) (B, (SAx)) 2 (H, (SAx))
Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H trên Ax và SI
Chứng minh được HK ⊥(SAx)
Tính được = 2 93
31
a
HK (BD,SA) 2 (H, (SAx)) 2 HK 4 93
31
a
Đặt AD=x x( > 0) ⇒ AB= 3 ,x AN = 2 , NBx =x DN, =x 5,BD=x 10
Xét tam giác BDN có
7 2 cos
BD DN NB BDN
BD DN
Trang 6Vì BA= 2HA nên d B SAC( ,( ) )= 2d H( ,(SAC) )
Gọi I là hình chiếu của H lên AC và K là hình chiếu của H lên SI Ta có:
AC ⊥HI và AC⊥SH nên AC⊥(SHI)⇒ AC⊥HK Mà, ta lại có: HK ⊥SI
Do đó: HK ⊥(SAC)
3
HI AH AH BC a
HI
BC = AC ⇒ = AC = Suy ra,
.
HS HI HK
HS HI
+
66 11
a
11
a
d B SAC = d H SAC = HK =
Câu 5 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, 3
2
a
SD= Hình chiếu vuông
góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB Gọi K là trung điểm của đoạn AD Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD. và khoảng cách giữa hai đường thẳng HKvà SD
Từ giả thiết ta có SH là đường cao của hình chóp S.ABCD và
SH = SD −HD = SD − AH +AD = − −a =a
Diện tích của hình vuông ABCD là 2
a ,
3 2
a
V = SH S = a a =
Từ giả thiết ta có HK / /BD⇒HK/ /(SBD)
Do vậy: d HK SD( , ) =d H SBD( , ( )) (1)
Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên BD, F là hình chiếu vuông góc của H lên SE
Ta có BD⊥SH BD, ⊥HE⇒BD⊥ (SHE) ⇒BD⊥HF mà HF ⊥SEnên suy ra
E O K H
B
C S
F
Trang 7( ) ( , ( ))
HF ⊥ SBD ⇒HF =d H SBD (2)
.sin sin 45
HE=HB HBE= =
+) Xét tam giác vuông SHE có:
2 2
2
3 2
( ) 4
a a
HF SE SH HE HF
a
+
(3)
+) Từ (1), (2), (3) ta có ( , )
3
a
d HK SD =
Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
Câu 6 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết SA⊥( ABCD), SC hợp với mặt phẳng( ABCD) một góc α với
5
4 tan α = , AB= 3a và BC = 4a Tính thể tích của khối chóp
ABCD
S. và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Xác định đúng góc SCA∧ =α
5
4 4 3 3
1 3
1
a a a a SA
S
Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Xác định dược khoảng cách d(D, (SBC) (=d A, (SBC)= AH
Tính đúng ( )
5
12 )
( , SBC AH a D
Câu 7 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy, cạnh bên cùng bằng a Gọi M là
trung điểm của SC Tính thể tích của hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến mp(ABM) theo a
a) Ta có . 1 .
3
S ABCD ABCD
V = S SH Vì S.ABCD là hình chóp t ứ giác đề u có các c ạ nh bên b ằ ng nhau và
SH ⊥ ABCD Ta có S ABCD =a2
Xét tam giác SAC vuông t ạ i S nên SH là trung tuy ế n và là đườ ng cao c ủ a tam giác nên ta có
( 2 )
a
SH = AC= AC = a
α
4a 3a
H
B
C
D A
S
Trang 8V ậ y: . 1 .2 2 2
S ABCD
b) Vì M là trung điểm SC nên mp(ABM) cắt SD tại N là trung điểm SD
Ta có V S ABMN. =V S ABN. +V S BMN. Mặt khác . . 1 .
2
S ABD S BCD S ABCD
Xét tỉ số
.
1 2
S ABN
S ABD
V SA SB SN
V = SA SB SD = (vì N là trung điểm SD) .
.
1 1 1
2 2 4
S BMN
S BCD
V SB SM SN
V = SB SC SD = =
.
