Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ABCD; góc hợp bởi cạnh bên SC và mặt phẳng chứa đáy bằng 300.. Chứng minh tam giác SBC vuông..[r]
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II
Môn: TOÁN Khối: 11
Năm học: 2015 – 2016
A PHẦN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài 1 Tính các giới hạn của các dãy số sau:
a) 2
lim(n 4n 5) b) 2
lim( 3 n n 1) c) 3 2
lim(n 2n n 1) d) 4 2
lim( 2 n n 3n 4)
Bài 2 Tính các giới hạn của các dãy số sau:
a) lim6 1
1 3
n n
b)
2 2
lim 4
n
3( 1)( 4) lim
5 3
d) lim 33 1
2
n
e)
2
lim
2 1
n
f)
3
3 2
lim
Bài 3 Tính các giới hạn của các dãy số sau:
a) lim 5 1
3 2.5
n
b)
3.4 1 lim
4 2
n n
c)
1
2 7 lim
1 7
n n n
Bài 4 Tính các giới hạn của các dãy số sau:
a) 2
lim( n 3nn) b) 2
lim( n 3nn) c) 2
lim( n n 1 5 )n d) 2
lim( 4n 1 2 )n e) 2 2
lim( 4n n 4n 1) f) 2 2
lim( 4n n 4n 1)
II GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 5 Tính các giới hạn của các hàm số sau:
a) lim ( 4 2 2)
b) 2
lim (3 7 1)
c) lim ( 3 2 5 1)
d) 4 2
lim (2 5 3)
Bài 6 Tính các giới hạn của các hàm số sau:
a) lim 8 3
5 4
x
x x
b)
2 2
lim 4
x
x
c)
2
lim 3( 2)( 5)
x
x x
d) lim 2 2
1
x
x
e)
3
lim
2 5
x
x
f)
3 2
3
lim
x
Bài 7 Tính các giới hạn của các hàm số sau:
a)
2
2
2 4 lim
2
x
x
3 6 lim
x
x x
2 3
4 3 lim
3
x
x
d)
2 2 1
2 3 lim
x
e)
2 2 1
lim
1
x
x
f) 3 2
3 9 lim
2 3
x
x
1 lim
1
x
x x
h)
2 3
9 lim
3
x
x x
i)
3 2
8 lim
2
x
x
x
3 2 1
1 lim
1
x
x
Bài 8 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a)
3
6 3 lim
3
x
x
x
b) 2
2 lim
7 3
x
x x
c) 1 2
lim
1
x
x x
1 2 lim
9
x
x x
Trang 2e)
1
1
lim
1
x
x x
lim
x
x x
2 lim
x
x
3 1 lim
6 2
x
x x
Bài 9 Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a)
2
4 1
lim
2
x
x x
b)
2 1
3 5 lim
1
x
x
2 ( 1)
lim
1
x
x x
2
lim
x
x x
III HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 10 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)
2
3 2 2
1 2
khi x
khi x
2 4 2
x+1 2
x
khi x
khi x
c)
2 2
x 2 2
khi
d)
2
5 4
x 1 1
khi
Bài 11 Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
2
4 2
4 2
x
khi x
khi x
tại x 0 = 2 b)
2
4 3 3
2 - 4 3
khi x
tại x 0 = 3
Bài 12 a) Xác định m để hàm số
2
6 5 1
1 1
khi x
liên tục tại x0 1
b) Xác định a để hàm số
2 4 4
( )
4 4
x
khi x x
f x
ax
khi x
liên tục tại x0 4
Bài 13 CMR:
a) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 3
2x 10x 7 0 b) Chứng minh rằng phương trình 4 2
2x 4x x 3 0 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng 1;1
c) Chứng minh rằng phương trình 5 4
x x x có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng 3;5
d) Chứng minh rằng phương trình x sinx có nghiệm
IV ĐẠO HÀM
Bài 14 Tính đạo hàm các hàm số sau:
1) 3 2 10
x x
2
2 5
y
3) y 2 32 53
) 5
y
5) y(5x3x2 x 1)4
6) y5x2(3x1) 7).y(x2 1)(53x2) 8).yx( 2x 1 )( 3x 2 )
Trang 39) 2 3
1
x
y
x
10)
2
1
y
x
11)
2
2
x
y
x
12)
x
13)
2
2
3
y
14)
3 2
2 1
y
3 4
y
2
3
y x x 18) y x2 6x 7 19) y x1 x2 20) y (x 1 ) x2 x 1
21)
1 2
3 2 2
x
x x y
22) y 1 x
1 x
2
y x x 24) 2 2
1
yx x 25) 3
1
yx x x
Bài 15 Tính đạo hàm các hàm số sau:
1) y3sinx2 cosx 2) ysin 3xcos 2x 3) 2
sin
yx x 4) yxtan 2x 5).yx2xcosx1 6)ycosx.sin2 x
cos 2 sin
y x x 8) y cot (2x3 )
4
9) ysin (cos 3 )2 x
10) y 3sin x cos2x 11) y3sin2 x.sin3x 12) y 2 tan x 2 13) y 1 2tanx 14) 12
1 sin 2
y
x
15)
sin cos sin cos
y
16)
xsin x y
1 cot x 17)
sin x x y
x sin x 18) y cos(xsin x)
Bài 16 Viết phương trình tiếp tuyến với parapol (P): yx23x1 trong các trường hợp sau : a) Tại M (1;-1)
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2
c) Tại điểm có tung độ bằng 1
d) Biết hệ số gốc của tiếp tuyến bằng 5
e) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 5x 1
f) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 2016
7
y x
Bài 17 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C): yx32x21 trong các trường hợp sau:
a) Tại điểm có hoành độ bằng -1
b) Tại điểm có tung độ bằng 1
c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y x 1
Bài 18 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (H): 2 1
