Tai lieu On tap Toan 9

Kết luận bài toán * Chú ý : Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, cần phải "Phiên dịch ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ đại số”, tức là cần biểu thị các đại lượng trong bài toá[r]

TÀI LIỆU DẠY CHO HỌC SINH LỚP 9 CHƯA ĐẠT CHUẨN KIẾN THỨC KỸ NĂNG MÔN TOÁN

(LƯU HÀNH NỘI BỘ)

A GIỚI THIỆU CHUNG

Đây là tài liệu Hội thảo xây dựng nội dung ôn tập môn Toán do PhòngGD&ĐT Chiêm Hoá tổ chức ngày 07/02/2015 trên cơ sở của Bộ tài liệu ôn tập Toán

9 do Sở GD&ĐT ban hành năm 2009, được sử dụng để ôn tập cho học sinh lớp 9,nhất là đối tượng học sinh yếu kém Giáo viên triển khai nội dung ôn tập cho họcsinh theo tài liệu, đồng thời dựa vào cách biên soạn tài liệu của Phòng để biên soạnthêm nội dung đảm bảo bao quát chương trình đã học

Tài liệu được biên soạn dưới dạng các chuyên đề, trong đó, mỗi vấn đề đượccấu trúc theo dạng các kiến thức cần nhớ, bài tập mẫu và bài tập tự luyện ở lớp (cólời giải), bài tập tự luyện ở nhà Những nội dung kiến thức trình bày trong tài liệu lànội dung cơ bản, ngắn gọn, giúp học sinh nắm được những kiến thức cơ bản để nângcao chất lượng tốt nghiệp THCS và tỷ lệ thi đầu vào lớp 10

Do thời gian biên soạn còn hạn chế nên tài liệu này chưa bao quát hết nội dungchương trình Một số nội dung có tính chất đề cương, gợi ý, giáo viên cần bổ sung.Dựa theo cách biên soạn của tài liệu, giáo viên biên soạn nội dung cho phù hợp vớiđiều kiện dạy học và trình độ của đối tượng học sinh trường mình Tuy nhiên, khibiên soạn bổ sung cần đảm bảo ngắn gọn để học sinh dễ tiếp nhận

Về cách thức dạy học: Căn cứ vào trình độ của học sinh, giáo viên có thể vậndụng các phương pháp dạy học cho phù hợp nhằm làm cho học sinh nắm được kiếnthức cơ bản; tăng cường thực hành, luyện tập để giải bài tập theo từng loại chuyên

đề Mỗi kiểu bài cần cho học sinh luyện tập nhiều bài tập từ đơn giản đến đầy đủ vớinhiều dạng đề khác nhau để rèn luyện kỹ năng tư duy, kỹ năng trình bày bài giải chohọc sinh

1

B PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH ÔN TẬP

(36 TIẾT)

thứ CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (9 TIẾT)

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai 2+3

Dạng toán chuyển động (Tiếp) 22

CHUYÊN ĐỀ 4: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN (12 tiết)

Góc ở tâm, số đo cung

Góc nội tiếp

Mối liên hệ giữa góc nội tiếp và cung bị chắn 27

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

C NỘI DUNG CỤ THỂ CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP MÔN TOÁN 9

CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tiết 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHUYẾT

Với x là ẩn, a, b, c là các số cho trước gọi là các hệ số và a 0

Bài tập: Các phương trình sau là phương trình bậc hai :

A B

 Nếu a.c > 0 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu a.c < 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt áp dụng quy tắc chuyển

vế và đưa phương trình về dạng x2 = c a rồi giải

Bài tập 2: Phương trình x2 + 2 = 0 vô nghiệm vì a = 1, c = 2; 1.2 = 2 > 0

Bài tập 3: Giải phương trình: 5x2 – 100 = 0

Giải: 5x2 – 100 = 0 ⇔ 5x2 = 100 ⇔ x2 = 20 ⇔ x = ± 2√5

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 2√5 ; x2 = - 2√5

II BÀI TẬP MẪU

Dạng 1: Nhận biết phương trình bậc hai và các hệ số a, b, c

Bài tập 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai ?

