Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho IOM 90 I và M không trùng các đỉnh của hình vuông.. a Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016m¤N: TOÁN 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4,5 điểm).
với xy, y 0 a) Rút gọn A
b) Tìm x, y thỏa mãn 3x2y2 2x 2y 1 0 và A = 2
2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2016x2 2015x 2016
Bài 2 (4,0 điểm).
a) Cho A=11 155 56 với n N * Chứng minh A là số chính phương
b) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho (x + 1) dư 4, chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x + 1)(x + 2) thì thương là 5x2 và còn dư
Bài 3 (4,0 điểm).
a) Tìm x, y, z biết:
x2 y2 z2 xy yz zx và x2015 y2015 z2015 32016
b) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm
1 x x 2 2(x m) 2
Bài 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau
tại O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho IOM 90 0 (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông)
a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a
b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và BKM BCO
CD AM AN
Bài 5 (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c.
Các đường cao tương ứng là ha, hb, hc Tam giác đó là tam giác gì khi biểu thức
2
(a b c)
đạt giá trị nhỏ nhất?
ĐỀ CHÍNH THỨC
(n chữ số 1) (n - 1 chữ số 5 )
Trang 2Số báo danh: Phòng
Trang 3PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
m¤N: TOÁN 8
(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 05 trang)
Bài 1
(4,5đ) 1 Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2
:
2
xy A
a) Rút gọn A
b) Tìm x, y thỏa mãn 3x2 y2 2x 2y 1 0 và A = 2
3đ
a/
2,0
điểm
Với xy y; 0 ta có:
2 2 2 2 2 2
2
:
2
:
xy A
xy A
0,75đ
2
4
:
A
2 2
:
.
A
A
0,75đ
b/
1,0
điểm
Ta có
2 2
2
0,5đ
2 2 2
x y
1 0
x y
(xy y; 0)
0,5
Thay y = x + 1 vào A = 2x(x + y) ta được : 2x( x + x + 1) = 2 2x2 + x = 1
2x2 + x - 1 = 0 (x + 1)(2x - 1) = 0 + Với x = - 1, ta có y = 0 (loại)
0,5
Trang 4Vậy x, y cần tìm là x =
1
2 và y =
3 2
2 Phân tích đa thức thành nhân tử
x4 2016x2 2015x 2016
1,5đ
4 2016 2 2015 2016
4 2 2
0,5đ
2 2 2 2
0,5đ
0,5đ
Bài 2
(4 đ)
a)Tìm đa thức f(x) thỏa mãn chia cho (x+1) dư 4, chia cho (x+2) dư 1,
chia cho (x+1)(x+2) thì thương là 5x2 và còn dư
2đ
Vì f(x) : (x+1) dư 4 f(x)= (x+1).Q(x)+4
Vì f(x) : (x+2) dư 1 f(x)= (x+2).P(x)+1
Vì f(x) : (x+1)(x+2) thương 5x2 và còn dư nên đa thức dư có bậc nhỏ
hơn hoặc bằng 1
Do đó f(x) = (x+1)(x+2).5x2+ax+b
1đ
f(x) = 5x4 +15x3 + 10x2 + ax + b
Ta có f(-1) = - a+b = 4 b = 4+a (1)
f(-2) = -2a+b = 1 b = 1+2a (2)
Từ (1) và (2)
3 7
a b
Vậy f(x) = 5x4+15x3+10x2+3x+7
1đ
b) Cho ( / 1) (1) / 5
11 1 55 5 6
n c s n c s
A
Chứng minh A là số chính phương
2đ
Ta có
2 ( / 1) ( / 1)
2
( 1) 0 2
( 1) / 3
11 1 4.11 1 1
10 02
n cs
n c s
A
là số chính phương
1.75đ
Vậy ( / 1) (1) / 5
11 1 55 5 6
n c s n c s
A
là số chính phương
0.25đ
Bài
3(4đ)
a) Tìm x, y, z biết
x2 y2 z2 xy yz zx và x2015 y2015 z2015 32016
2đ
Trang 52 2 2
Chứng minh tìm ra
0 0 0
1đ
Thay vào x = y = z vào x2015 y2015 z2015 32016 ta có
2015 2016 2015 2015
3 z 3 z 3 z 3 Vậy x = y = z = 3
0,5đ
b) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm
2đ
ĐKXĐ: x+ m 0 và x- m 0 xm 0,5
0,5đ
+ Nếu 2m -1= 0
1 2
m
ta có (*) 0x =
3 2
(vô nghiệm) + Nếu m
1 2
ta có (*)
2
m x m
0,5đ
- Xét x = m
2
2
2
2 2
m
m
(Không xảy ra vì vế trái luôn dương)
Xét x= - m
2
m
m
Vậy phương trình vô nghiệm khi
1 2
m
hoặc m = 1
0,5đ
Trang 6Bài
4(6đ)
E
K
N M
I
O
B A
6đ
a) Xét BIOvà CMOcó:
IBO MCO ( 45 ) 0
BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông) BOI COM ( cùng phụ vớiBOM )
BIO = CMO(g.c.g)
1đ
S BIO S CMO mà S BMOI S BOI S BMO
Hay
2
1đ
b) Ta có CM = BI ( vì BIO=CMO) BM = AI
Vì CN // AB nên
CM MN IB MN
IM // BN ( Định lí Talet đảo) Hay IMNB là hình thang
1,5đ
Vì OI = OM ( vì BIO=CMO)
IOM cân tại O IMO MIO 450
Vì IM // BN IM // BK
BKM IMO 450( sole trong) BKM BCO
0,5đ
c) Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E Chứng minh
( )
Ta có ANE vuông tại A có AD NE nên
AEN
S
0,75đ
áp dụng định lí pitagota vào ANE ta có AN2 + AE2 = NE2
2 2 2 2 2
2 2
.
0,75đ
Mà AEAM và CD = AD 2 2 2
CD AM AN
0,5đ
Trang 7(1,5đ)
hc
B
C
A
x
D
Qua C vẽ Cx song song AB gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
BAD ; CD = AC = b; AD = 2hc
Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD
0,5đ
Tam BDA có BAD 900 theo định lý pitago
(Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra a = b)
0,5đ
Chứng minh tương tự:
4h a (bc) a (Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra b = c)
4h b (a c) b (Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra c = a)
2
4
Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra a = b = c
0,5đ
*) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm
*) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất
*) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.