1
x y x
trong các trường hợp sau : a) Tại điểm có hoành độ bằng 4
b) Tại điểm có tung độ bằng 1
Trang 4c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 9
3
y x
Bài 19 Chứng minh các đẳng thức sau :
a) Cho 3
1
yx x Chứng minh rằng: ' ''
9(y 1) 3 x y y 0
b) Cho 1
1
x y x
Chứng minh rằng:
y x y c) Cho yxsinx Chứng minh rằng: (x22)y2xy'x y2 '' 0
d) Cho ytan 2x Chứng minh rằng: 2 '
2y y 2 0
B PHẦN HÌNH HỌC Bài 1 Cho tứ diện ABCD có AB = AC và mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (BCD)
Gọi I là trung điểm của cạnh BC Chứng minh AI vuông góc với mặt phẳng (BCD)
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD a) Chứng minh rằng BC(SAB) và CD(SAD) và BD(SAC)
b) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC Từ đó suy ra ba đường thẳng AH,
AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng
c) Chứng minh rằng HK(SAC) Từ đó suy ra HK vuông góc với AI
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Mặt SAB là tam giác cân tại S
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng
AB Chứng minh rằng:
a) BC và AD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAB)
b) SI (ABCD)
Bài 4 Cho tam giác ABC vuông góc tại A; gọi O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,
AB, AC Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại O ta lấy một điểm S khác O Chứng minh rằng:
a) (SBC)(ABC);
b) (SOI)(SAB);
c) (SOI)(SOJ)
Bài 5 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O, có AC a 3, BDa Đường cao SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đoạn SO =
4
a
Gọi E là hình chiếu vuông góc của
O trên BC
a) Chứng minh (SOE)(SBC) và (SAC)(SBD)
b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)
Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA (ABCD); góc hợp
bởi cạnh bên SC và mặt phẳng chứa đáy bằng 30 0
a) Chứng minh tam giác SBC vuông
Trang 5b) Chứng minh BD SC và (SCD)(SAD)
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
Bài 7 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, 3
2
a
SA và SA(ABC) Gọi I
là trung điểm cạnh BC
a) Chứng minh rằng BC(SAI)
b) Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO
Đề 1:
Câu 1: Tính giới hạn các dãy số sau:
a) lim6 1
1 3
n n
2 lim( n 2nn)
Câu 2: Tính giới hạn các hàm số sau:
a)
2 2
lim
1
x
x
2 4
6 8 lim
4
x
x
1 2 lim
3
x
x x
Câu 3: Xác định m để hàm số sau liên tục tại x0 2
2 4 2
- 2 2
x
khi x
Câu 4 Chứng minh rằng phương trình 5 4 3
5x 3x x 1 0 có ít nhất một nghiệm
Câu 5 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): yx33x24 Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y9x1
Câu 6 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
4 2
4
x
y x x b) 3 1
2
x y x
c) yx2sin 2x
Câu 7 Cho 2
yx x Chứng minh rằng: ' ''
2(y 1) x y( y )0
Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, có SAa 6 và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy
a) Chứng minh rằng: BC(SAB) và BD(SAC)
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
c) Tính góc hợp bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy
-
Trang 6Đề 2:
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim4 3
1 8
n
n
2 2
6 lim
2
x
x
c)
2 1
lim
1
x
x
d). 4
4 lim
5 3
x
x x
Câu 2: Xác định a để hàm số sau liên tục tại x0 1
2
2
1 1
a 1
x
khi x
a khi x
Câu 3 Chứng minh rằng phương trình 4 3
3x x x 1 0 cĩ nghiệm
Câu 4 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H): 7 1
2
x y x
tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1
Câu 5 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
3 2 5
1
x x
yx x b) y (x 1) x21 c) ysin 3 cosx x
Câu 6 Cho 3 2
x y x
Chứng minh rằng:
y x y
Câu 7 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh ABa 3 , ADa , cĩ
SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, gĩc hợp bởi đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 600 a) Chứng minh rằng: CD(SAD) và BC(SAB)
b) Tính độ dài đoạn thẳng SA
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
-
Biên soạn: GV Hà Văn Quá