a Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C,O cùng nằm trên một đường tròn ,tính độ dài đoạn thẳng BC theo a.. b Tìm điểm cố định mà đường tròn đường kính BC đi qua.[r]
Trang 1PHÒNG GD& ĐT ĐÀO TẠO LÂM THAO
KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 9 DỰ THI CÂP TỈNH
NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Ngày thi 9 tháng 2 năm 2012
Câu 1 ( 3 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2(x+y)+xy=x2 +y2
b)Chứng minh rằng nếu 3 số a, a + k , a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k ⋮ 6
Câu 2 ( 4 điểm)
a) Cho a=xy +√(1+x2
)(1+ y2
) ; b=x√1+ y2+y√1+ x2
Chứng minh rằng b=√a2− 1
b) Cho x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện : x y z xyz 4 Tính giá trị biểu thức
A x(4 y)(4 z) y(4 z)(4 x) z(4 x)(4 y) xyz
Câu 3 ( 4 điểm)
a) Giải phương trình x4+√x2+2012=2012
b) Giải hệ phương trình:
x 16 xy
xy
Câu 4 ( 7 điểm)
Cho đoạn OA=2a cố định hai tia Ox và Oy tạo với nhau một góc 450 và tự quay xung quanh đỉnh O Qua điểm A hạ đường vuông góc AB xuống Ox và AC xuống Oy (B ∈ Ox ;C ∈Oy)
a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C,O cùng nằm trên một đường tròn ,tính độ dài đoạn thẳng BC theo a
b) Tìm điểm cố định mà đường tròn đường kính BC đi qua
c) Gọi D và E lần lượt là giao của AB và AC với Oy và Ox Tam giác ACD là tam giác gì? Chứng minh DE có độ dài không đổi
Câu 5 ( 2 điểm)
Cho a;b;c dương thỏa mãn a+b+c=1.Tìm trị lớn nhất của biểu thức
B=√ab
c+ab+√bc
a+ bc+√ac
b+ac
Ghi chú : thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
Trang 2PHÒNG GD& ĐT ĐÀO TẠO LÂM THAO
KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 9 DỰ THI CÂP TỈNH
NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN
1 a) 2(x+y)+xy=x2 +y2 ⇔ x2 –(y+2)x+y2-2y=0(1)
PT (1) có nghiệm khi y − 2¿
2≤ 16 ;
y − 2¿2≥ 0 ⇔0 ≤ 3¿
Δ=16 −3¿
Δ chính phương
giải ra tìm được ( x ; y ) ∈{(0; 2 ); (4 ; 2); (2 ; 4 ) ; (4 ; 4) ; (0 ; 0) ; (2 ; 0)}
b)/ Chứng minh rằng nếu 3 số a, a + k , a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k ⋮ 6
Vì a và a + k cùng lẻ nên a + k - a = k ⋮ 2 (1)
Do a, a + k , a + 2k là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều
là số lẻ và không chia hết cho 3, như vậy ít nhất có 2 số có cùng số dư
khi chia cho 3
- Nếu a và a + k có cùng số dư khi chia cho 3 thì a + k -a = k ⋮ 3
- Nếu a + k và a + 2k có cùng số dư khi chia cho 3 thì a + 2k - a - k = k ⋮ 3
- Nếu a và a + 2k có cùng số dư khi chia cho 3 thì (a + 2k - a = 2k ⋮ 3 suy ra k ⋮ 3
Ta có k chia hết cho 2 , k chia hết cho 3 nên k chia hết cho 6
0,5
1,0
0,5
1,0
a)Ta có
a2=x2 y2+ 2 xy√(1+x2) (1+ y2)+(1+x2) (1+ y2)
⇔ a2
=x2y2
+ 2 xy√(1+x2) (1+ y2)+1+ y 2
+x2
+x2y2
b2=x2(1+ y2)+ 2 xy√(1+x2)(1+ y2)+y2(1+x2)
⇔b2
=x2+x2 y2+ 2 xy√(1+x2)(1+ y2)+y2+x2y2
ta có a2−b2=1 suy ra b=√a2− 1
b) Ta có x y z xyz 4 4(x y z ) 4 xyz 16
Khi đó ta có : x(4 y)(4 z) x(16 4 y 4z yz )
x yz( 4 xyz4 )x
x ( yz2 x)2 xyz2x (1)
Tương tự y(4 z)(4 x) xyz2y (2)
z(4 x)(4 y) xyz2z (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra A2(x y z xyz) 2.4 8
1,0 1,0
1,0
Trang 3a)
x4+√x2+2012=2012⇔(x4+x2+ 1
4)−(x2+2012−√x2+2012+1
4)=0
⇔(x2+ 1
2)2−( √x2+2012 −1
2)2=0⇔(x2−√x2+ 2012+1)(x2+√x2+ 2012)=0
⇔ x2−√x2 +2012+1=0⇔ x2 +2012 −√x2 +2012 −2011=0(∗)
đặt
− t −2011=0 Δ=8045>0 PT có 2 nghiệm phân biệt
t1= 1+√8045
2 >0(T /m) ; t1=1 −√8045
x=√√8045 −1
2
¿
x =−√√8045 −1
2
¿
¿
¿
¿
¿
t1= 1+√8045
4
⇔ x2
¿
PT có 2 nghiệm phân biệt x1=√√8045 −1
2
b)
x 16
x 16
xy
y 3
y 3
y x 5
y 9
(2) xy
x y 6
x 2
ĐK: x,y 0
Giải (2) 6y2 6x2 5xy (2x 3y)(3x 2y) 0
* Nếu
3y 2x 3y 0 x
2
thay vào (1) (1) ta được
3y 3 16 y.
2 2 3
2
3y 23
(PT vô nghiệm)
* Nếu
2y 3x 2y 0 x
3
Thay vào (1) ta được y2 9 y 3
- Với y 3 x 2 (T/m đk)
1,0
1,0
1,0
Trang 4- Với y 3 x 2 (T/m đk)
Vậy PT có 2 nghiệm (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)
1,0
a) Ta có 4 điểm O, B, A, C nằm trên đường tròn tâm I đường kính
OA ta có ∠ BIC=2 ∠ BOC= 900 nên Δ BIC vuông tại I suy
ra có cạnh góc vuông bằng a nên BC=a√2
b)Đường tròn đường kính BC luôn đi qua điểm I cố định
c) Δ ACD ∠CAD=∠ xOy=450 nên Δ ACD vuông cân tại A
Ta có 4 điểm E, B, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính DE
gọi H là tâm của đường tròn này ta có
∠BHC=2 ∠CDB=900 nên Δ BHC vuông cân tại H có cạnh huyền
BC=a√2 nên BE=2a
j
x
y
H
D
E
K
C
I
B
2,5 2,0
2,5
Trang 5(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
1
A
Dấu bằng xảy ra khi a= b = c = 1/ 3
Cách khác
Từ a + b + c = 1 => ac + bc + c2 = c ( Do c > 0)
Vì vậy: c + ab = ac + ab + bc + c2 = (b+c)(c+a)
c ab b c c a
bc b c c a
a bc
ca c a a b
b ca
Vậy A ≤
a+c
a+c+
b+c b+c+
a+b a+b
3 2
2 khi a=b=c= 13
1,0
Ghi chú : điểm toàn bài làm tròn đến 0,5