S ABMN S ABN S BMN S ABD S BCD S ABDC S ABCD S ABCD
Mà ABMN là hình thang cân có AB = a ;
đ cao MK
4
2 ABMN
a
2
+
ABMN
3V 1
3
3a 2
a 22 16
11 3a 11
16
H
A
D
S
N
M
Câu 8 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a,
góc ACB bằng 0
30 Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) là trung điểm H của AB ; góc giữa cạnh bên BB’ và mặt đáy bằng 0
60 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường AA’ và BC theo a
Từ giả thiết suy ra B/H là chiều cao của lăng trụ Góc giữa cạnh bên BB’ và mặt đáy
60
=
BH B
A
A/
H
K
I
Trang 9H
M
C A
S
o
AB = sin 30 BC = a
AC cos30 BC
2
2 ABC
S AB.AC
2
B ' H BH tan 60
2
3 ABC.A 'B 'C ' ABC
3a
V B ' H.S
4
AA ', AA ', ' ' A, ' '
2 , ' '
=
d H BCC B Dựng HK ⊥ BC tại K; HI ⊥ BKtại I
B ' H BC
⊥
⊥
HK BH.sin 60
4
AA ',
5
=a
Câu 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a,
cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600 Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA và SB Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (DMN)
Ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒ SCA∧ = 600
15 60
tan
;
2
AD
3
15 2 3
1 3
.
a SA
AD AB SA S
Trong mp(SAD) kẻ SH ⊥ DM, ta có AB ⊥ (SAD) mà MN // AB ⇒ MN ⊥ (SAD) ⇒ MN ⊥ SH ⇒ SH ⊥ (DMN)
⇒ SH = d(S, (DMN))
∆ SHM ~ ∆ DAM
31
15 2 2
2
.
2 2
a AM AD
DA SA DM
DA SA SH DM
SM DA
SH
= +
=
=
⇒
=
B
A
N
S
C
M
D H
Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MC = 2MB Biết
120
BAC = , tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SM và AC theo a
Hình chi ế u c ủ a SB và SC trên (ABC) là AB và AC, mà SB = SC nên AB = AC
Áp d ụ ng đị nh lí hàm cosin vào tam giác ABC ta có :
BC2 = 2AB2 – 2AB2cos1200 ⇔ a2 = 3AB2 ⇔
3
a
AB =
Trang 10Mà 2 2 2 2 2
SA =SB -AB = a − ⇒ SA = ;
0
.sin120
∆ABC
S = AB AC = =
⇒
S ABC
V > = = (dvtt)
Áp d ụ ng đị nh lí hàm cosin vào tam giác ABM ta có:
2
2 cos120
AM = AB +MB − AB MB = ⇒ AM =
3
a
AM BM
Do đ ó tam giác AMB cân t ạ i M nên ∠BAM = ∠ABM = 300 ⇒ ∠MAC = 900 ⇒ AM ⊥ AC (1)
M ặ t khác: SA⊥SC (do SA⊥ (ABC)) ⇒SA⊥ AC (2)
T ừ (1) và (2) ta có: AC ⊥ (SAM) (3) K ẻ AH⊥ SM (H∈SM) (4)
T ừ (3) và (4) ta đượ c: ( ) 2. 2 2
21
SA AM
+
Câu11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, các mặt bên (SAB), (SAD)
cùng vuông góc với (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 600 Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của đoạn AD và CD, MN =
2
2
a TínhV S.BMN và khoảng cách
giữa hai đường thẳng BM, SN theo a
Th ể tích và kho ả ng cách:
T ừ gi ả thi ế t suy ra SA vuông góc v ớ i (ABCD).Góc gi ữ a đườ ng th ẳng SB và mặ t đ áy là góc SBA = 600 MN =
⇒ AC = a 2 ⇒ c ạ nh hv ABCD b ằ ng a
S BMN = S ABCD – S DMN - S BMA - S BCN
2 3 8
a
= SA = AB.tan600= a 3 ; V SBMN =
3
1 SA.S BMN =
8
3 3
a
* Ta có BM ⊥ AN ⇒ BM⊥ (SAN) và BM cắt (SAN) tại I
Trong (SAN): kẻ IK ⊥ SN ⇒ IK là đoạn vuông góc chung của BM và SN
d(MB,SN) = IK Ta có: AN = 5
2
a
, AI = 5
5
a
, IN = 3 5
10
a
và SN= 17
2
a
∆ IKN và ∆ SAN đồng dạng ⇒
SN
IN SA
85
3 3
a SN
IN SA
IK= = Vậy V SBMN =
8
3 3
a
,d(MB,SN) =
85 3
3a