GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT Ax = B B • A ≠ : phương trình có nghiệm x = A • A = B ≠ : phương trình vô nghiệm • A = B = : phương trình vô số nghiệm Ax > B B x> • A>0: A B • A 0) 21 ∫ a a2 − x2 dx = Ln x + x + h + c 22 ∫ x +h x a2 x ( a > 0) a2 − x2 + arcSin + c 23 ∫ a − x dx = 2 a x h x + h + Ln x + x + h + c 24 ∫ x + h dx = 2 NHỚ 22 : HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP Pn = n! 1/ Hoán vị : n! C nK = 2/ Tổ hợp : K !(n − K )! K n−K Cn = Cn 17 ∫x n Cn = Cn = C nK−1 + C nK−−1 = C nK 1 n C n + C n + + C n = n n! 3/ Chỉnh hợp : AnK = (0 ≤ K ≤ n ) (n − K )! NHỚ 23 : SỐ PHỨC 1/ Phép tính : ∗ Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i z ± z’ = ( a ± a’) + ( b ± b’)i z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i ∗ z = r.(Cosα + i.Sinα) z’ = r’(Cosβ + i.Sinβ) z, z’ ≠ z.z’ = r.r’[Cos(α + β) + i.Sin(α + β)] z r = [Cos (α − β ) + iSin (α − β )] z' r ' http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 17 GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 2/ MoaVrơ : [r (Cosα + iSinα )]n = r n (Cosnα + iSinnα ) 3/ Căn bậc n số phức z = r.( Cosα + i.Sinα) : α + K 2π α + K 2π Z K = n r (Cos + i.Sin ) n n với K = 0, 1, 2, , n – NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :  →  →  → M ( x, y ) ⇔ OM = xe1 + ye2 Cho A( xA, yA ) B( xB, yB ) • •  → 1) AB = ( x B − x A , y B − y A ) 2) AB = ( x B − x A , y B − y A ) x A + xB  x =  3) Toïa độ trung điểm I AB :   y = y A + yB   4) Toïa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ : • x A − k x B  x = − k    y = y A − k y B  1− k  → Phép toán : Cho a = (a1 , a ) → b = (b1 , b2 ) → → a = b1 1) a = b ⇔   a = b2 → → 2) a ± b = (a1 ± b1 , a ± b2 ) → 3) m a = (ma1 , ma ) →→ 4) a b = a1b1 + a b2 → 5) a = a1 + a → 2 → 6) a ⊥ b ⇔ a1b1 + a b2 = http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 18 GV: VÕ QU C TRUNG → → 7) Cos a , b  =   T Tốn-Tin Trư ng THPT Thanh Bình a1b1 + a b2 a1 + a b1 + b2 2 2 B ĐƯỜNG THẲNG  x = x0 + a1t 1/ Phương trình tham số :   y = y0 + a2t Vectơ phương → a = (a1 , a ) 2/ Phương trình tổng quát : • Pháp vectơ → n = ( A, B ) → y → a = (− B, A) ( hay a = ( B,− A) ) A • Hệ số góc ( B ≠ 0) K =− B 3/ Phương trình pháp dạng : C B A =0 y+ x+ 2 2 A + B2 A +B A +B 4/ Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc K : y − y0 = K ( x − x0 ) • Vectơ phương Ax + By + C = ( A2 + B2 ≠ 0) x 5/ Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) B(xB, yB) : (x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA) x − xA y − yA hay = xB − x A y B − y A 6/ Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn) x y + =1 a b → x − x0 y − y   = 7/ Phương trình tắc :  M ( x0 , y ), a = (a, b)  a b   x − x0 y − y = ⇔ x − x0 = * Quy ước : b x − x0 y − y0 = ⇔ y − y0 = a 8/ Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) : x y + =1 a b 9/ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến Ax + By + C = : Ax0 + By + C A2 + B 10/ Vò trí tương đối hai đường thẳng : d1: A1x + B1y + C1 = d2: A2x + B2y + C2 = http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 19 GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình D= Dx = Dy = A1 B1 A2 B2 − C1 B1 − C B2 A1 − C1 A2 − C * d1 caét d2 ⇔ D ≠ D = D = hay  * d // d ⇔  Dx ≠ D y ≠ * d1 ≡ d ⇔ D = Dx = D y = A2, B2, C2 ≠ A B d1 caét d2 ⇔ ≠ A2 B2 A B C d // d ⇔ = ≠ A2 B2 C A B C d1 ≡ d ⇔ = = A2 B2 C Chú ý : 11/ Góc hai đường thẳng d1 d2 : Xác định công thức : Cosϕ = A1 A2 + B1 B2 2 A12 + B12 A2 + B2 12/ Phương trình đường phân giác góc tạo d1 vaø d2 : A1 x + B1 y + C1 A x + B2 y + C =± 2 A12 + B12 A2 + B2 * Chuù ý : Phương trình đường phân Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo d1, d2 giác góc tù tạo d1, d2 – t1 = t2 t1 = – t2 + t1 = – t2 t1 = t2 C ĐƯỜNG TRÒN : 1/ Định nghóa : M ∈ (c) ⇔ OM = R 2/ Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R : ( x − a ) + ( y − b) = R Dạng : → → Dấu n1 n Daïng : x + y − 2ax − 2by + c = Với R = a + b − c ≥ 3/ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn taïi M( x0, y0) (x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2 ( Daïng 1) ( Daïng 2) x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = D ELIP http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 20 GV: VÕ QU C TRUNG PT tắc Lý thuyết Trục lớn, độ dài Trục nhỏ, độ dài Liên hệ a, b, c Tiêu điểm Đỉnh Tâm sai Đường chuẩn Bán kính qua tiêu Pt tiếp tuyến M(x0 , y0) Pt hình chữ nhật sở Điều kiện tiếp xúc với Ax + By + C = E HYPEBOL PT tắc Lý thuyết Trục thực, độ dài Trục ảo, độ dài Liên hệ a, b, c Tiêu điểm Đỉnh Tâm sai Đường chuẩn Tiệm cận Bán kính qua tiêu T Tốn-Tin Trư ng THPT Thanh Bình x2 y + =1 a b2 (a > b ) x2 y + =1 a b2 (a < b ) Ox, 2a Oy, 2b c = a – b2 F1(– c, 0), F2( c, 0) A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b) c e= a a x=± e MF1 = a + ex MF2 = a – ex x0 x y0 y + =1 a2 b  x = ±a   y = ±b Oy, 2b Ox, 2a c = b2 – a F1(0,– c), F2( 0, c) A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b) c e= b b y=± e MF1 = b + ey MF2 = b – ey x0 x y0 y + =1 a2 b  x = ±a   y = ±b A2a2 + B2b2 = C2 A2a2 + B2b2 = C2 x2 y2 − =1 a b2 y2 x2 − =1 b2 a2 Ox, 2a Oy, 2b c = a + b2 F1(– c, 0), F2( c, 0) A1,2( ± a, 0) c e= a a x=± e b y=± x a M ∈ nhánh phải MF1 = ex + a MF2 = ex – a M ∈ nhaùnh traùi MF1 = – (ex + a) Oy, 2b Ox, 2a c = a + b2 F1(0,– c), F2( 0, c) B1,2(0, ± b) c e= b b y=± e b y=± x a M ∈ nhánh phải MF1 = ey + b MF2 = ey – b M ∈ nhaùnh traùi MF1 = – (ey + b) http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 21 GV: VÕ QU C TRUNG Pt tiếp tuyến M(x0 , y0) Điều kiện tiếp xúc với Ax + By + C = F PARAPOL Pt tắc Lý thuyết Tiêu điểm Đường chuẩn T Tốn-Tin Trư ng THPT Thanh Bình MF2 = – (ex – a) x0 x y0 y − =1 a2 b MF2 = – (ey – b) y0 y x0 x − =1 b2 a A2a2 – B2b2 = C2 B2b2 – A2a2 = C2 y2 = 2px y2 = – 2px y2 = 2py y2 = – 2py p  F  ,0 2  p x=−  p  F  − ,0   p x=  p F  0,   2 p y=− p  F  0, −  2  p y= Điều kiện tiếp xúc B2p = 2AC B2p = – 2AC A2p = 2BC A2p = – 2BC với Ax + By + C = NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :  → → → → M ( x, y, z ) ⇔ OM = x e + y e + z e • → • → → → → a = (a1 , a2 , a3 ) ⇔ a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 Cho A( x A , y A , z A ), B ( xB , yB , z B ) •  → 1) AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A ) 2) AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A )2 + ( z B − z A )2 x A + xB  x =  y + yB  3) Tọa độ trung điểm I AB :  y = A  z A + zB  z =  4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ : • Phép toán : Cho x A + kxB  x = 1− k  y A + kyB  y = 1− k  z A + kz B  z = 1− k  → a = (a1 , a2 , a3 ) → b = (b1 , b2 , b3 ) http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 22 GV: VÕ QU C TRUNG T Tốn-Tin Trư ng THPT Thanh Bình a1 = b1  1) a = b ⇔ a2 = b2 a = b  3 → → → → 2) a ± b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ) → 3) m a = (ma1 , ma2 , ma3 ) →→ 4) a b = a1b1 + a2b2 + a3b3 → 2 5) a = a12 + a2 + a3 → → 6) a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = a1b1 + a2b2 + a3b3 → → 7) Cos  a , b  = 2   a12 + a2 + a3 b12 + b2 + b32 8) Tích vô hướng hai Vectô  → →   a2 a3 a3 a1 a1 a2   a, b  =  b b , b b , b b      3 1   Điều kiện đồng phẳng : → → → → → → a , b , c Đồng phẳng ⇔  a , b  c =   * Diện tích tam giác ABC : S = → →      AB , AC    B PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG :  x = x0 + a1t1 + b1t2  1/ Phương trình tham số :  y = y0 + a2t1 + b2t2 , (t1 , t2∈ R ) z = z + a t + b t 3  Cặp Vectơ phương ( VCP) → → a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ) 2/ Phương trình tổng quát : Ax + By + Cz + D = → n = ( A, B, C ) Vectơ pháp tuyến ( VPT) Đặc biệt : • By + Cz + D = song song trục ox • Cz + d = song song mặt phẳng oxy • Ax + By + Cz = qua gốc tọa độ • By + Cz = chứa trục ox • z=0 mặt phẳng oxy → 3/ Phương trình mặt phẳng qua M( x0, y0, z0) ,có VPT n = ( A, B, C ) là: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 23 GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình 4/ Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn tên trục tọa độ: x y z + + =1 a b c 5/ Cho α : A1x + B1y + C1z + D1 = β: A2x + B2y + C2z + D2 = a/ Góc mặt phẳng : Tính công thức : A1 A2 + B1 B2 + C1C2 Cosϕ = 2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C2 b/ Vuông góc : α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = c/ Vị trí tương đối : • α cắt β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A B C D • α ≡β ⇔ = = = A2 B2 C2 D2 A B C D • α // β ⇔ = = ≠ A2 B2 C2 D2 Với A2, B2, C2, D2 ≠ d/ Phương trình chùm mặt phẳng có dạng m( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + n( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = Với m2 + n2 ≠ α cắt β C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:  x = x0 + a1t  1/ Phương trình tham số :  y = y0 + a2t , t ∈ R z = z + a t  Với → a = (a1 , a2 , a3 ) Vectơ phương 2/ Phương trình tổng quaùt :  A x + B1 y + C1 z + D1 = d :  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = Với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A12 + B12 + C12 > 2 A2 + B2 + C2 > → → →  d có Vectơ phương a =  n1 , n2    