Xác định các hệ số a, b, c của phương trình đó:

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai có hệ số b = 0 hoặc c = 0:

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:



b) 5x2 - 15 = 0 ⇔ 5x2 = 15 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = ±√3

Vậy phương trình có hai nghiệm : x = √3 và x = - √3

c) x2 + 2010 = 0 Có a = 1, c = 2010, a.c = 2010 > 0

Vậy phương trình vô nghiệm

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Các phương trình sau đây đâu là phương trình bậc hai, chỉ rõ các hệ số a, b, c

của chúng

a) 2x2 + 5x + 1 = 0 c) −√3 x2 = 0b) 2x2 – 2x = 0 d) 4x + 5 = 0

Giải

a) 2x2 + 5x + 1 = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = 5, c = 1

b) 2x2 – 2x = 0 là phương trình bậc hai có a = 2, b = -2, c = 0

c) −√3 x2 = 0 là phương trình bậc hai có a = - √3 , b = 0, c = 0

d) 4x + 5 = 0 không phải là phương trình bậc hai

Bài 2: Đưa các phương trình sau về phương trình dạng ax2bx c  0 và giải các

phương trình đó:

a) 5x2 + √8 x = 2( 4x  2); b) √7 x2+7 x − 86=−( x +86)

x 

và

2 5

x x

x 

Tiết 2 +3: CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Đối với phương trình ax2bx c  0, a 0 và biệt thức  b2 4ac

- Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm

- Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 2

b x

    khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt

II BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Giải phương trình: x2  2x 4 0

(Câu 1,0 điểm - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Tuyên Quang năm học 2013 - 2014)

2 20 2 2 5

1 5

b x

a

  

 2

2 20 2 2 5

1 5

b x

Bài 3: Cho phương trình 2x2 m4x m 0

a) Tìm m biết x = 3 là một nghiệm của phương trình ?

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m?

Giải:

a) Phương pháp: Vì x0 là một nghiệm của phương trình nên ax20 bx0 c phải bằng 0

Vì phương trình nhận x=3 là một nghiệm nên thay 3 vào x trong phương trình đãcho, ta có:

 2

2.3  m 4 3 m  0 18 3  m 12 m   0 2m 6  m 3

Vậy với m = 3 phương trình đã cho nhận x = 3 là một nghiệm

b) Để phương trình ax2bx c 0 luôn có nghiệm thì   0

Vì m 2 0 với mọi m do đó  m2 16 0  với mọi m

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau

  0 24m+17  0  m  -

Tiết 4+5: CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

* Công thức nghiệm thu gọn:

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0) (1)

II BÀI TẬP MẪU:

Bài 1: Giải phương trình sau:

10x2 + 6x + 1 = 0 (2)

Giải:

Ta có: b' = 3, ' = 32 - 10.1 = - 1

' < 0 => phương trình (2) vô nghiệm

Bài 2: Giải phương trình sau:

2 ) 3 (







;

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Xác định hệ số a, b', c trong các phương trình sau:

' > 0 => phương trình ( 5) có hai nghiệm phân biệt:

1 16

8 16

3 ) 5

2 16

3 ) 5

2 





.c) 2 3x2 - 4 ( 3- 1)x + (2 3 + 4) = 0 (7)

Ta có: ' = [2(1 - 3)]2 - 2 3 (2 3 + 4) = 4 - 4 3+ 12 - 12 - 8 3 = 4 - 12 3 < 0

' < 0 => phương trình (7) vô nghiệm

Bài 3: Cho phương trình: ( m +1)x2 + 4mx + 4m - 1 = 0 (8)

a) Giải phương trình với m = 1

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt?

