nằm trên đường tròn tâm J, bán kính bằng OM/2 b 2đ.. tam giác vuông.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
HUYỆN QUỲ HỢP VÒNG I
Năm học 2011-2012
Đề chính thức Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: Rút gọn biểu thức A = ( a√a −3
a −2√a −3 −
2(√a −3)
√a+1 +
√a+3
3 −√a):a+8
a −1
Câu 2: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2 8 +2 11 +2 n là số chính phương
Câu 3: Cho z y x > 0 Chứng minh rằng:
y (1x+
1
z)+ 1
y (x + z ) ≤( x + z )(1x+
1
z)
Câu 4: a) Giải phương trình 2 √x −1=√x −2 √x − 1
b) Cho ba số x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 1
x 3 + y 3 + z 3 = 1
Tính tổng x + y + z
Câu 5: Cho đường thẳng y = (m-1)x + 2
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất?
Câu 6: Cho (O;R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O) Hạ OH vuông góc với d (H d) M là điểm thay đổi trên d, từ M kẻ MQ và MP là tiếp tuyến của (O), (P,Q là tiếp điểm) Dây cungPQ cắt OH tại I, cắt OM tại K.
a) Chứng minh 5 điểm O, Q, H, M, P cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh tích IO.OH không đổi.
c) Giả sử góc PMQ = 60 0 Tính tỉ số diện tích hai tam giác MPQ và OPQ.
Hết
-Lưu ý: - Học sinh không được sử dụng máy tính
- Học sinh bảng A làm hết tất cả các câu
- Học sinh bảng B không phải làm câu 6c
Họ tên thí sinh:……… ; SBD:……
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
A BảngB
1
(√a −3) (√a+1)−2(√a− 3)
√a+1 −
√a+3
√a −3):a+8
a −1
= a√a− 3 −2(√a −3)(√a − 3)−(√a+3)(√a+1)
(√a −3)(√a+1) :
a+8
a −1
= a√a+8√a −3 a −24
(√a− 3)(√a+1) :
a+8
a −1
= (√a− 3)(a+8)
(√a −3)(√a+1).
(√a+1)(√a −1)
(a+8) =√a− 1
0.75
1.0 0.75 1.5
0.75
1.0 0.75 1.5 2
1đ
Giả sử 2 8 +2 11 +2 n = a 2 => 2 n = a 2 - (2 8 +2 11 ) hay 2 n = a 2 - 48 2 = (a - 48)(a + 48)
lúc đó ta có:
2 p = a + 48
2 q = a - 48 , với p, q N và p + q = n, p > q
=> 2 p - 2 q = 96 <=> 2 q (2 p-q - 1) = 2 5 3
=> q = 5 và p - q = 2 => p = 7
=> n = 7+5 = 12 thử lại 2 8 +2 11 +2 12 = 80 2
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25
0.25 0.25
0.25 3
3đ
Bất đẳng thức đã cho viết lại dưới dạng:
y
xz (x +z)+
1
y(x+z )≤(x +z )(x+z ).
1 xz
vì x+z > 0, y > 0, xz > 0 nên nhân hai vế với xyzx +z
ta được bất đẳng thức mới tương đương
y 2 + xz xy + yz
<=> y 2 - xy + xz - yz 0
<=> - (y - x)(z - y) 0 đúng vì y - x 0 và z - y 0 dấu " = " xẩy ra khi và chỉ khi x = y hoặc y = z
0.5 0.75
0.75
0.5 0.5
0.5 0.75
0.75
0.5 0.5 4
3đ
a
2đ
Điều kiện x 1
2 √x −1=√x −2 √x − 1 <=> 2 √x −1=√(x − 1)−2√x −1+1
<=> 2 √x −1 −1¿
2
¿
√x − 1=√ ¿
hay 2 √x −1 = | √x −1 −1 | (1) + Khi √x −1 −1 ≥ 0 hay x 2 thì phương trình (1) trở thành
2.√x −1=√x −1 −1 <=> √x −1 = -1 (vô nghiệm) + Khi √x −1 −1 < 0 hay 1 x < 2 thì phương trình (1) trở thành
2.√x −1=1−√x −1 <=> √x −1=1
3⇔ x=10
9 (thỏa mãn đk: 1 x <
2) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 109
0.5 0.5 0.5
0.5
0.5 0.5 0.5
0.5
b
1đ
Từ điều kiện bài toán ta có nhận xét: |x| 1, |y| 1, |z| 1 nên x 3 x 2 , y 3 y 2 , z 3 z 2
=> x 3 + y 3 + z 3 x 2 + y 2 + z 2
0.25 0.25
0.25 0.25
Trang 3dấu " = " xẩy ra khi và chỉ khi
x 3 = x 2 x = 0 hoặc x = 1
y 3 = y 2 <=> y = 0 hoặc y = 1
x 3 = z 2 z = 0 hoặc z = 1
=> x + y + z = x 2 + y 2 + z 2 = 1
0.25 0.25
0.25 0.25
5
3đ
Gọi A,B là hai giao điểm của đường thẳng y= (m-1)x +2 (d)với trục Ox và trục Oy Ta dễ dàng tìm được toạ độ của hai điểm là A( m−1 − 2 ;0) và B(0;2)
tam giác AOB vuông tại O(O là gốc toạ độ),gọi OH là đường cao thì OH chính là khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
y = (m-1)x + 2
ta có:
1
OH2=
1
OA2+
1
OB2=
1
(m −1 −2 )2
+ 1
22=
(m−1)2+ 1 4
√(m −1)2+1
OH MAX <=> √(m−1)2+1 Min <=> m- 1= 0 <=> m = 1 Vậy khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng(d) lớn nhất <=> m = 1
0.5
1.0 0.5
0.5
0.5
0.5
1.0 0.5
0.5
0.5 6
6đ
a
3đ
HS vẽ hình đúng Học sinh chỉ ra được Δ OPM, Δ
OQM
là các tam giác vuông
- Gọi J là trung điểm của OM => JQ, JP, JH là ba trung tuyến của ba tam giác vuông => JQ = JP = JH = JO = JM => năm điểm O, Q, H, M, P cùng
nằm trên đường tròn tâm J, bán kính bằng OM/2
0.5 0.5 0.75 0.75 0.5
0.5 0.75 0.75 0.75 0.75
b
có OM PQ (t/c đường kính và dây cung) => IKO = 90
=> IKO = MHO = 90 0
=> Δ IOK ~ Δ MOH
=> IOMO= OK
OH => IO.OH = OK.OM
Δ OPM vuông tại O => OP 2 = OK.OM (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
=> IO.OH = OK.OM = OP 2 = R 2 không đổi.
0.25
0.25 0.5 0.5 0.5
0.5
0.5 0.5 0.5 0.5
d
O K
J I
Q
P
M H
Trang 41đ
PMQ = 60 0 => OMQ = OMP = 30 0
ta có OM PQ, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta
có:
MP = OP : tg 30 0 = R : 1/ √3 = R √3
MO = √OP 2 +MP 2 = √R2
MK = MP 2 :MO = 3R 2 : 2R = 3R/2
OK = OM - MK = 2R - 3R/2 = R/2
PK = √PM2−KM2 = R √3 /2
=> S OPQ = 1/2OK.PQ = 1/2.R/2.2.(R √3 /2) = R 2
√3 /4
S MPQ = 1/2 PQ.KM = 1/2.(2.R √3 /2).3R/2 = 3R 2
√3 /4
=> S MPQ /S OPQ = 3R 2
√3 /4 : R 2
√3 /4 = 3
0.25
0.25 0.25 0.25