3/ Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) laø x − xA y − yA z − zA = = xB − x A y B − y A z B − z A D VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI 1/ Hai đường thẳng : d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ phương → a = (a1 , a2 , a3 ) http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 24 GV: VÕ QU C TRUNG T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình → ' ' ' d ' qua N ( x0 , y0 , z0 ) có Vectơ phương * d, d’ nằm mặt phẳng b = (b1 , b2 , b3 ) →  → →   ⇔  a , b  MN =   →  → →   * d cheùo d’ ⇔  a , b  MN ≠   * Góc d d’ : Cosϕ = a1b1 + a2b2 + a3b3 2 a + a2 + a3 b12 + b2 + b32 2/ Đường thẳng mặt phẳng : → • d qua M(x0, y0, z0) có Vectơ phương a = (a1 , a2 , a3 ) • mặt phaúng ( α ) : Ax + By + Cz + D = có vectơ pháp tuyến n = ( A, B, C ) → → →  ⇔ a n =  Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠  * d // ( α ) * d caét ( α ) → → * d⊂α ⇔ a.n ≠ → →  ⇔ a n =  Ax0 + By0 + Cz0 + D =  * d⊥α ⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C * Góc đường mặt phẳng : tính công thức a1 A + a2 B + a3C Sinϕ = 2 a12 + a2 + a3 A2 + B + C E KHOẢNG CÁCH : 1/ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) ñeán Ax + By + Cz + D = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C 2/ Khoảng cách từ điểm N(x’0, y’0, z’0) đến đường thẳng d qua M(x0, y0, z0) → có VCP a = (a1 , a2 , a3 ) laø : →   →   MN , a    → a 3/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo d vaø d’ : →  → →   a , b  MN    → →    a, b    http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 25 GV: VÕ QU C TRUNG T Tốn-Tin Trư ng THPT Thanh Bình F MẶT CẦU : Phương trình mặt cầu tâm I(a, b, c), bán kính R • (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 • x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = Với R2 = a2 + b2 + c2 – d ≥ NHỚ 26 : MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TT HÌNH VẼ α d a b β d β a α β α d a Nếu α chứa a b cắt nhau, a// β , b// β α // β a α KIẾN THỨC α ∩ β = d  d // α // β a // b  ⇒ d ≡ a   a ⊂ β d ≡ b  b ⊂ α  a// α α có a’ , a’//a α ∩ β = d  ⇒ a // d a ⊂ β a // α  α ∩ β = d  ⇒ a // d a // α a // β  b β P ∩ α = a   P ∩ β = b ⇒ a // b α // β  P α a β b a b A' A P B' B Q R C C' a R d P Nếu P // Q // R chúng chắn tr6n hai cát tuyến a, b đoạn thẳng tỉ lệ AB A' B ' = BC B 'C ' b Q P∩Q = d R∩P = a   ⇒ a // b // d R∩Q = b   d // R  Nếu a ⊥ α a ⊥ b , ∀b ⊂ α http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 26 GV: VÕ QU C TRUNG 10 T Toán-Tin Trư ng THPT Thanh Bình a ⊥ α a vuông góc với hai đường thẳng b, c cắt α • Nếu a//b a ⊥ α b ⊥ α • Nếu a ⊥ α b ⊥ α a//b 11 α a b 12 • • β α // β a ⊥ α a ⊥ β Nếu a ⊥ α a ⊥ β α // β α a 13 b a α α β a b 14 O H A' B A α 15 b a b' α 16 α a d β Nếu a chéo b * Có mộ tvà đường vuông góc chung * Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường * Có hai mặt phẳng song song mặt chứa đường ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN * Đoạn vuông góc chung OH đoạn ngắn * Hai đoạn xiên dài có hình chiếu dài ngược lại OA = OA’ ⇔ HA = HA’ *Hai