Giải:

a) Với m = 1 thì phương trình (8) trở thành: 2x2 + 4x + 3 = 0 (8’)

2

' 2 2.3 2 0

      phương trình (8’) vô nghiệm

b) Phương trình (8) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

 'm = 52 - 1.(-75) = 100 =>  '  10

 m1 = 1 5

10 5

Bài 1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các

- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có a + b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2= c a

- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có a – b + c = 0 thì phương trình

có một nghiệm là x1=-1, còn nghiệm kia là x2= - c a

Bài 3: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 2x2 – 5x + 3 = 0; b) x2 - 49x - 50 = 0

Giải:

a) 2x2 – 5x + 3 = 0 (a = 2; b = -5; c = 3)

Vì a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0 nên PT có nghiệm x1 = 1 và x2 = c a = 32b) x2 - 49x - 50 = 0 (a = 1; b = -49; c = -50)

Vì a - b + c = 1 – (-49) + (-50) = 1 + 49 – 50 = 0

Nên PT có nghiệm x1 = - 1 và x2 = - c a = 501 = 50

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau :

Bài 3: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm

(nếu có) của các phương trình sau:

a) x2 - 10x + 21 = 0; b) x2 + x - 12 = 0

c) x2 + 7x + 12 = 0 d) x2 - 2x + m= 0

Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ? Theo hệ thức Vi-ét ta tính:

x1 + x2 = ? ; x1.x2 = ? => x1 =?; x2 = ? Bài 2: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) x2 - 6x + 5 = 0; b) 4x2 - 3x - 7 = 0

c) - 3x2 + 12x + 15 = 0; d) 1,2x2 + 1,6 x – 2,8 = 0

Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ?

Tính a + b + c = ? nếu a + b + c = 0 => x1 = 1, x2 = c aHoặc a – b + c = ? nếu a - b + c = 0 => x1 = -1, x2 = - c a

Bài 3: Biết x1 là nghiệm của phương trình, tìm x2?

a) x2 + 2x – 35 = 0 ; x1 = 2; b) x2 - 7x – 144 = 0 ; x1 = - 9

Hướng dẫn: Xác định a = ?; b = ?; c = ?

Theo hệ thức Vi-ét x1.x2 = c a => x2 =

c a

x1 = ? Hoặc theo hệ thức Vi-ét x1 + x2 = − b

a => x2 = − b

a - x1 = ?

TIẾT 8: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN

TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

Nếu hai số u và v có tổng là S và có tích là P thì ta tìm u và v theo các bướcsau:

Bước 1: Điều kiện để tồn tại hai số u và v là S2 – 4P 0

Bước 2: Giải phương trình x2- Sx + P= 0

Bước 1: S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1>0 => tồn tại hai số

Bước 2: Gọi hai số cần tìm là u và v và nó là nghiệm của phương trình:

x2 - 3x + 2 = 0 Ta có: Δ = S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1

x1 = −(− 3)−1

2 =1; x2 = −(− 3)+1

2 = 2 Bước 3: Vậy hai số cần tìm là 1 và 2

Bài 2: Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 4 và tích là P = 5.

Giải

S2 - 4P = 42 - 4.5= 16 – 20 = - 4 < 0 => không tồn tại hai số

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Tìm hai số u và v trong các trường hợp sau:





Vậy hai số cần tìm là 3 và -2

 



Vậy hai số cần tìm là -2 và -3

c) Ta có: S2 - 4P = 22 - 4.2 = -4 < 0 => không tồn tại hai số u và v

Bài 2:

a) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 32 và tích là P = 231

b) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = -8 và tích là P = -105

c) Tìm hai số khi biết tổng của chúng là S = 2 và tích là P = 9.

c) Tìm điêu kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = 22 – 4.9 =…

Vậy có tồn tại hai số không ?………

Tiết 9: BÀI TẬP TỔNG HỢP Câu 1: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + 1 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm âm



Câu 2: Cho phương trình x2 + 2 (m - 1) |x| + m + 1 = 0 với m là tham số

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

(Câu 1,0 điểm - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Tuyên Quang năm học 2013 - 2014)

Câu 4: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m + 1= 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = - 1

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn x1

Tiết 19: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

DẠNG TOÁN VỀ SỐ - CHỮ SỐ

I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ.

1 Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn

+ Bước 1: - Lập phương trình.

- Chọn ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị của ẩn)

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn

- Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập phương trình

+ Bước 2: Giải phương trình

+ Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả và trả lời.