đoạn xiên có độ dài khác đoạn xiên dài có hình chiếu dài ngược lại OB > OA ⇔ HB > HA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG VUÔNG GÓC a ⊂ α đường xiên b có hình chiếu vuông góc α b’ , ta coù : a ⊥ b ' ⇔ a ⊥ b a ⊂ α •  ⇒α ⊥ β a ⊥ β • Nếu α ⊥ β α ∩ β = d với a ⊂ α mà a ⊥ d a ⊥ β d α P 17 β • α ∩ β = d  ⇒d ⊥P P ⊥ α P ⊥ β  S : Dieän tích hình phẳng H S’: Diện tích hình chiếu vuông góc H H’ α : Góc mặt phẳng chứa H mặt phẳng chứa H’ S ' = S Cosα http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 27 GV: VÕ QU C TRUNG 18 A C B A' C' B' 19 S D A B C T Tốn-Tin Trư ng THPT Thanh Bình HÌNH LĂNG TRỤ 1/ Định nghóa : Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt nằm hai mặt song song gọi hai đáy cạnh không thuộc hai đáy song song 2/ Các loại : * Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy * Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Ngoài có lăng trụ xiên 3/ Sxq, STP, V : * Sxq tổng diện tích mặt bên * Sxq chu vi thiết diện thẳng nhân với độ dài cạnh bên * Sxq lăng trụ đứng hay chu vi đáy nhân độ dài cạnh bên * STP = Sxq + 2Sđáy * V = B.h B : diên tích đáy h : chiều cao HÌNH CHÓP 1/ Định nghóa : Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác, mặt lại tam giác có chung đỉnh * Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên * Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy 2/ Sxq, STP, V : • Sxq hình chóp hình chóp cụt tổng diện tích tất mặt bên hình • Hình chóp : STP = Sxq + Sđáy • Hình chóp cụt : STP = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ Hình chóp : S xq = chu vi đáy x trung đoạn • Hình chóp cụt : S xq = ( CV đáy lớn + CV đáy bé) x trung đọan • http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 28 GV: VÕ QU C TRUNG T Tốn-Tin Trư ng THPT Thanh Bình Thể tích hình chóp : V = B.h B : diện tích đáy h : chiều cao • Thể tích hình chóp cụt : V = h B + B ' + B.B ' B, B’ : diện tích hai đáy h : chiều cao HÌNH TRỤ TRÒN XOAY 1/ Định nghóa : * Hình chữ nhật OO’A’A quay quanh cạnh OO’ tạo nên hình gọi hình trụ tròn xoay( hay hình trụ) _ Hai cạnh OA O’A’ vạch thành hai hình tròn gọi hai đáy _ Cạnh AA’ vạch thành mặt tròn xoay gọi mặt xung quanh hình trụ _ OO’ gọi trục hay đường cao hình trụ 2/ Sxq, STP, V : • S xq = 2π Rh • ( 20 • STP = 2π R (h + R ) • ) V = π R2h R : bán kính h : đường cao http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - 29 ... TRUNG T Toán- Tin Trư ng THPT Thanh Bình Hệ thức lượng tam giác vuông: AH = BH CH A • AH BC = AB AC 1 B = + C 2 H AH AB AC • AB = BH BC • AC = CH CB • BC = AB + AC NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ... VÕ QU C TRUNG 1/ 2/ 2K 2K T Toán- Tin Trư ng THPT Thanh Bình A ≥  A < B ⇔ B >  2K A < B  B <  A ≥ A>B⇔  B ≥   A > B K  3/ K +1 A < B ⇔ A < B K +1 NHỚ : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ... Cosα ; Cos(π/2 + α) = – Sinα NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC http://ebook.here.vn - Thư vi n ð thi Tr c nghi m, Bài gi ng, Chuyên ñ - GV: VÕ QU C TRUNG T Toán- Tin Trư ng THPT Thanh Bình A CƠ BẢN