2 Kiến thức liên quan:

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - 2 a b

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

- Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

+ Nếu Δ '= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - b' a

+ Nếu Δ '< 0 thì phương trình vô nghiệm

Trường hợp đặc biệt:

+ Nếu a + b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = c a

+ Nếu a - b + c = 0 phương trình có nghiệm:x1 = -1; x2 = - c a

- Nhắc lại công thức liên hệ giữa số bị chia, số chia, thương và số dư

Số bị chia = (số chia) x (thương) + (số dư)

(Số dư < số chia)

- Nhắc cách viết số có hai chữ số dưới dạng một tổng (cấu tạo số)

nếu a chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị thì ab = 10a + b

Với a, b  N và 1 a 9 ; 0 ≤ b ≤ 9

II BÀI TẬP MẪU

Bài tập 1: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109 Tìm hai

số đó

Giải:

Gọi số tự nhiên nhỏ là x; x N*, thì số tự nhiên liền sau là x + 1

Tích của hai số là: x(x+1), tổng của hai số là: 2x+1

Theo bài ra ta có phương trình:

1

x(x+1) - (2x+1) = 109 ⇔ x2 - x - 110 = 0

Giải phương trình ta được x1 = 11 (TMĐK)

x2 = -10 (loại)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 1: Cho một số có hai chữ số Tổng hai chữ số của chúng bằng 10, tích của

hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12 Tìm số đã cho?

Giải:

Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x (x N*, x  9)

Chữ số hàng đơn vị là 10 - x

Giá trị của số đã cho là 10x +10 - x = 9x +10

Theo bài ra ta có phương trình: x(10 - x) = 9x + 10 -12

Bài tập 2: Một số có hai chữ số Tổng các chữ số của chúng bằng 10, tích của hai

chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 82 Tìm số đã cho?

Tiết 20: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG

I KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ.

1 Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn

* Bước 1: - Lập phương trình.

- Chọn ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị của ẩn)

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn

- Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập phương trình

* Bước 2: Giải phương trình

* Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả và trả lời.

2 Các kiến thức liên quan:

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

+Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - 2 a b

+Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

- Công thức nghiệm thu gon của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

b = 2b' ; Δ ' = b'2 - ac

+ Nếu Δ ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

x1 = − b '+ a√Δ' ; x2 = − b ' − a√Δ'+ Nếu Δ '= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - b' a

+ Nếu Δ '< 0 thì phương trình vô nghiệm

* Trường hợp đặc biệt:

+ Nếu a + b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = c a

+ Nếu a - b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = - c a

- Công thức chuyển động đều: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian)

II BÀI TẬP MẪU

Bài tập 1: Một xe ô tô đi từ A đến B dài 120 km trong một thời gian dự định Sau khi

đi được nửa quãng đường thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 (km/h) nên xe đến B sớm 12 phút so với dự định Tính vận tốc ban đầu của xe

Giải

Gọi vận tốc ban đầu của xe là x(km/h); ( x>0)

Thời gian dự định đi từ A đến B là x

120

(h)Thời gian thực tế đi từ A đến B là ( x

Vậy vận tốc ban đầu của xe là 50 (km/h)

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài tập 1: Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe cùng loại để vận chuyển 100 tấn

hàng, lúc sắp khởi hành đoàn xe được giao thêm 44 tấn nữa Do đó phải điều thêm hai xe cùng loại, và mỗi xe phải chở thêm 2 tấn nữa Tính số xe phải điều theo dự định

Bài giải

Gọi số xe phải điều thêm dự định là x; (2< x  N*)

Theo dự định mỗi xe phải chở số hàng là

x 

1

 x2 - 20x + 100 = 0 (1) Giải PT (1): '= (-10)2 - 100 = 0

Phương trình có nghiệm kép: x1= x2 = 10; (TMĐK)

Vậy số xe dự định phải điều là 10

Bài tập 2: Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B đến A hết

tất cả 4 giờ Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài

30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/giờ

(Câu 2,5 điểm - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Tuyên Quang năm học 2011 - 2012)

Lời giải và thang điểm:

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là x km/giờ ( x > 4) 0,5 điểm

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x +4 (km/giờ), khi ngược dòng là x - 4

(km/giờ) Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là

30 4

x  giờ, đi ngược dòng

từ B đến A là

30 4

- Chọn ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị của ẩn)

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn

- Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập phương trình

+ Bước 2: Giải phương trình

+ Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả và trả lời.

2 Các kiến thức liên quan:

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)